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第 8 章

第 8 章. 區間估計. 統計實例. Food Lion 於 1957 年成立時的名 稱是 Food Town ，目前已是美國 最大的連鎖超市之一，在美國的 東南部 11 州共有 1,200 家分店。 Food Lion 建立了七類存貨組合的 LIFO 指標，包括雜貨、紙類/家用品、寵物用品、美容保健產品、乳品、香菸/菸草，以及啤酒/酒。 最近一年，美容保健產品類的 LIFO 指標是 1.015 ，以 95% 的信賴水準， Food Lion 求算樣本估計值的邊際誤差是 0.006 。

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第 8 章

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  1. 第 8 章 區間估計

  2. 統計實例 • Food Lion 於 1957 年成立時的名 稱是 Food Town，目前已是美國 最大的連鎖超市之一，在美國的 東南部 11 州共有 1,200 家分店。 • Food Lion 建立了七類存貨組合的 LIFO 指標，包括雜貨、紙類/家用品、寵物用品、美容保健產品、乳品、香菸/菸草，以及啤酒/酒。 • 最近一年，美容保健產品類的 LIFO 指標是 1.015，以 95% 的信賴水準，Food Lion 求算樣本估計值的邊際誤差是 0.006。 • 母體的 LlFO 指標的 95% 區間估計值是 1.009 到1.021。此種準確度是很理想的。 第8章區間估計第292頁

  3. E( ) = μ 的抽樣分配 • 簡單隨機樣本所產生的所有 可能值之平均數，也就是 的期望值 的期望值 其中： E( x ) ＝ 的期望值  μ＝母體平均數 • x-bar是母體平均數之不偏估計量

  4. 的標準差 無限母體 有限母體 • 若n/N ≤ 0.05 則稱為有限母體 • 　　　　　　 通常被稱為有限母體校正因子(finite population correction factor)。 • 為平均數的標準誤 (standard error)

  5. 母體不是常態分配：如果母體不是常態分配，中央極母體不是常態分配：如果母體不是常態分配，中央極 限定理(central limit theorem)可以幫助我們決定 抽樣 分配的形狀。 母體為常態分配：很多情況下，我們可以合理地假設 母體為常態分配。如果母體是常態分配，無論樣本 大小， 的抽樣分配也是常態分配。

  6. 的抽樣分配 • 的抽樣分配是所有樣本比例　 值的機率分配。 • 的期望值 其中： p =母體比例

  7. 　的標準差 無限母體 有限母體 是母體的標準誤

  8. 簡單的例子 • CJW以簡單隨機抽樣方式，抽取每組樣本大小為100的顧客，進行顧客滿意度調查，其樣本平均數為82分，母體平均數也為82分，母體標準差為20，樣本平均數大於85.92分的機率為何？小於78.08的機率為何？ • 呈上例，樣本平均數落在區間內(78.8<=X-bar<=85.92)的機率為何？

  9. 區間估計 • 以CJW的例子，我們可以說有95% 的信心，顧客滿意度會落在(母體平均數 μ) 78.08 到 85.92 的區間內。 • 利用機率原理的「隨機區間」來估計母數所在範圍的方法。 • 母體平均數 μ不變，但每次抽樣所得到的x-bar會不同，因此每次算出來的區間也會不同。

  10. 第 8 章 區間估計 • 8.1 母體平均數：σ 已知 • 8.2 母體平均數：σ 未知 • 8.3 樣本大小的決定 • 8.4 母體比例 第8章區間估計第291頁

  11. 邊際誤差與區間估計值 點估計量的值不會恰好等於母體參數值。 區間估計值 (interval estimate)通常是由點估計值加或減 某個值求得，我們稱這個加減值是邊際誤差 (margin of error)。區間估計值的一般形式是： 點估計值 邊際誤差 邊際誤差=機率值×標準差 第8章區間估計第292頁

