Journée régionale de l’APMEP Mercredi 17 mars 2004

1. Journée régionale de l’APMEPMercredi 17 mars 2004 • On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM), lors de la conférence qu’elle a donnée le 17 mars 2004 à l’IUFM de Grenoble. • On pourra également se reporter au numéro 449 du bulletin vert de l’APMEP (Novembre-Décembre 2003), dans lequel Michèle Artigue traite des aspects voisins de ceux qu’elle a évoqués à cette occasion.

2. Enseigner les mathématiques aujourd’hui, pourquoi? Pour qui ? Comment ? Michèle Artigue Université Paris 7 et IREM

3. Plan • Une question récurrente mais sans cesse renouvelée • Des tendances générales convergentes : • Mathématiques pour tous • Mathématiques et citoyenneté • Mathématiques et autres disciplines • Compétences / Contenus • Mais aussi une réelle diversité : • Au niveau des cultures • Au niveau des contenus : le cas de l’algèbre

4. Une interrogation récurrente… Alain (1932) : « Un grand homme d’état a exprimé en deux mots ce que chaque être humain doit savoir le mieux possible : géométrie et latin… La géométrie est la clef de la nature. Qui n’est point géomètre ne percevra jamais bien ce monde où il vit et dont il dépend. Mais plutôt il rêvera selon la passion du moment, se trompant lui-même sur la puissance antagoniste, mesurant mal, comprenant mal, comptant mal, nuisible et malheureux… Il n’en faut pas plus mais il n’en faut pas moins. Celui qui n’a aucune idée de la nécessité géométrique manquera l’idée même de nécessité extérieure. Toute la physique et toute l’histoire naturelle ensemble ne la lui donneront point… Le beau de la géométrie est qu’il y a des étages de preuves, et quelque chose de net et de sain dans toutes »

5. Une interrogation récurrente… NCTM Standards (2002) « Nous vivons dans un monde mathématique, où chaque fois que nous décidons un achat, que nous choisissons une assurance ou un plan de santé, que nous utilisons un tableur, nous nous appuyons sur une compréhension mathématique.Internet, les cédéroms et les autres média diffusent de grandes quantités d’information. Le niveau de pensée mathématique et les capacités de résolution de problèmes requises au travail se sont accrues dramatiquement. Dans un tel monde, ceux qui comprennent et peuvent faire des mathématiques auront des opportunités que les autres n’auront pas. Les compétences mathématiques ouvrent des portes. L’absence de celles-ci les ferme. »

6. Des réponses récurrentes • La transmission d’une culture, patrimoine de l’humanité • La formation de l’esprit à travers raisonnement et rigueur • L’apprentissage de connaissances « utiles » voire nécessaires pour la vie sociale • Le développement du capital mathématique et scientifique des sociétés

7. Mais des équilibres, des interprétations changeantes liées • Aux évolutions culturelles, sociales, scientifiques et technologiques Mais aussi : • Aux conceptions de l’apprentissage et à l’évolution de nos connaissances sur les processus associés

8. L’intérêt d’un regard extérieur • Questionner certaines « évidences » • Elargir notre champ de référence • Nous aider à mieux comprendre notre situation particulière en mettant en évidence des convergences et différences avec d’autres contextes culturels et institutionnels

9. Quelques tendances générales • Des mathématiques pour tous • Des mathématiques au service d’une citoyenneté démocratique • Des mathématiques plus ouvertes sur l’extérieur • Et, au service de ces tendances, de nouvelles approches curriculaires où les compétences tendent à prendre le pas sur les contenus.

10. Des mathématiques pour tous • Le premier principe à la base des NCTM Standards : le principe d’équité : • Tous les élèves, quels que soient leurs caractéristiques personnelles, culturelles et physiques doivent avoir les mêmes possibilités d’étudier et d’apprendre des mathématiques… • On doit avoir des ambitions élevées en termes d’apprentissage pour tous les élèves • Mais dans le même temps, des difficultés à mettre en œuvre ce principe provoquant des tensions évidentes : le cas du programme « No child left behind ».

11. Mathématiques et citoyenneté Une éducation promouvant des valeurs démocratiques Une société de plus en plus numérisée Quantitative literacy Mathematics and Democracy (NCED)

12. La notion de « quantitative literacy » • La capacité à gérer les aspects quantitatifs de la vie. • Une capacité inséparable des contextes et qui se développe plus « horizontalement » que « verticalement ». • Une vision où les statistiques, le raisonnement sur l’incertain jouent un rôle essentiel. Mais une question essentielle, celle des rapports entre : « quantitative literacy » et mathématiques

13. Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur • Des mathématiques recherchant le dialogue avec les autres disciplines scolaires. • Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur de l’école : • le développement d’une pédagogie de projets, • l’exemple des pays nordiques.

14. De nouvelles approches curriculaires: compétences /contenus • Une importance croissante accordée à l’identification des compétences que l’éducation mathématique doit développer. • Une organisation curriculaire qui reflète cette évolution.

15. Le projet Danois KOM (www.nvfaglighed.emu.dk) • Utiliser la notion de compétence pour structurer le curriculum : • la compétence mathématique est définie comme la capacité d’un individu à agir de façon mathématiquement appropriée face à une situation problématique, • personne n’est totalement compétent (respectivement incompétent).

16. Les raisons d’un tel choix: lutter contre la « syllabusitis » • Syllabusitis : Penser que la maîtrise d’un domaine peut être identifiée à celle des contenus d’un programme. • Une approche qui rend difficile, selon les auteurs du projet : • de clarifier ce qu’est la formation mathématique, • de faire une place au travail essentiel de mathématisation, • de prendre en compte des types et des niveaux différents de besoins mathématiques.

17. Une classification des compétences autour de 8 pôles • Penser mathématiquement • Poser et résoudre des problèmes mathématiques • Analyser et construire des modèles mathématiques • Raisonner mathématiquement • Représenter des entités mathématiques • Manipuler des symboles et formalisations mathématiques • Communiquer en, avec et à propos de mathématiques • Savoir utiliser aides et instruments, dont les TIC

18. Les compétences (suite) Des compétences déclinables ensuite suivant les domaines mathématiques et les niveaux, et évaluées selon trois dimensions : • le niveau d’approfondissement, • le rayon d’action, • le niveau technique.

19. Et, complétant ces 8 pôles… • Des vues d’ensemble et avis sur : • les applications actuelles des mathématiques dans d’autres disciplines et dans les pratiques, • le développement historique des mathématiques, • la nature des mathématiques comme discipline.

20. Un exemple de problème 10 = 44 Une vitesse élevée tue ! • Une voiture conduit à la vitesse de 50km/h est dépassée par une voiture roulant à 60 km/h. Quand les deux voitures sont juste côte à côte, une petite fille s’engage sur la route quelques mètres devant. Les deux conducteurs pilent au même instant et leurs voitures ont des capacités de freinage identiques. La première voiture s’arrête juste à temps, la seconde heurte la petite fille à 44 km/h. 7 enfants sur 10 meurent dans un tel accident.

21. Mais aussi des diversités indéniables reflétant la diversité des cultures • L’influence de systèmes de valeurs très différents qui dépassent le seul monde de l’éducation • Des organisations et choix curriculaires très divers : • curriculum intégré ou non, • équilibres entre les domaines, • stratégies didactiques.

22. Le cas de l’entrée dans le monde de l’algèbre Trois stratégies principales : • l’entrée par le monde des équations, • l’entrée par la recherche de « patterns » et les formules, • l’entrée par les fonctions.

23. Trois stratégies principales • Privilégiant chacune un certain rapport à la lettre. • Posant de façon différente les rapports arithmétique / algèbre. • Exploitant des fonctionnalités différentes de l’algèbre. • Induisant des dynamiques d’apprentissage différentes.

24. L’entrée par patterns et formules Pays anglo-saxons Nombre généralisé, généralisation Equations Fonctions

25. La bordure (IREM de Poitiers) Combien de carreaux dans la bordure pour un carré de côté 4, de côté 10 ? N+N+N+N+4, 4N+4 4(N+2)-4 2(N+2)+2N (N+2)2-N2 Comment trouver le nombre de carreaux pour n’importe quel carré ?

26. Patterns et formules : vers fonctions et équations Si je double le côté du carré, que se passe-t-il pour la bordure ? Est-ce qu’il y a des bordures de 200, 210, 1000 carreaux ?

27. Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques

28. Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques

29. L’entrée par formes et formules • Une entrée qui privilégie un parcours : • Nombre généralisé – Variable – Inconnue • Généralisation – Fonctions – Equations • Une entrée qui adoucit la transition arithmétique / algèbre. • Une entrée qui est généralement associée à des enseignements précoces de l’algèbre. • Une entrée qui réhabilite le travail sur les formules.

30. Les entrées dans le monde algébrique Equations France Hongrie Israel Italie Hong Kong Fonctions

31. Les entrées dans le monde algébrique La modélisation fonctionnelle de situations Pays Bas Japon Equations

32. Les Pays Bas : Realistic Mathematics Education • Une entrée par des situations fonctionnelles « réalistes », en utilisant divers registres sémiotiques • Une entrée dès le début du collège avec une grande attention accordée à la modélisation et à la progressivité du symbolisme • Une routinisation des procédures qui ne s’effectue que plus tardivement (grade 10)

33. La diversité curriculaire en algèbre • Des choix sensiblement différents pour l’entrée dans le monde algébrique : • Entrée précoce ou non • Généralisation, Equations, Fonctions Mais aussi • La répercussion des structures générales : curriculum intégré ou non • Des attentes très différentes dans la maîtrise technique

34. Que retirer de ces comparaisons ? • L’entrée dans le monde algébrique : une entrée reconnue universellement comme problématique et dont on comprend mieux la complexité aujourd’hui du fait des nombreuses recherches menées dans ce domaine. • Diverses stratégies possibles. • L’intérêt au début du collège d’un travail sur patterns et formules qui peut aider à mettre en place de façon moins brutale le symbolisme algébrique tout en faisant vivre une valeur essentielle de l’algèbre : sa valeur d’outil de généralisation.