第二章曲面论

第二章曲面论 §3 曲面的第二基本形式(三) 主讲：尹爱芹

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 教材分析： • 前面已讨论过的法截线法曲率和曲率的关系：可以看出，法截线(C)在P点的弯曲状态；根据它的正负号又可以看出它在P点对曲面的法向量的凹向。这对我们研究曲面在点P的邻域的状态有很重要的作用。但是我们不可能把在点P的所有法截线一一作出而考察它们的弯曲状态和凹向，因此，我们有必要考虑曲面在点P的所有法截线的法曲率的取值范围，即得极值问题。由此定义的主方向、主曲率是讨论曲面在正常点的邻域结构的主要依据。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 一、曲面的主方向和曲率线1、曲面的主方向

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山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 2、主方向的判定定理 • 罗德里格（Rodrigues）定理（罗氏定理）)

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3、曲率线 • 定义：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称其为曲率线。 • 曲率线的微分方程：由主方向满足的充要条件知曲率线 • 的微分方程是：

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 二、曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 • 1、主曲率 • 定义：曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 • 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。 • 2、欧拉公式

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3、主曲率的性质 • 命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 4、主曲率的计算公式

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 5、高斯曲率、平均曲率

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 6、极小曲面 • 定义一个曲面如果它每一点处的平均曲率都为零，则称该曲面为极小曲面。 • 极小曲面的实际模型是：将在空间弯曲的铅丝侵入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面。 • 由习题3可知，正螺面为极小直纹面；下面的例子说明，悬链面是极小旋转曲面。

第二章 曲面论