  12. 區間估計值的意義 • 區間估計值讓我們瞭解：點估計值與母體參數值的 • 接近程度； • 區間估計值是以某一區間作為母體參數的估計範圍 • 「平均滿意度85分」與「平均滿意度介於75分至85分 • 」那一個包含母體參數值的機率大？ 區間估計值包含母體參數值的「機率」，稱為「信賴水 準」，所得到的區間為「信賴區間」

  13. 邊際誤差與區間估計值 母體平均數的區間估計值的通式如下： 第8章區間估計第292-293頁

  14. 8.1 母體平均數：σ 已知 • 為了求算「母體平均數」的區間估計值，必須知道母體的標準差 σ 或樣本的標準差 s 以計算邊際誤差。 • σ 很少是已知的數值，但歷史資料或其他某些可用的訊息，讓我們得以在抽樣前取得母體標準差的優良估計值。 • 在此情況下，可視母體標準差已知，我們稱此為 σ 已知 (σ known)的情況。 第8章區間估計第293頁

  15. 母體平均數的區間估計：σ 已知 • 母體平均數的區間估計值：σ 已知 其中： 為樣本平均數1 -α為信賴係數 zα/2為右尾面積α/2 的標準常態分配的 z值 σ為母體標準差 n 為樣本大小 第8章區間估計第296頁

  16. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) • CJW 例子中的歷史資料顯示，滿意度分數的母體是標準差 σ＝20 的常態分配 (σ已知)。 • CJW以簡單隨機抽樣方式，抽取每組樣本大小為100的顧客，進行顧客滿意度調查，其平均滿意度分數(x-bar)之抽樣分配如下： 第8章區間估計第293-294頁 圖8.1

  17. 最近一次的調查，平均的滿意度分數為 x-bar= 82，試求顧客平均滿意度分數的95%信賴區間？ • 將信賴水準改為90%與99 %時，其信賴區間為何？

  18. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 第8章區間估計第294頁

  19. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 第8章區間估計第295頁 圖8.3

  20. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) • 假定最近一個月裡，CJW 的品管團隊調查 100 位顧客，得到的樣本平均滿意度分數是 ＝82，以 ± 3.92計算區間估計值，可以得到 82 ± 3.92。因此，以最近一個月的樣本資料得到的區間估計值是 82－3.92＝78.08 到 82＋3.92＝85.92。由於以 ±3.92 建立的各種區間估計值中，有 95% 的區間估計值會包含母體平均數，因此，我們可以說有 95% 的信心，78.08 到 85.92 的區間會包含母體平均數 μ 。我們也可以說，這個區間是在 95% 的信賴水準 (confidence level)下建立的。其中，0.95稱為信賴係數 (confidence coefficient)，區間 78.08 到 85.92 則稱為 95% 信賴區間 (confidence interval)。 第8章區間估計第295頁

  21. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) • 雖然95% 的信賴水準很常使用，但其他如 90% 及 99% 的信賴水準也很常見。最常見的信賴水準之zα/2值整理在表8.1。 第8章區間估計第296頁 表8.1

  22. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) • 使用這些值及式 (8.1) ，CJW 問題的 90% 信賴區間是 • 因此，在 90% 的信賴水準下，邊際誤差是 3.29，信賴區間是 82－3.29＝78.71 到82＋3.29＝85.29。同樣地，99% 的信賴區間是 因此，在 99% 的信賴水準下，邊際誤差是 5.15，信賴區間是 82－5.15＝76.85 到85＋5.15＝87.15。 • 比較90%, 95% 及99% 三種信賴水準，我們可以看到，信賴水準提高時，信賴區間的寬度也會增加。 第8章區間估計第296頁

  23. 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) • 實際樣本數 • 影響信賴區間大小的因素為何？ 大部分的實際應用中，以式 (8.1) 建立母體平均數的 信賴區間時，樣本大小n ≥ 30 就已足夠。 如果母體不是常態分配，但大致上對稱，樣本大小至少 為 15，也可以利用式 (8.1) 得到良好的近似信賴區間。 樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配 至少是近似常態時，才能使用式 (8.1)。 第8章區間估計第297頁

