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概率论与数理统计第 6 讲. 本讲义可在网址 http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载. 习题 1-3 第 23 题 任取两个真分数 , 求它们的乘积不大于 1/4 的概率 . 解 : 假设这两个真分数取值为 x , y , 每次试验为一对数 ( x , y ), 可用平面上的点表示 :. y. 1. xy =1/4. x. O. 1. 1/4. 因此所求概率为 :. 第二章 随机变量及其分布.
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概率论与数理统计第6讲 本讲义可在网址http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载
习题1-3 第23题 任取两个真分数, 求它们的乘积不大于1/4的概率.解:假设这两个真分数取值为x,y, 每次试验为一对数(x,y), 可用平面上的点表示: y 1 xy=1/4 x O 1 1/4
在随机试验中, 人们除了对某些特定事件发生的概率感兴趣外, 往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果, 因而被称为随机变量. 与普通的变量不同, 对于随机变量, 人们无法事先预知其确切取值, 但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.
一, 随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化, 即把随机试验的结果与实数对应起来.
1.在有些随机试验中, 试验结果本身就由数量来表示.例如, 在抛掷一颗骰子, 观察其出现的点数的试验中, 试验的结果就可分别由数1,2,3,4,5,6来表示.
2.在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数值无关, 但可以指定一个数量来表示之.例如, 在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中, 若规定"出现正面"对应数1, "出现反面"对应数-1, 则该试验的每一种可能结果, 都有唯一确定的实数与之对应;
上述例子表明, 随机试验的结果都可用一个实数表示, 这个数随着试验的结果不同而变化, 因而它是样本点的函数, 这个函数就是我们要引入的随机变量.
二, 随机变量的定义定义1设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为随机变量.注: 随机变量即为定义在样本空间上的实值函数. X(e1)和X(e3) e1 e3 R O e2 S X(e2)
随机变量X的取值由样本点e决定. 反之, 使X取某一特定值a的那些样本点的全体构成样本空间S的一个子集, 即A={e|X(e)=a}S.它还是一个事件, 当且仅当事件A发生时才有{X=a}, 为简便起见, 今后将事件A={e|X(e)=a} 记为{X=a}
随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母x,h等表示. 而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母x,y,z等.随机变量与高等数学中的函数的比较:①它们都是实值函数, 但前者在试验前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值.②因试验结果的出现具有一定的概率, 故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
例1在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢一元钱, 出现反面时输1元钱, 则样本空间为S={正面, 反面}, 记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函数定义为
例2在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H, 反面T出现情况的试验中, 其样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};记每次试验出现正面H的总次数为随机变量X, 则X作为样本空间S上的函数定义为
易见, 使X取值为2的样本点构成的子集为A={HHT,HTH,THH}故 P{X=2}=P(A)=3/8,类似地, 有P{X1}=P{HTT,THT,TTH,TTT} =4/8.
例3在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,+)中的任何一个实数, 若用X表示灯泡的寿命(小时), 则X是定义在样本空间S={t|t0}上的函数, 即X=X(t)=t, 是随机变量.
三, 引入随机变量的意义随机变量的引入, 使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.例如, 某城市的120急救电话每小时收到的呼唤次数X是一个随机变量.事件{收到不少于20次呼叫}可表示为{X20}, 事件{收到恰好为10次呼叫}可表示为{X=10}.
随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非离散型随机变量中最重要的是连续性随机变量. 今后, 我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.
一, 离散型随机变量及其概率分布设X是一个随机变量, 如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个, 则称X为一个离散型随机变量.设x1,x2,是随机变量X的所有可能取值, 对每一个取值xi, {X=xi}是其样本空间S上的一个事件, 为描述随机变量X, 还需知道这些事件发生的可能性(概率).
定义1设离散型随机变量X的所有可能以值为xi(i=1,2,),P{X=xi}=pi, i=1,2,称为X的概率分布或分布律, 也称概率函数.常用表格形式表示X的概率分布:
例1某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解X可取0,1,2为值,P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81且 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1,于是, X的概率分布可表示为
例2设随机变量X的概率分布为: 试确定常数a. 解 由概率分布的性质有 从中解得 a=e-l
关于分布律的说明:若已知一个离散型随机变量X的概率分布关于分布律的说明:若已知一个离散型随机变量X的概率分布 则可求得X所生成的任何事件的概率, 特别地,
例如, 设X的概率分布由例1给出: 则 P{X0}=P{X=0}=0.01, P{X<2}=P{X=0}+P{X=1} =0.01+0.18=0.19, P{-2X6}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2} =1
二, 常用离散分布1. 退化分布定义2若一个随机变量X以概率1取某一常数, 即P{X=a}=1,则称X服从在a处的退化分布.注: 在所有的分布中, 最简单的分布是退化分布, 是因为其取值几乎是确定的, 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数.
2. 两点分布定义3若一个随机变量X只有两个可能取值, 且其分布为P{X=x1}=p, P{X=x2}=1-p, (0<p<1),则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布.特别地, 若X服从x1=1,x2=0处参数为p的两点分布, 即 则称X服从参数为p的0-1分布. 习惯上常记q=1-p. 易见0<p,q<1, p+q=1.
对于一个随机试验, 针对它所关心的任何一个事件A, 0<P(A)<1, 都可以在S上定义一个服从0-1分布的随机变量: 来描述这个随机试验的结果. 例如, 抛掷硬币试验, 检查产品的质量是否合格, 某工厂的电力消耗是否超过负荷等.
3. n个点上的均匀分布定义4若一随机变量X共有n个不同的取值, 且取每一个值的可能性相同, 即P{X=xi}=1/n, i=1,2,,n,则称X服从n个点{x1,x2,,xn}上的均匀分布.注:可将古典概型与n个点上的均匀分布联系起来, 在古典概型中, 设S={e1,e2, , en}, 令X(ei)=i, 则P{X=i}=1/n, i=1,2,,n, X就服从n点上的均匀分布.
4. 二项分布在n重伯努利试验中, 设每次试验中事件A发生的概率为p, 用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的可能取值为0,1,,n, 且对每一个k(0kn), 事件{X=k}即为"n次试验中事件A恰好发生k次", 根据伯努利概型, 有 (2.2)
定义5若一个随机变量X的概率密度由(2.2)式给出, 则称X服从参数为n,p的二项分布. 记为X~b(n,p)(或B(n,p)). (2.2) 注: 当n=1时, (2.2)式化为 P{X=k}=pkq1-k, k=0,1;q=1-p 此时, 随机变量X即服从0-1分布.
二项分布的图形 pk n O n=10, p=0.7
二项分布的图形之二 pk n O n=13, p=0.5
从图中可看出, 对于固定n及p, 当k增加时, 概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值, 随后单调减少. 可以证明, 一般的二项分布的图形也具有这一性质. 且(1) 当(n+1)p不为整数时, 二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]达到最大值;(2) 当(n+1)p为整数时, 二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.注: [x]为不超过x的最大整数值.
例3已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解 因为这是有放回地取3次, 因此这3次试验的条件完全相同且独立, 它是伯努利试验. 依题意, 每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数, 则X~b(3,0.05), 于是, 所求概率为:
