統計の基礎 第９回 確率の基礎／二項 分布 ６月 17 日

1. 統計の基礎第９回確率の基礎／二項分布６月17日統計の基礎第９回確率の基礎／二項分布６月17日

2. 確率の基礎【目標】 • 確率の考え方を理解し、確率を求める方法を習得する。

3. 【構成】 １．はじめに（確率の把握） (1)日常的確率の理解 (2) 確率の把握 (3)統計と確率 ２．確率の諸用語 (1)用語 (2)ベン図 ３．確率の公式 (1) 公理 (2) 定理 (3)ベイズの定理

4. １．はじめに（確率の把握）(1) 日常的確率の理解 • 相対度数で判断 　・・・コイン、サイコロの例から • 全体で100% • 「100p％」の表記

5. (2) 確率の把握 　　①理論的確率 • 事象の頻度の計測 ・・・限度あり • 標本空間の全事象を数え上げそれぞれが等しく起こるとする 　　 　　「同様に確からしい」を根拠とする

6. ②実験的確率(体験的確率) • 結果としての比率 　　　　・・・・毎回異なる • 実験を無限に繰り返した場合に近づく値→確率 • 日常的には困難 　　大規模調査・実験の繰返し 　近年では大量の情報収集

7. ③主観的確率 • ヒューリスティックな判断 　カン、期待 　　例えばギャンブラーの判断

8. ※確率は直感的には分からない • 説明しても、説明者と同じ理解構造にならないと通じない • 一旦、理解したと思っても、しばしば分からなくなる

9. ※確率は直感では分らない　　　　・ベースレート問題※確率は直感では分らない　　　　・ベースレート問題 • ４０歳の女性が乳がんにかかる確率は１％。 • 乳がん患者が、X線検査で陽性になる確率は９０％である。 • 乳がんではなかったとして、それでも検査結果が陽性になる確率は９％である。 • あなたの検査結果が陽性と出た場合、実際に乳がんである確率は？

10. ・現在像の誤解 • 対等な個別事象を識別できない (理論的判断も容易でない) 　　　　　　モンティホール問題 　　　　　　３人の囚人問題

11. モンティホール問題 • ３つのドア、後に車、ヤギ、ヤギ • あなたは１つのドアを選択 • 後を知っている司会者が残りのドアのうちヤギのドアを開く • あなたは選択を変えるか

12. ３人の囚人問題 • 王様の結婚により、3人の死刑囚のうち一人に恩赦、無作為に選出・・・1/3 • 囚人が、看守から他の囚人のうち恩赦にならない者の名前を聞く。 • 恩赦にならないのは、 他の一人の囚人か自分・・・・・1/2？

13. ・条件設定の曖昧さ • 二人とも女の子の確率　 　　無条件 上は女 　　１人は女

14. ・ヒューリスティックな判断_1具体的な内容の選択・ヒューリスティックな判断_1具体的な内容の選択 　どちらの災害がより起きそうか • a.「1000人が津波で死亡する東海大地震」 • b.「1000人が死亡する日本国内での大地震」

15. ・ヒューリスティクな判断_2(人間的で必ずしも合理的でない)な判断をしがち・ヒューリスティクな判断_2(人間的で必ずしも合理的でない)な判断をしがち • 負け続けのギャンブラー　　今後こそは • 勝ち続けのギャンブラー　　今度も • 宝くじの購入(?)

16. ・ビッグ・データの危うさＤＮＡの一致による犯人断定・ビッグ・データの危うさＤＮＡの一致による犯人断定 • 一致は10万人に一人 • 犯人に間違いないと考えてよいか • この都市の人口は100万人

17. ※検討の歴史は古くない・・・不確実性を計測する発想は新しい※検討の歴史は古くない・・・不確実性を計測する発想は新しい • ギリシャ・ローマでは発展しなかった • カルターノ「偶然のゲームに関する書」16世紀 • カール・ピアソン　19世紀

18. (3) 統計と確率 • 統計は確率の問題であり、 　かなり外れることもある

19. ２．確率の諸用語(1) 用語 • 事象 　　偶然性を伴う実験の結果 　　　例えば、コイン投げの結果 • 根元事象 　　それ以上細分できない単一の事象 • 複合事象 　　 　2回のコイン投げなど

20. 標本空間 　　事象を検討する場 • 全体集合 　　起こりうるすべての結果(事象)の集合　{} • 部分集合 • 排反 　　同時に起こらない事象(の集合)

21. 試行

23. 余事象　Ａ’⇒　Ａ∪Ａ’全体集合 • 和事象　∪　cup • 積事象　∩　cap(同時確率) • 空事象φ　Ａ∪Ａ’

24. ３．確率の公式(1) 公理 ①0≦Pr(A)≦1　　範囲　0～1 ②Pr(Ω)=1総和　排反事象の総和＝１ ③Ａ∩Ｂ=φ　⇒　Pr(Ａ∪Ｂ)=Pr(Ａ)+Pr(Ｂ) 　　生起確率＝根元事象の総和

25. (2) 定理 ①加法 Pr(Ａ∪Ｂ)＝Pr(Ａ)＋Pr(Ｂ)－Pr(Ａ∩Ｂ) ②条件付き確率 Pr(Ｂ│Ａ)＝Pr(Ａ∩Ｂ)/Pr(Ａ) ③乗法 • Pr(Ａ∩Ｂ)＝Pr(Ｂ│Ａ)＊Pr(Ａ)

26. ツリーダイアグラム 　枝分かれした事象の確率を乗法で求めていく

27. (3)ベイズの定理 • ある事象が起こった時の 　特定の原因が起こった(起こっている)確率 • Pr(Ａ│Ｂ)＝Pr(Ａ)＊Pr(Ｂ│Ａ)／Pr(Ｂ)

28. ３つの確率が分かっている場合に最後の確率をみつけだす３つの確率が分かっている場合に最後の確率をみつけだす • ４０歳の女性が乳がんにかかる確率は１％。 • 乳がん患者が、X線検査で陽性になる確率は９０％である。 • 乳がんではなかったとして、それでも検査結果が陽性になる確率は９％である。 • あなたの検査結果が陽性と出た場合、実際に乳がんである確率は？ • Ａ;健康者、　'Ａ;患者 • Ｂ;陽性、　'Ｂ;陰性

29. P(A)=健康者比率=99％ • P(B│A)=健康者陽性比率=９％ • P(B)＝陽性比率＝健康者比率×健康者陽性比率＋患者比率×患者陽性比率 　　＝99％×９%＋(1－99%)×90%

30. 陽性者健康比率 ＝ P(A│B) =P(A)･P(B│A)/P(B) =(99％×９％)/( 99％×９%＋(1－99%)×90%) =90.8％

31. 二項分布【目標】 • ベルヌーイ試行の確率について考えるとともに、Excelでのシミュレーションを理解する。

32. 【構成】 １．ベルヌーイ試行 ２．ツリー図から確率を考える ３．順列組合せから確率を求める ４．Excelによる確率計算とシミュレーション

33. １．ベルヌーイ試行 • 結果が二種類のみの試行 (これを繰り返す試行) 例 コイントスの表・裏 サイコロで奇数・偶数 サイコロで２以下・３以上 　紅白玉の抜出しで紅・白

34. 一般に特定の結果が起こる確率をｐとし、 他の結果の確率をｑ＝１－ｐとする。 説明上、片方の結果を「成功」、 他方を「不成功」と表現する。

35. ２．ツリー図から確率を考える • 試行毎に枝分かれするツリーを描く • 確率の検討は、根元事象を数え上げることが基本。 • 各枝端に達する確率は p^i*q^(n-i)

37. ３．順列組合せから確率を求める • 一定回数の試行を何度も繰り返した場合で、成功がｉ回の場合の確率 　→成功がｉ回となる枝を数える • 繰返し回数ｎ個の数からｉ個取り出す 組合せの数に相当

38. 階乗n! • 順列　ｎ個の数の並べ方 n! • ｎ個の内ｉ個だけの数の並べ方 　→後部のｎ－ｉ個の枝別れを落す n!/(n-i)! • ｉ個の組合せ→ｉ個の並べ方　i! • ｎ個のうちｉ個の組合せ方　n!/((n-i)!*i!)

39. 求める確率　　n!/((n-i)!*i!)*p^i*q^(n-i) • この確率の分布　 　→　二項分布 Excel_File (binomdist.xlsx)

41. ４．Excelによる確率計算とシミュレーション 　　→Excel_file二項分布シミュレーショ(ex091_1.xlsx) • 確率計算・・・理論確率 n!/((n-i)!*i!)*p^i*q^(n-i)　に値を入れ 　ヒストグラムを作成する • n!/((n-i)!*i!) →BINOMDIST(成功数、試行回数、成功確率、形式) 　　　　　形式　0;確率密度、1;累積確率

42. シミュレーション・・・実験確率 • 成功の場合１、不成功の場合０を出す 　　乱数　RAND()[0.1)の値　　F9キーで再計算 　　確率ｐで成功　INT(RAND()+p)

43. 　一定回数並べ成功の回数を数える SUM() • 一定回数の試行を多数回繰返し成功回数の出現頻度を数える COUNTIF() • 　　ヒストグラムを描く

44. 試行の繰返し回数をできるだけ増やす

45. 【提出課題】　６月17日出題 • 一定回数のベルヌーイ試行を繰り返すシミュレーションを行い、成功回数のヒストグラムを描く。

46. 【時間末レポート】　６月17日 • サイコロを振り、 出た目を二乗した得点が当たる試行を繰り返した場合に 期待される平均値を求めてください。 • (計算過程も明記すること。)