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電 路 學

4. 儲能元件：感應器與電容器. 電 路 學. 4-1 儲能元件. 4-8 電感器之電感值. 4-2 電容器之電容量. 4-9 電感器中電壓與電流的關係. 4-3 電容器中電壓與電流的關係. 4-10 儲存於電感器的能量. 4-4 儲存於電容器的能量. 4-11 電感器中電壓與電流的關係. 4-5 電容器電壓之連續性. 4-12 僅含電感器的奇異電路. 4-13 串聯電感器與並聯電感器的 等效電感. 4-6 僅含電容器的奇異電路. 本章練習. 4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容.

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  1. 4. 儲能元件：感應器與電容器 電 路 學 4-1 儲能元件 4-8 電感器之電感值 4-2 電容器之電容量 4-9 電感器中電壓與電流的關係 4-3 電容器中電壓與電流的關係 4-10 儲存於電感器的能量 4-4 儲存於電容器的能量 4-11 電感器中電壓與電流的關係 4-5 電容器電壓之連續性 4-12 僅含電感器的奇異電路 4-13 串聯電感器與並聯電感器的等效電感 4-6 僅含電容器的奇異電路 本章練習 4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容

  2. 4-1儲能元件 (Energy-Storage Elements) 電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件， 因此一般常稱之為儲能元件。 在理想情況下，它們儲存的能量，可在以後某些時候釋回。 換言之，電容器和電感器電路有記憶能力 ( 儲存的能量 可重新叫出)，因此有時亦稱之為動態(Dynamic) 元件。 4-1

  3. 其中 C為比例常數，稱為電容器的電容量或簡稱電容， 由上式得 q C = v + q + + v v - q - - 平行板電容器 4-2電容器之電容量 (Capacitance of Capacitors) 電容器上儲存的電荷 q與外加電壓 v成正比，因此 q = Cv。 其中單位為庫侖／伏特，一般簡稱為法拉( Farad，縮寫為F ) 4-2

  4. 4-3電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors) dq 可得 q = Cv 及 i = dt i + d(Cv) dq + i == C dt dt C v - - 電容器中電壓與電流的關係由 電容器之電路符號 其中 C 在一般情況均為定值，又由上式可知，當 v 為定值時， 則 i = 0，換句話說，對直流穩態而言，理想電容器為開路。 4-3

  5. - - ( t 2 ) t 1 C 0 0 t 0 1 2 -¥ < < 0 , t 0 i ( t ) v ( t ) £ < t , 0 t 1 由圖 (b)可得 = v ( t ) - - £ < ( t 2 ) , 1 t 2 1 i ( t ) £ < ¥ 0 , 2 t + t v ( t ) 1 2 0 - -¥ < < 0 , t 0 - 1 £ < 1 , 0 t 1 因此 dv ( t ) dv ( t ) = = = i ( t ) C dt dt ( a ) ( b ) ( c ) - £ < t 1 , 1 2 < ¥ £ t 0 , 2 4-3電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors) 例 4-2：圖 (a)電路中，設 C = 1F，且外加電壓 v(t)之波形如 圖 (b)所示，試求電流 i(t)之波形。 解： 其波形如圖 (c)所示。 4-3

  6. i ( t ) v ( t ) + i ( t ) K + v ( t ) 1 F t - 0 1 / K 1 / K - ( a ) ( b ) ( c ) A.t£0時，i = 0 1 t ò + = ( ) dt v ( ) 0 -¥ = 0 v ( t ) 1 其中 v(-¥) = 0，由此步驟知 v(0) = 0 -¥ 1 K B.0£t£ 時，i = K 1 1 t ò + = = Kdt v ( ) Kt v ( t ) 0 1 K 1 K v() = 1V 1 由第一步驟已知 v(0) = 0 ，而當 t = 時 0 t 1 0 1 K t ò C.t³時，i = 0 + = = (0)dt v(1 / K) 1 v ( t ) 1 1/K 1 K 電壓 v(t)的波形如圖 (c)所示。 其中 v()= 1V 4-3電容器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Capacitors) 例 4-3：求圖 (a)中之電壓 v(t)，其中電流 i(t)之波形， 　　　　　如圖 (b)所示，且 C = 1F。 解： 4-4

