Transport thermique

Transport thermique

Contexte • Miniaturisation de transistors → Problème auto-échauffement local + due à l’émission de phonon par électrons chauds + Réduction de mobilité d ’électrons (Si : μe~ T-3/2) et performance non-optimale de dispositifs • Méthode pour résoudre problème thermique : + Echelle macroscopique : Loi de Fourrier + Echelle micro à nano : BTE + Echelle nano (qqs nm) : Fonction de Green → BTE est un candidat approprié pour décrire le transport de phonon - MC simulation pour le transport d’électrons à l’équilibre et hors-équilibre et pour évaluer la génération de phonon par interaction électron-phonon.* - BTE pour la transport de phonons

5x1019 cm-3 6 nm 1015 cm-3 5x1019 cm-3 20nm 20nm 100nm Quantités physiques obtenues de E-MC TSiO2 = 1.2nm

5x1019 cm-3 6 nm 1015 cm-3 5x1019 cm-3 20nm 20nm 100nm Génération donnée par E-MC TSiO2 = 1.2nm Vg = 0.7V Vds = 1.0V Puissance - Vds Longueur de relaxation Plus la polarisation est forte, plus le scattering est important et plus le transport est hors-équilibre.

5x1019 cm-3 6 nm 1015 cm-3 5x1019 cm-3 20nm 20nm 100nm Distribution spatiale de phonons émis TSiO2 = 1.2nm Vg = 0.7V, Vds = 1.2V • Emission de phonon principalement dans le drain. • Elargissement de plage d’énergie émise à fort champ (au début du drain).

Equation de Boltzmann (BTE) • Approximation semi-classique -> Fonction de distribution f(r,k,t) • Evolution de f(r,k,t) -> BTE • Résolution directe vs. Résolution stochastique + Pour électrons : 3D dans l’espace réciproque (même dans l’espace réelle 2D) -> coût de ressource informatique -> résolution stochastique + Pour phonons : pas de force F -> 2D en espace réelle (film) -> résolution directe Taux net de génération (E-P interaction) Variation de f dûe aux collisions Ou E(k) est la relation de dispersion Approx. de temps de relaxation (RTA)

Approximation RTA BTE par mode en utilisant Relaxation Time Approximation Equation de Fourier BTE « directe » : (rx,ry,rz,qx,qy,qz) ex : matrice 306 X306 = 7290000002 Eq. de Fourier -> Tscatt utilisé dans RTA pour BTE

Harmoniques sphériques d’ordre 1 Développement harmoniques sphériques : ordre 1 BTE « harmoniques » : (rx,ry,q) ex : matrice 303 X303 = 270002 Eq. de Fourier -> Tscatt -> BTE « directe ou harmonique » => distribution de phonons

Et la température ? • En physique, elle se définit de plusieurs manières : comme fonction croissante du degré d’agitation thermique des particules (en théorie des gaz) (T=2/3.Ec/kb), par l’équilibre des transferts thermiques entre plusieurs systèmes ou à partir de l’entropie (en thermodynamique et en physique statistique) (T=dU/dS|V,n) • (cf wikipedia) • Mais hors équilibre ????? • Ici, nombre de phonons par mode -> Tmode , nb. total de phonons -> Teff • Autre inversion N(q) avec la distribution de Bose-Einstein

Relation de dispersion (Pop JAP 2004) • Temps de relaxation (Holland PRB 1963) • Libre parcours moyen • Nécessiter : • ζ(q) : temps de relaxation • : relation de dispersion

Mise sous forme matricielle • Discrétisation : • Décompositions spatiales: • + Nœud selon x : 1, 2, 3, … Nx • + Nœud selon y : 1, 2, 3, … Ny • Le vecteur n dimensions Nx*Ny : • nt = n1,1 n1,2… n1,Ny n2,1 … n2,Ny … ni,j …nNx,1 …nNx,Ny • Décomposition de dérivée : Tg Td On peut maintenant écrire l’équation (2) sous la forme discrétisée : adiabatique avec i = 2 :(Nx-1) et j = 2 :(Ny-1). + Condition aux limites

Résolution numérique H.N=C => N=H-1.C

BTE directe : Température vs longueur Nous Narumanchi Lacroix PRB 2005 Résoudre BTE ss approx. par méthode MC Trans. ASME 2004 Résoudre BTE transitoire pour énergie Résoudre BTE directe en utilisant Tscatt donnée par Eq. de Fourrier • Nous : résultats en cohérence avec les résultats de BTE transitoire. • Le transport est moins balistique dans notre résolution de BTE (numérique) que dans le modèle de Lacroix (méthode Monte Carlo)

BTE directe : Régime Diffusif L = 4 μm Spectres en q Spectres en q quasi symétriques, quasi équilibres

BTE directe : Régime balistique L = 2 nm Spectres en q • Spectres en q dissymétriques, • hors équilibres

BTE harmonique Profil de température le long du barreau L = 2 μm L = 2 nm • Régime diffusif - > Ok • Régime balistique -> BTE harmonique n’est pas validé.

Longueur du drain Vds = 1.5 V, Vg = 0.7 V S20-C20-D50 S20-C20-D20 S20-C20-D100

Effet de la longueur de drain Vds = 1.0 V, Vg = 0.7 V BTE directe S20-C20-D50 S20-C20-D100 S20-C20-D20 BTE harmonique

Effet de la longueur de drain Vds = 1.5 V, Vg = 0.7 V BTE directe S20-C20-D50 S20-C20-D100 S20-C20-D20 BTE harmo

Comparaison T – S20-C20-D100 Dans le cas d’un dispositif avec le drain assez longue (voir bien la longueur de relaxation), températures obtenues par BTE directe et BTE harmonique sont près.

Comparaison T – S20-C20-D20 BTE harmonique : sur- estime les températures des 4 types de phonons et en conséquence Teff par rapport à BTE directe.

Transport hors-équilibre BTE directe Vds=1.5, Vg = 0.7 BTE harmonique • Les 2 BTE montre l’effet hors- équilibre le long du dispositif. • Au point « chaud », les 4 modes sont loin d’état équilibre. Ils tendent au régime équilibre au fur et à mesure le long du dispositif. • Le fait que LA est plus favorisé par BTE directe que par BTE harmonique, le transport de LA est plus hors- équilibre en résolvant BTE directe .

BTE directe : transport hors-équilibre Vds S20-C20-D20 Vds=1.5, Vg = 0.7 Vds=1.0, Vg = 0.7 Plus champ est fort, plus transport est hors équilibre.

BTE directe : Flux thermique S20-C20-D50 Vds=1.5, Vg = 0.7 • Importance de LA • Rapport de flux • + Le long du dispositif : • + Au point « chaud » :

eMC Scattering E-P Taux net de génération de phonon Convergence de courant … ? Entrées pour BTEP Scattering e-p pour eMC Distribution de phonons Scatteringp-p A faire … Couplage électron-phonon dans Monaco

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