數學教室裡的心理學家

1. 數學教室裡的心理學家 半畝方塘一鑑開， 天光雲影共徘徊; 問渠那得清如許？ 為有源頭活水來。 李昆妙

2. 教科書的普羅價值那些68.26％

3. 學生不喜歡學數學的原因 • 1.教師忽視個別差異，經年累月給予所有學生一樣的課堂要求及作業； • 2.大多教師嫺熟「數學」，疏於「數學教學」的理論與實務，學生在數學課堂上多是一題解過一題，一頁做過一頁； • 3.數學作業多為紙筆式，未能採用多元化的作業方式； • 4.堅持學生須採用某種方法解題而忽略了其實數學可有多種解法； • 5.在學生犯錯時給予額外的數學作業以示懲罰； • 6.採用訓練方式來教數學，學生往往面對同一類型題目時，須做非常多機械式的練習； • 7.在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。(Oberlin，1982)

4. 數學學習的內容：從概念的角度來看

5. 學童的整數概念 • 學童有關整數概念在品質上的差異：以65為例 • 數的前置概念：由1開始對應標準數詞序列到具體事物的最後一項。 • 數的起始概念：由65個「1」所合成的新集聚單位。 • 內嵌數概念：代表由一個集聚單位，再往上累積幾個「1」所合成的新集聚單位。 • 巢狀數概念：代表可由幾個「10」和幾個「1」所合成的新集聚單位。

6. 數概念的品質與運思方式的關係 數概念品質 運思方式 前置概念 起始數概念 序列性合成運思 內嵌數概念 累進性合成運思 部份全體運思 巢狀數概念 測量運思

8. 數學學習的方式：從表徵的意義來看 • 表徵(representation)：是指用某一種形式，將一種事物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。 • 表徵之間的轉譯（translations）：轉譯過程是從某一種表徵的模式至另一種表徵的過程。 • 轉譯是包含兩種模式的表徵形式，如文字表徵轉譯至圖形表徵。若能透過不同表徵系統間的轉譯，可使學生對同一問題的結構與意義有更完整的認識。

9. Bruner（1966）區分表徵為三類 • 動作表徵：指的是透過行動掌握概念。面對刺激我們以所學得的習慣動作做出反應。 • 圖像表徵：指的是用心像掌握概念。 • 符號表徵：指的是受外在實物抽象的影響，代表實物或心像的某種抽象性質。

10. Lesh的五種表徵類型 • 真實腳本（real scripts）：利用實物情境的知識或物品來表示或解釋問題情境。 • 具體操作物（manipulative models）：必須配合某些數學概念使用才有意義的具體物，如古氏積木、分數板等。 • 靜態圖形（static pictures）：一種靜態的圖形模式，如面積、數線圖等、統計表、抽象符號（如○、X..）等..。 • 口語（spoken language）：日常生活用的口語符號。 • 書寫符號（written symbol）：常用的數學符號或算式。如5+6=11、6x+y=76、□+5=8..等。

11. 數學文本閱讀vs轉譯

12. 影響學生數學閱讀理解的內外在因素 數 學 閱 讀 理 解 數學文本閱讀理解＝－.11一般語文理解＋.85數學閱讀特殊技能＋.15數學閱讀背景知識＋.17對數學文本的情意＋0.105誤差 【取自秦麗花：數學閱讀指導的理論與實務】

13. 整數概念之教學策略－以5為例 • 從已知概念進入教學 • 教學重點 • 評量重點

14. 整數概念之教學策略－以5為例 • 操作具體物與數詞對應 • 教學重點 • 評量重點

15. 整數概念之教學策略－以5為例 • 畫圖（半具體物）與數詞對應 • 教學重點 • 評量重點

16. 整數概念之教學策略－以5為例 • 數詞與數字對應 • 教學重點 • 評量重點

17. 整數概念之教學策略－以5為例 • 數的轉換與大小比較 • 教學重點 • 評量重點

18. 整數概念之教學策略－以5為例 • 數的計算與估算 • 教學重點 • 評量重點

19. 語言經驗學習法 • 閱讀是口語能力的延伸，所以應讓學生用自己的經驗與語言來發展故事，進而學習閱讀。 • 學生在學習文字題之始，教師要多用他們的語言語生活經驗來佈題，使學生再其熟悉的脈絡化語言中，學習數學語言的陳述，以使學生從具體的生活脈絡進入文字學習，進而從文字學習到思考與符號運作。﹙Cramer，2006﹚

20. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？

21. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 分紅包。

22. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 分到多少錢，比一比 小為25元 小博22元 小風34元 小敏30元 小月19元 小為有25元，小博有22元，□的錢比□多 小月有19元，小敏有30元，□的錢比□少

23. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 換成「他」說 小為25元 小博22元 小風34元 小敏30元 小月19元 小為有25元，小博的錢比他少 □ 元 小月有19元，小敏的錢比她多 □ 元

24. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 比一比，差別在哪裡？ 小為25元 小博22元 小風34元 小敏30元 小月19元 小為有25元，小博的錢比他少□ 元 小月有19元，小敏的錢比她多□ 元

25. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 加個問句 小為25元 小博22元 小風34元 小敏30元 小月19元 小為有25元，小博的錢比他少3 元，小博有多少元？ 小月有19元，小敏的錢比她多11元，小敏有多少元？

26. 小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？小英有26元，哥哥比她少8元，請問小英的哥哥有多少錢？ • 換句話說 小為25元 小博22元 小風34元 小敏30元 小月19元 小為有25元，小博的錢比他少3 元，小博有多少元？ 小為有25元，他的錢比小博多3 元，小博有多少元？ 小月有19元，小敏的錢比她多11元，小敏有多少元？ 小月有19元，她的錢比小敏少11元，小敏有多少元？ 小博有22元，…… 小敏有30元，……

27. 運用不同的表徵，形成鷹架 最佳發展區 不能解決問題 需要協助才能解決問題 獨立解決問題 鷹架

28. 問 題 情 境 文 本 理 解 真實 腳本 具體 操作物 靜態 圖形 口語 書寫 符號 鷹架 鷹架

29. 解題基模的教學策略 • 解題者可能呈現的基模因素的差異： • 基模建構品質，除表面特徵外，也要深入理解潛在原理結構與高階關係，將概念分門別類以建構； • 有效的提取知識與基模類比，能運用基模快速類比解題的能力。 • 因此，有效的教學應能協助學生建立高品質的基模與快速提取的策略。

30. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？

31. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 在生活情境中找題目： • 購物中心舉辦「買100送20」活動，消費滿100元贈送20元的禮券一張。請問： • 媽媽買了500元的東西，最多可以兌換幾張禮券？ • 想獲得8張禮券，最少要買多少元的東西？

32. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 換個題目想一想： • 10個棗子是1公斤，請問： • 50個棗子，大約是幾公斤？ • 如果買3.5公斤的棗子，大約是幾個？

33. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 數字變大了： • 30公斤的水果可以榨取2公升的果汁，那麼，想要4.5公升的果汁，需要幾公斤的水果？

34. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 變成小數： • 2.5公尺長的麻繩重1.2公斤，請問，2.5公斤重的麻繩有多長？

35. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 簡化類似題 • 從家裡到學校是2公里，小明走路要花40分鐘，按照這個速度走8分鐘，小明是走了多少距離？

36. 從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？從甲地到乙地距離196公里，搭火車需要2小時48分；這一班火車從乙地到丙地，又花了1小時15分，請問，從乙地到丙地是多少公里？ • 歸納整理，再類推：

37. 運用Polay四個解題階段的解題策略

39. 數學部編版難度較高，影響學生學習動力。---在六下課程中，速率問題皆以文字題呈現，且題目皆在三、四行左右，對多數學生而言難度甚高，速率問題的教材似乎不夠簡單化、生活化。數學部編版難度較高，影響學生學習動力。---在六下課程中，速率問題皆以文字題呈現，且題目皆在三、四行左右，對多數學生而言難度甚高，速率問題的教材似乎不夠簡單化、生活化。

40. 目前班上程度落差大，成績形成極端的分佈，教老師不知該如何進行最佳的有效教學。---升上五、六年級後學生素質差異大，且更明顯，如何提昇同學的數學能力，又能兼顧後半部的基本程度呢？目前班上程度落差大，成績形成極端的分佈，教老師不知該如何進行最佳的有效教學。---升上五、六年級後學生素質差異大，且更明顯，如何提昇同學的數學能力，又能兼顧後半部的基本程度呢？

41. 對於程度落後的同學，應該用何種教學法加以補救。---程度落後的同學，真不知如何補救起，在高年級加減法都無法順利完成，學生壓力大，老師也痛苦。對於程度落後的同學，應該用何種教學法加以補救。---程度落後的同學，真不知如何補救起，在高年級加減法都無法順利完成，學生壓力大，老師也痛苦。

42. 數學領域授課時數不足，常需趕課，學生無法完整吸收。---九年一貫課程實施後的老問題，各領域的授課時數嚴重不足，好像都無解。數學領域授課時數不足，常需趕課，學生無法完整吸收。---九年一貫課程實施後的老問題，各領域的授課時數嚴重不足，好像都無解。

43. 如何有效檢核學生學習與教師教學成效?

44. 一份有效的月考評量應如何設計?

45. 40個蘋果分給4個人，平均每人可以分到幾個蘋果？40個蘋果分給4個人，平均每人可以分到幾個蘋果？ • 10個，因為是10×4 • 40÷4＝10

47. 1張長椅子可以坐5個人，現在來了17個人，要準備多少張椅子，才可以讓全部的人都有椅子坐？1張長椅子可以坐5個人，現在來了17個人，要準備多少張椅子，才可以讓全部的人都有椅子坐？

48. 布丁1個18元，我拿20元去買，可以找回多少元？布丁1個18元，我拿20元去買，可以找回多少元？

49. 馬路上每隔10公尺有一根電線桿，電線桿上有編號，小明從1號電線桿走到9號電線桿，他共走了多少公尺？馬路上每隔10公尺有一根電線桿，電線桿上有編號，小明從1號電線桿走到9號電線桿，他共走了多少公尺？

50. 整數加法進位的問題 • 整數減法退位的問題