  7. dv t ò 由 = = W ( t ) vi dt i C 及 dt -¥ dv t t æ ö ò ò = = W ( t ) vi dt V C dt è ø c dt -¥ -¥ 可得電容器中的能量為 t 1 t ò 2 = = v dv Cv ( t ) C 2 -¥ -¥ 1 2 = Cv ( t ) W ( t ) c 2 因 v(-¥) = 0，所以 q ( t ) 2 1 上式亦可表示為 = W ( t ) c 2 C 1 = v ( t ) q ( t ) 2 4-4儲存於電容器的能量 (Energy Storage in Capacitors) 儲存在電容器中的能量 Wc(t) 又依據　　q = Cv 4-6

  8. dv dv dt dt 電容器電壓之所以具連續性，可由 i = C解釋， 因若欲瞬間 (dt → 0) 改變電容器電壓值， 則 項會趨近無限大，亦即會有無限大之電流通過電容器， 也就是需要無限大的功率。 　 但此在物理上為一不可能之事，因而跨在電容器上的電壓 不能瞬間改變，但電流可以不連續，亦即可以瞬間改變。 4-5 電容器電壓之連續性（Voltage Continuities in Capacitors) 電容器上的電壓具有連續的特性，亦即電容器上的電壓， 在正常情況下其值不會瞬間改變。 4-7

  9. W i 2 = t 0 + + W 5 m m 1 F 4 F v v 1 2 - - = = = = v ( 0 + ) v ( 0 ) 14 ( V ) ; v ( 0 ) v ( 0 ) 6 ( V ) - - + 1 1 2 1 - 14 14 6 = = = = i ( 0 ) 2 ( A ) ; i ( 0 ) 4 ( A ) - + + 2 5 2 1 1 4-5 電容器電壓之連續性（Voltage Continuities in Capacitors) 例 4-5：下圖電路中已知 v1(0－) = 14V , v2(0－) = 16V， 　 開關在 t = 0時關上，求 v1(0+) , v2(0+)及 i(0+)之值。 解： 1.電容器上的電壓為連續，即 v(0+) = v(0－)。 注意： 2.電容器上的電流可為不連續，例如本例題 i(0－) = 2A但i(0+) = 4A， 即電流瞬間自 2A 變為 4A。 3.關上開關一段時間後，電容上的電壓因釋放能量到電阻而逐漸降至零， 此即電容器的放電行為，此種特性在下一章將進一步分析。 4.電容器上的電壓達一穩定直流值時，其電流將為零。 4-8

  10. 4-6 僅含電容器的奇異電路（Singularity Circuits with Capacitors) • 雖然在大部分的情況中，電容器上的電壓具有連續性， • 但在一些特殊電路中，由於開關的強迫閉合， • 會使得電容器上的電壓有不連續性現象， • 此種電路一般稱為奇異電路。 4-8

  11. i + v C 1 1 - + i + v C v - 2 2 - + + + C v v T - - v C N N - (a) (b) 串聯電容器 等效電路 1 1 1 1 1 = + + + L C C C C T N 1 2 若圖 (b)為圖 (a)之等效電路，則 = + + + v ( t ) v ( t ) v ( t ) v ( t ) L 0 1 0 2 0 N 0 且 4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容（Series and Parallel Capacitors) 串聯電容器的等效電容 4-11

  12. + i i i + 2 1 N i C v i T v C C C - 2 1 N - (a) (b) 並聯電容器 等效電路 若圖 (b)為圖 (a)之等效電路，則 = + + + L C C C C T 1 2 N 4-7 串聯電容器與並聯電容器的等效電容（Series and Parallel Capacitors) 並聯電容器的等效電容 2-12

