第八章第 3 课时：圆与圆的位置关系

第八章第3课时： 圆与圆的位置关系 • 要点、考点聚焦 • 课前热身 • 典型例题解析 • 课时训练

要点、考点聚焦 1、本课时的重点：一是圆与圆的五种位置关系与数量关系的相互转化；二是两圆的公切线的内容。

图8-4-1 2、圆和圆的位置关系

数量关系：外离d＞R+r四条公切线 外切d=R+r三条公切线相交R-r＜d＜R+r两条公切线内切d=R-r一条公切线内含d＜R-r当d=0时，两圆同心 3.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上 4.两圆相交的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

6.公切线的性质 (1)如果两圆有两条外公切线，那么这两条外公切线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等. (2)如果两圆有两条外(内)公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分这两条公切线的夹角.

7.中考题型设置 在两圆的五种位置关系中，两圆相交与两圆外切、内切较为重要，考查两圆的位置关系及公切线条数主要出现在填空、选择题中，考察两圆相切或相交的性质，主要出现在计算题和证明题中

课前热身 1.(2003年·北京市)如果两圆的半径分别为3 cm和5 cm，圆心距为10 cm，那么这两个圆的公切线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B

2.两圆的半径比是5∶3，两圆外切时，圆心距是16，如果两圆为含时，它们的圆心距d是( ) A.d＝4 B.4＜d＜20 C.d＞4 D.0＜d＜4 本题选(D) 3.设⊙O1和⊙O2的半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，且R、r是方程x2-7x+10=0的两根，则⊙O1和⊙O2的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.相交 D.外离本题选(C)

4.两圆的直径分别为18 cm和8 cm，它们的外公切线长为12 cm，则这两圆的位置关系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.无法确定本题选（C）

5.如图8-4-2，⊙O1与⊙O2外切于点T，它们的半径分别为4和1，直线AB与⊙O丹1、⊙O2都相切，则直线AB与直线O丹1O丹2所成锐角的正弦值是( ) 本题选（D）

【例1】如图8-4-3，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于C点，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点【例1】如图8-4-3，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于C点，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点 (1)求证：PA·PE=PC·PD. (2)当AD与⊙O2相切，且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长. • 典型例题解析

【解析】(1)两圆相交，常想到的辅助线是两圆的公共弦，这是架起两圆中角的桥梁，如此题中的∠D与∠E，要证等积式，先化成比例式 ，找相似三角形，证△PAD∽△PCE (2)根据已知条件，要求AD，只有关系AD2=DB·DE，因此，须先求出DB、DE，由(1)中PA·PE=PC·PD6PE=2×12PE=4.由相交弦定理PE·PB=PA·PCPB=3，因此BD=9，DE=16，即可求出AD.

【例2】如图8-4-4，⊙O1与⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连结AB、CD、PE. (1)求证：①∠BPA=∠EPA ②

(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心，⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R，其中R≥2r，如图8-4-5，求证：PC·AC为定值(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心，⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R，其中R≥2r，如图8-4-5，求证：PC·AC为定值

【解析】(1)两圆相切，常用的辅助线是两圆的公切线，这条公切线是架起两个圆中的圆周角、弦切角的桥梁，要证①∠BPA=∠EPA，通过过P点作两圆的外公切线MN，得【解析】(1)两圆相切，常用的辅助线是两圆的公切线，这条公切线是架起两个圆中的圆周角、弦切角的桥梁，要证①∠BPA=∠EPA，通过过P点作两圆的外公切线MN，得从而得∠BPA=∠EPA②从这个比例式中，好像可以证△ABC与△BCD相似，但我们一看就知△ABC与△BCD不可能相似，下面应该思考的是找中间比，由DC∥AB

(2)两圆相切的性质是两圆心的连线必过切点，因此P、O1、O2三点共线，要证PC·AC为定值，只要证PC·AC=BC·CE中的BC·CE是定值即可，所以连结PO2、O1C，则O1C⊥BE且C是BE的中点，EC=R-O2C，BC=R+O2CEC·BC=R2-O2C2(2)两圆相切的性质是两圆心的连线必过切点，因此P、O1、O2三点共线，要证PC·AC为定值，只要证PC·AC=BC·CE中的BC·CE是定值即可，所以连结PO2、O1C，则O1C⊥BE且C是BE的中点，EC=R-O2C，BC=R+O2CEC·BC=R2-O2C2 而O2C2=(R-r)2-r2=R2-2Rr ∴EC·BC=R2-(R2-２Rr)=2Rr ∴PC·AC为定值2Rr

【例3】半径分别是10 cm和17 cm的两圆相交，公共弦长为16 cm，求两圆的圆心距. 【解析】解这类无图的题目时，在画图时，必须将各种可能出现的情况考虑周全，防止漏解，此题画图时，应该有两种，如图8-4-5(1)(2).图(1)中O1、O2在公共弦AB的两侧，则O1O2=O1C+O2C.图(2)中，O1、O2在公共弦AB的同侧时，则O1O2=O2C-O1C此题应用的是两圆相交的性质：连心线垂直平分公共弦，再利用Rt△AO丹2C，Rt△AO1C中，求出

求出O2C= =15 cm，O1C= =6 cm ∴O1O2=15+6=21cm或O1O2=15-6=9 cm

【例4】(2003年·浙江省舟山市)如图8-4-6，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径是2，⊙B的半径是1，AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于D (1)若PC=PD，求PB的长

(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由.(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由. (3)当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD.请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似，并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论.

(3)解答这类问题，要先把△APC∽△PBD看作已知条件，来推导P在线段AB的何处.在△PCA与△PDB中，ACBD=21=PC PD(或APBP)∠C=∠D=90°△PCA∽△PDB. ∴∠BPD=∠APC=∠BPE(E在CP的延长线上) ∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等. ∵⊙B与PD相切，∴⊙B也与CP的延长线PE相切. 因此当PC∶PD=2∶1或PB=43时，也有△PCA∽△PDB

方法小结 1.遇两圆相交，常常作两圆的公共弦为辅助线，以实现两圆之间的各种角的相等关系的转化. 2.在两个圆组成的图形中，不论它们是相交、相切，还是相离，都要注意利用前面学过的圆的各种性质，不要因为图形中有两个圆相交或相切就只想到利用两圆相交或相切的性质. 3.公切线是常用的辅助线：当两圆外切时，作它们的内公切线；当两圆内切时，作它们的外公切线.

课时训练 一、课堂反馈 1.(2003年·武汉市)已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，两个圆的圆心距为10 cm，则两圆的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离本题选（D）

2.(2003年·辽宁省)如图8-4-7，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是( ) 本题选（A）

3.如图8-4-8，⊙O1与⊙O2相交，P是⊙O1上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( ) A.1、2 B.1、3 C.1、2、3 D.1、2、3、4 本题选（C)

4.(2003年·河北省)如图8-4-9，这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米，轴心距为6分米，那么传动带的长为( )分米本题选（B)

5、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距 是2，那么另一个圆的半径是( ) A.1 B.5 C.2或3 D.1或5 本题选（D)

6.如图8-4-10，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线CD交⊙O丹1于C，交⊙O2于D，经过点B的直线EF交⊙O1于E，交⊙O2于F，求证：CE∥DF.6.如图8-4-10，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线CD交⊙O丹1于C，交⊙O2于D，经过点B的直线EF交⊙O1于E，交⊙O2于F，求证：CE∥DF. 证明：连结AB ∵∠C+∠1=180°，∠1=∠D ∴∠C+∠D=180° ∴CE∥DF

第八章第 3 课时：圆与圆的位置关系