2.7 偏导数与全微分

1. 2.7 偏导数与全微分 * 让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元 函数的一些简单知识： 一、二元函数的概念 1. 二元函数的定义 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时. 定义1 　设有三个变量 x , y 和 z , 变量 z按照一定的规律 f , 则称 z是 x , y的二元函数， 总有确定的数值与它们对应， 记为

2. 自变量 x、 y的取值范围称为函数的定义域. 其中 x, y称为自变量， z 称为因变量． 二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为

3. 2. 二元函数的定义域 　　二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D表示. 　　　　　　　　　　　　围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 　 连同边界在内的区域称闭区域， 　 如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.

4. 关于二元函数定义可以由下列图形结合理解: 二元函数的图形是空间的曲面S, 二元函数的定义域是xoy面上的点集 z S y o x D

5. y x o 例：求下列函数的定义域，并画出区域： y o

6. (半平面区域) d (矩形区域) D c x b a 常用到的一些平面区域:

7. y (带形区域) x a b (圆域)

8. (圆环域) （两曲线所围区域） D =

9. 则增量 如果当 时， 比值 的极限存在， 2.7 偏导数和全微分 １．偏导数的定义 定义 称为函数z对 x的偏增量， 即 记为 xz，

10. 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 对x的偏导数， 则称此极限值 记作 即

11. 或 其中 称为函数 z对 y的偏增量. 同样， z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 y的偏导数定义为 记作

12. 如果 f (x , y) 在区域 D内每一点 (x , y) 处对 x的偏导数都存在， 此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x的偏导函数， 那么这个偏导数是 x , y的函数， 记作 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 函数， 类似地， 记作 在不致混淆的情况下， 偏导函数也称偏导数.

13. 求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算. 2.偏导数的求法 例1 设函数 求 解：

14. 例2 设函数 解： 类似可得

15. 定义2.8 二阶偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数 如果这两个函数关于 x , y的偏导数也存在， 一般说来仍然是 x , y的函数， 则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数. 　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个：（用符号表示如下） 依照对变量的不同求导次序，

17. 其中 及 称为二阶混合偏导数. 类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. 注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即

18. 试求 ， . 例3 解

19. 验证了

20. 请同学们自己计算：

21. 与一元函数的微分 类似,具备一定条件的二 元函数的全增量 也有相 应地简单近似公式,即全微分， 如果二元函数z = f (x , y) 在点(x0 , y0) 处 的两个偏导数存在且连续，称 为函数z = f (x , y) 在点(x0 , y0)的全微分，可以 2.7.2 全微分 定义 记为：dz， 即 这时， 也称函数 z = f(x , y)在点(x0 , y0)处可微.

22. 　　如果函数 z = f(x , y)在区域 D内每一点都可微， 则称函数 z = f(x , y)在区域 D内可微. 一般地,记 ,则 的全微分可写成

23. 例1 求函数 在点 (2 , 1) 处当 时的全增量与全微分. 解 全增量 因为

24. 所以全微分

25. 关于2.7.3 二元复合函数的微分法 2.7.4 二元函数的无条件极值 同学们可以自己有兴趣阅读