  13. i f + N 匝 v i - 電感器電流與磁通 4-8 電感器之電感值（Inductance of Inductors) 設f 通過每一匝線圈，則此 N匝線圈所交鏈到的全部磁通量 為λ = N f 在一個線性電感器內，λ與通過電感器之電流 i 成正比， 即 λ = Li 其中比例常數 L即為電感，其單位為韋伯 / 安培， 一般簡稱為亨利( Henry，縮寫為 H )， 因此 1 Wb/A即為 1 H。 4-14

  14. 法拉第電磁感應定律：只要λ有變化，則會在線圈兩端感應出電壓法拉第電磁感應定律：只要λ有變化，則會在線圈兩端感應出電壓 即 ( N ) l f d d di = = = v L dt dt dt L L i + - v L 電感器之電路符號 di 藉由積分 vL = L　 ，我們亦可求出電感器在 t0至 t所產生的電流為 dt 1 t ò = + i ( t ) v ( t ) dt i ( t ) L 0 t 0 其中 i(t0)為自 t = -¥至 t = t0所累積之電流，又 i (-¥) = 0 所以上式亦可改寫成 1 t ò = i ( t ) v ( t ) dt L -¥ 4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors) 電感器的電路符號如右圖所示 當電感器外接直流電流源時， 則 vL = 0 因此一個理想的電感器對直流穩態而言，相當於短路。 4-14

  15. 4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors) + - - ( t 2 ) t 1 1 H v ( t ) i ( t ) 0 0 - t 0 1 2 ( a ) v ( t ) i ( t ) -¥ < < 0 , t 0 £ < t , 0 t 1 1 = i ( t ) - - £ < ( t 2 ) , 1 t 2 t £ < ¥ 0 , 2 t 1 2 0 - 1 -¥ < < 0 , t 0 由　　　　可得 di di = = v L £ < 1 , 0 t 1 dt dt ( b ) ( c ) = v ( t ) - £ < 1 , 1 t 2 £ < ¥ 0 , 2 t 例 4-10：圖 (a)之電路，其電流源之波形如圖 (b)所示， 試求其電壓之波形。 解： i(t)可表示成 且其波形如圖 (c)所示。 4-15

  16. v(t)可表示為 + - - ( t 2 ) t 1 1 H v ( t ) i ( t ) 0 0 - t 0 1 2 ( a ) A. 當 -¥ <t < 0 時， 因 i(-¥ = 0)。 v ( t ) i ( t ) B. 當 0£t < 1時， 。 由　　　　　　　可得 1 C. 當 1£t < 2 時， 由步驟 B，i(1) = 1。 t 1 t ò = + i ( t ) v ( t ) dt i ( t ) 1 2 0 L 0 t 0 - 1 t 1 ò = + -¥ < < i ( t ) 1 dt i ( ) = t(A) 0 , t 0 0 1 t L ò 0 = + -¥ i ( t ) 0 dt i ( ) = 0 L £ < 1 , 0 t 1 -¥ D. 當 2£t <¥時， 由步驟 C，i(2) = 0。 1 t ( b ) ( c ) ò = = + i ( v t ( ) t ) (-1) × dt i ( ) = –t +1+1 = 2 – t =– (t – 2)(A) 1 L - £ < 1 1 , 1 t 2 £ < ¥ 0 , 2 t 1 t ò = + i ( t ) 0 dt i ( ) = 0 2 L 2 4-9 電感器中電壓與電流的關係 (Voltage-Current Relationship in Inductors) 例 4-11：同前例，改為圖(c)之電壓，試求其電流 i(t)之波形。 解： 4-16 由上述步驟可得i(t)之波形如圖 (c)。

