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餘弦定律

餘弦定律. TM006. 由正弦定律開始 …. 什麼是正弦定律？ 正弦定律的意義為何？ 「將大邊對大角；小邊對小角」的敘述 定量化 。 它如何幫我們解決三角形的邊角問題？. 動動手 …. 解法 …. ← Why?. 再來一題 …. 可以用正弦定律？. 4. 可以這麼做 …. 3. D. 3. D. 4. 如果將 60° 換成 θ 呢？. 用 cosθ 來表示，試試看！. c. D. a. 接著，將邊長 3,4 換成 c,a 呢？. 用 c,a,cosθ 來表示，試試看！. 餘弦定律.

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餘弦定律

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Presentation Transcript

  1. 餘弦定律 TM006

  2. 由正弦定律開始… • 什麼是正弦定律？ • 正弦定律的意義為何？ • 「將大邊對大角；小邊對小角」的敘述定量化。 • 它如何幫我們解決三角形的邊角問題？

  3. 動動手…

  4. 解法… ←Why?

  5. 再來一題… 可以用正弦定律？

  6. 4 可以這麼做… 3 D

  7. 3 D 4 如果將60°換成θ呢？ 用cosθ來表示，試試看！

  8. c D a 接著，將邊長3,4換成c,a呢？ 用c,a,cosθ來表示，試試看！

  9. 餘弦定律 知道二邊及夾角，我們便可求出第三邊之長，這樣的關係，稱為餘弦定律

  10. 問題一 • 上面的推導過程，∆ABC是銳角三角形。那麼，若∆ABC是鈍角三角形時，上述的餘弦定律仍然會成立嗎？

  11. c D a 比較一下…

  12. 問題二 • 當∠C=90°，則 • 因此餘弦定律與畢氏定理有何關係？ • 那麼，餘弦定律有什麼幾何意義呢？ 餘弦定律可視為畢氏定理的推廣(夾角非90°時) 畢氏定理可看成餘弦定律的特例。

  13. 修正項 問題三 • 既然餘弦定律可視為畢氏定理的推廣。當角度非90°時，加上修正項，描述三邊長的關係 • 那麼，修正項的意義是什麼呢？

  14. 話說重頭… • 我們必須從畢氏定理的歐氏證明說起，才能帶領大家「看見」這個修正項的意義。 • 畢氏定理的歐氏證明指的是歐幾里得在《幾何原本》中所記載的畢氏定理的證明。

  15. 歐幾里得(Euclid)與《幾何原本》 • 對於歐幾里得的生平，我們了解很少。只知道他曾在亞歷山大(Alexander)的博物館和圖書館(約在西元前300年成立)從事教學與寫作的工作。 • 歐幾里得最大的貢獻是編纂《幾何原本》(Element) ，全書共十三卷。其內容是將當時的許多數學著作內容加以重組，並予以公理結構化。而畢氏定理的證明出現在卷一的命題47。

  16. 畢氏定理

  17. 歐幾里得證明畢氏定理的核心想法 • 從C點作一垂直線，垂直FG。 • 如果紅色區域相等；藍色區域也相等。 • 為了便於觀察，我們將圖形旋轉一下 • 則□ABFG面積=□ACDE面積+□BIHC面積

  18. 畢氏定理的歐氏證明(1) • 首先，從這個大家在國中曾見過的證明看起, 它可是整個證明的核心！ 怎麼證？

  19. 畢氏定理的歐氏證明(2) ←Why? 因為

  20. 畢氏定理的歐氏證明(3) 接著, ←Why?

  21. 畢氏定理的歐氏證明(4) 接著, ←Why?

  22. 畢氏定理的歐氏證明(5) 同理, 所以,紅色區域相等；藍色區域也相等。 □ABFG面積=□ACDE面積+□BIHC面積

  23. 如果∠C是銳角的話，會如何？ 再分別由頂點A,B,C向三邊作垂線 先分別在ΔABC三邊， 向外各作出正方形

  24. 仿照證明畢氏定理的方式 同畢氏定理證明的手法，我們知道紅色區域面積會相同。 同理，藍色區域 面積也會相同。 同理，黃色區域 面積也會相同。

  25. 三個正方形面積的關係

  26. 修正項 計算黃色區域面積

  27. 結論 • 由上述的討論可知，由畢氏定理的歐式證明的推廣，我們很清楚地看到餘弦定律 可以被看成是銳角的三角形邊長所形成的三個正方形面積之間的關係。 (事實上，鈍角也會成立) • 而修正項 則可看成是面積。用來調整三角形邊長所形成的三個正方 形面積之間的關係。

  28. 回家作業 • 試問，若ΔABC中，∠C為鈍角時，cosC<0, 那麼修正項的面積代表什麼意義呢？ • 請仿照上述方法討論餘弦定律的幾何意義。

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