  24. 練習 • 5(p.298)

  25. 8.2 母體平均數：σ 未知 • 如果不能在抽樣前假定母體標準差 σ 已知，就要以樣本標準差 s 來估計母體標準差。 • 此種情況稱為 σ未知 (σunknown)的情況。 • 若以 s 來估計 σ ，邊際誤差及母體平均數的區間估計值是根據稱為 t 分配 (t distribution)的機率分配求算而得。 第8章區間估計第298-299頁

  26. t分配 t 分配是由一群類似的機率分配所組成的。 任一 t 分配都有其特定的參數，即所謂的 自由度 (degrees of freedom)。 自由度： 是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時，樣本中獨立或能自由變化的數據的個數稱為該統計量的自由度 可能有自由度為1、自由度為 2、自由度為 3 等等 不同的 t 分配。 第8章區間估計第299頁

  27. t 分配 當自由度增加時，t 分配和標準常態分配的差距將 愈來愈小，圖 8.4 顯示 t 分配在自由度 10 和 20 時與 標準常態分配圖的比較。 當自由度較高時，t 分配較不分散，且更接近 標準常態機率分配。另外也請注意，t 分配的平均數 為 0。 第8章區間估計第299頁

  28. t 分配 第8章區間估計第299頁 圖8.4

  29. t 分配 • 我們將以 t 的右下標表示 t 分配右尾的機率，正如 z0.025 表示標準常態分配右尾面積為 0.025 所對應的值一樣，t0.025代表 t 分配右尾面積為 0.025 所對應的 t 值。通常，我們以 tα/2表示 t 分配右尾面積為 α /2 時所對應的 t 值 (見圖 8.5)。 第8章區間估計第299頁

  30. t 分配 第8章區間估計第299頁 圖8.5

  31. t 分配 • 表 8.2 為 t 分配表，本表亦收錄於本書附錄中。當 t 分配的自由度為 10 時，則 t0.025＝2.228；同理，t分配的自由度是 20 時，t0.025＝2.086。當自由度不斷地增加，則 t0.025 愈逼近 z0.025＝1.96。 • T 分配表中自由度為無限大(∞)的對應欄位中可發現標準常態分配的 z值。假如自由度大於 100，就可用自由度無限大的 t值來近似。 • 自由度超過 100 的 t 分配，標準常態 z值是很好的近似值。 第8章區間估計第299.301頁

  32. t 分配 標準常態 z值 第8章區間估計第300頁 表8.2

  33. t 分配 第8章區間估計第300頁 表8.2

  34. t 分配 第8章區間估計第300頁 表8.2

  35. t 分配 第8章區間估計第300頁 表8.2

  36. 母體平均數的區間估計：σ 未知 • 區間估計 其中： 1 -α= 信賴係數 tα/2 =自由度為 n - 1，而右尾面積為α/2 所對應的 t 值 s = 樣本標準差 第8章區間估計第301頁

  37. 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) • 某個研究調查了美國家庭的信用卡帳戶餘額，以瞭解信用卡債務的情形。研究中共有 85 個家庭的信用卡帳戶資料的餘額，如表 8.3。 • 因為沒有任何歷史資料，我們並不知道信用卡帳戶餘額的母體標準差，因此，必須利用樣本標準差 s來估計母體標準差 σ。接下來，我們要建立母體平均數的 95% 信賴區間(x-bar = $ 5,900， s ＝$3,058)。 第8章區間估計第301頁

  38. 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) 第8章區間估計第302頁 表8.3

  39. 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) • 利用表8.3的資料算出樣本平均數 ＝ $5,900，樣本標準差 s ＝$3,058。信賴水準是95%，樣本大小是 85，自由度為 n－1＝84，查附錄B表 2 得t0.025＝1.989，套用式(8.2)可得母體平均數的區間估計因此，母體平均數的點估計值是 $5,900，邊際誤差是 $660，95% 信賴區間是5900－660＝$5240 到 5900＋660＝$6560。 第8章區間估計第301-302頁