  17. di t ò = = W ( t ) vi dt v L 及 dt -¥ 依 dv t t æ ö ò ò 可得 = = W ( t ) vi dt C idt è ø dt L -¥ -¥ t 1 t ò 2 = = i di Li ( t ) L 2 -¥ -¥ 1 因 i(-¥) = 0，所以 2 = Li ( t ) W ( t ) 2 L 4-10 儲存於電感器的能量 (Energy Storage in Inductors) • 儲存在電感器中的能量 WL(t) 2-23

  18. 4-11 電感器電流之連續性 (Current Continuties in Inductors) = t 0 1 H i W 2 1 i + - v + 2 W W 6 6 30 V - 在 t = 0之前 (t = 0－)瞬間，電感器中電流為 3A之定值電流， 因此 由 vL = L可得 di dt ( ) d 3 = = - v ( ) 1 0 V 0 dt 30 30 即電感器形同短路，所以 = = = i ( ) 6 A - 0 + + 2 ( 6 / 6 ) 2 3 = - = - = i ( ) i ( ) i ( ) 6 3 3 A - - - 0 0 0 2 1 • 電感器中的電流具有連續性的特性，亦即是電感器中的電流， • 在正常情況下，其值不會瞬間改變。 例 4-13：下圖電路中，已知 i1(0－) = 3A，若開關在 t = 0時打開， 求 i2(0－) , i1(0+) , i2(0+) , v(0－)及 v(0+)。 解： i1(0+) = i1(0－)= 3A 在 t = 0之前 (t = 0+)瞬間，電感器電流 i1為 3A，所以 i2(0+) = -i1(0+) = -3A 此時由 KVL 可得 v(0+) = (-3) × 6 + (-3) × 6 = -36 V 2-24

  19. 4-12 僅含電感器的奇異電路(Singularity circuits with Lnductors) • 和一些電容器組成的奇異電路相同， • 　 一些電感器組成的奇異電路中， • 亦會發生電流不連續性的情況。 2-24

  20. i + L v 1 1 - + + i v L v - 2 2 - + + v L - T L v N N - ( b ) ( a ) = + + + 若圖 (b)為圖 (a)之等效電路，則比較 v v v v L 1 2 N di di di = + + + L L L L dt dt dt 1 2 N di = + + + ( L L L ) L dt 1 2 N di = v L 及 dt T 可得 = + + + L L L L L T 1 2 N 4-13串聯電感器與並聯電感器的等效電感 串聯電感器的等效電感 4-1

  21. i i i N 1 2 + + i i L L L L v v 1 2 N T - - ( a ) ( b ) 1 1 1 t t t ò ò ò + + = + + + + vdt i ( t ) i ( t ) vdt i ( t ) vdt i ( t ) L 欲使圖 (b)與圖 (a)為等效電路，則由 L L L t 0 t t N 1 0 2 0 0 0 0 N 1 2 1 1 1 é ù t æ ö ò = - + + + + + + + vdt [ i ( t ) i ( t ) i ( t )] L L è ø ë û L L L 1 0 2 0 N 0 t 0 1 2 N 1 t ò = + 及 i ( t ) vdt i ( t ) 1 1 1 1 L 0 可得 = + + + L t 0 T L L L L T 1 2 N = + + 且 i ( t ) i ( t ) i ( t ) i ( t ) L 0 1 0 2 0 N 0 4-13串聯電感器與並聯電感器的等效電感 並聯電感器的等效電感 4-1

  22. W 2 = t 0 i + + W 4 v v 4 F 1 F 2 1 - - i L L i 1 = t 0 I R R 1 2 本章練習 4-6 右圖電路，已知 v1(0－) = 12V , v2(0－) = 8V， 若開關於 t = 0時關上， 求 v1(0－) , v2(0+) , i(0－) 和 i(0+)。 答：12V , 8V , 2A , 2A 4-12 右圖電路中 I = 6A , R1 = 1Ω , R2 = 2Ω, L = 1H , i1(0－) = 4A 若開關於 t = 0時關上，求 iL(0－) , iL(0+) , i1(0+) 和 diL(0+) / dt。 答：2A , 2A , 0A , -4A/s 4-25

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