  40. 母體平均數的區間估計：σ未知 • 如果母體是常態分配，式 (8.2) 的區間估計公式可以適用於任何大小的樣本，並產生確切的區間估計值。 • 如果母體不是常態分配，則式 (8.2) 只是區間估計的近似值。此種情況下，近似值的近似程度則視母體的分配及樣本大小而定。 第8章區間估計第302頁

  41. 母體平均數的區間估計：σ未知 • 大部分的實際應用中，以式 (8.2) 建立母體平均數的信賴區間時，樣本大小n ≥ 30 就已足夠。 • 但是，如果母體分配有嚴重的偏態或是離群值，許多統計學者會建議最好將樣本大小增加到 50 或更多。 • 如果母體不是常態分配，但大致上對稱，樣本大小至少為 15，也可以用式 (8.2) 得到良好的近似信賴區間。 • 但在樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態時，才能使用式(8.2)。 第8章區間估計第302頁

  42. 母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例)母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例) • Scheer 工業公司的製造經理想要利用電腦來輔助訓練公司的維修人員，希望經由電腦訓練可減少訓練時間。為了評估這種訓練方式，該經理希望能夠估計在電腦輔助下的平均訓練時間。 • 假設管理者同意 20 名員工接受這項新的訓練，每一位員工所需的訓練天數如表 8.4 所示，樣本資料的直方圖如圖 8.7 所示。試求其95% 信賴區間？ 第8章區間估計第303頁

  43. 母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例)母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例) 計算出的樣本平均數和樣本標準差如下 第8章區間估計第303頁 表8.4

  44. 母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例)母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例) 第8章區間估計第303頁 圖8.7

  45. 母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例)母體平均數的區間估計：σ未知使用小樣本(實例) 查表得知自由度為 n－1＝19 時，t0.025＝2.093，運用式 (8.2) 可求得 95% 信賴區間的估計值。 因此，母體平均數之點估計值為 51.5 天，邊際誤差是 3.2 天，母體平均數之 95%信賴區間為 51.5－3.2＝48.3 天到 51.5＋3.2＝54.7 天。 第8章區間估計第303-304頁

  46. 母體平均數的區間估計：σ未知區間估計程序總整理母體平均數的區間估計：σ未知區間估計程序總整理 • 圖 8.8 列出兩種情況下的母體區間估計程序。大部分的實際應用中，樣本大小 n ≥ 30就已足夠。 • 如果母體是常態或近似常態分配，即使樣本大小不到 30 也可使用。但是 σ 未知的情況，如果母體有嚴重的偏態或是有離群值，樣本大小最好為 n ≥ 50。 第8章區間估計第304頁

  47. 母體平均數的區間估計：σ未知區間估計程序總整理母體平均數的區間估計：σ未知區間估計程序總整理 第8章區間估計第304頁 圖8.8

  48. 8.3 樣本大小的決定 令E = 所要的邊際誤差。 E值是使用者在特定信賴水準下願意接受的邊際誤差。 第8章區間估計第308頁

  49. 母體平均數區間估計的樣本大小 • 邊際誤差 母體平均數區間估計所需的樣本數 利用區間估計法求n時，需假設X-bar符合常態分配。 第8章區間估計第308頁

  50. 母體平均數區間估計的樣本大小 • 即使 σ 未知，如果先前已有 σ 的初始值或計畫值(planning value)，仍可使用式(8.3)。實務上有下列方式可供選擇： • 利用前側實驗獲得的母體標準差作為 σ 的計畫值。 • 利用前測實驗獲得的樣本標準差作為 σ 的計畫值。 • 利用判斷或「最佳猜測法」來決定 σ 值。例如，先估計母體的最大值與最小值，最大值與最小值的差距可作為全距的估計值，再將全距除以 4 作為標準差的約略估計值，以作為母體 σ 的計畫值。 第8章區間估計第308頁

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