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第十二章 樑之應力. 12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜截面的理由. 12-1 樑的種類. 1 樑的定義. 將一根細長的構件用適當的方法支撐,藉以承受與其軸線成垂直之負荷,使其產生彎曲的現象者,稱為樑( Beam ),如圖 12-1 所示。. 12-1 樑的種類. 上述中,樑的支撐方式有三種,分別是滾子支承( Roller Support )、鉸鏈支承( Hinge Support )及固定支承( Fixed Support ),其自由體圖如圖 12-2 所示。.
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第十二章 樑之應力 12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜截面的理由
12-1 樑的種類 1 樑的定義 將一根細長的構件用適當的方法支撐,藉以承受與其軸線成垂直之負荷,使其產生彎曲的現象者,稱為樑(Beam),如圖12-1 所示。
12-1 樑的種類 上述中,樑的支撐方式有三種,分別是滾子支承(Roller Support)、鉸鏈支承(Hinge Support)及固定支承(Fixed Support),其自由體圖如圖12-2 所示。
12-1 樑的種類 樑之負荷,一般常見的有集中負荷、均布負荷、均變負荷及彎矩負荷四種,如圖12-3 所示。
12-1 樑的種類 2 樑的種類 樑依其支撐方式,可分為二大類: (1)靜定樑:在同平面力系中,我們知道在樑的支撐處之反作用力一般均不可以超過三個,方可使用靜力學的三個平衡方程式來求解,此類的樑稱為靜定樑(Statically Determinate Beam),靜力學的三個平衡方程式為:
12-1 樑的種類 靜定樑又可分為下列三種: (a)簡支樑:樑之兩端分別以滾子支承及鉸鏈支承之樑,稱為簡支樑(Simple Beam),其支撐方式及支承反力,如圖12-4 所示。
12-1 樑的種類 (b)外伸樑:樑之一端或兩端伸出於滾子支承或鉸鏈支承之樑,稱為外伸樑(Overhanging Beam),其支撐方式及支承反力,如圖12-5所示。
12-1 樑的種類 (c)束限制樑:樑之一端為固定支承,而另一端以滾子支承或鉸鏈支承之樑,稱為束限制樑(Propped Cantilever Beam),其支撐方式及支承反力,如圖12-9 所示。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 1 剪力及彎曲力矩的方向及符號 當樑在承受負荷後,在樑內會因而產生剪應力及彎曲應力,而在探討剪應力及彎曲應力之前,我們必須先針對樑因承受負荷後,所產生之剪力(Shearing Force)及彎曲力矩(Bending Moment)之方向加以定義,且因剪力及彎曲力矩均為向量,所以其方向有正負之分。 使樑之某部分產生順時針方向轉動之剪力,稱為樑在此部分之剪力為「正」;反之,使樑之某部分產生逆時針方向轉動之剪力,稱為樑在此部分之剪力為「負」,如圖12-10(a)所示。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 樑受負荷作用後,樑因而產生彎曲變形。若樑彎曲後之凹口向上,稱為樑在此部分之彎曲力矩為「正」;反之,若樑彎曲後之凹口向下,稱為樑在此部分之彎曲力矩為「負」,如圖12-10(b)所示。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 2 剪力及彎曲力矩的計算 今將樑距B 端x 距離之mn 截面處加以剖切,因而使樑分成左右兩段。今分別畫出左右兩端之自由體圖,如圖12-11(b)及12-11(c)所示。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 3 剪力及彎曲力矩的圖解 樑承受負荷後,樑上各截面的剪力及彎曲力矩會隨著截面位置不同而不同。所以,我們常用圖形來表示樑上各截面的剪力及彎曲力矩的變化情形。 我們以剪力大小為縱座標,截面位置為橫座標,所畫出的剪力大小與截面位置之關係曲線,稱為剪力圖(Shearing Force Diagram)。同理,我們以彎曲力矩大小為縱座標,截面位置為橫座標,所畫出的彎曲力矩大小與截面位置之關係曲線,稱為彎曲力矩圖,簡稱彎矩圖(Bending Moment Diagram)。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 一般繪製剪力圖及彎矩圖之步驟如下: (1)求得各支點反力。 (2)自樑上各個有負荷的點,拉一向下之垂直線。 (3)在適當位置繪出二條水平線,分別代表剪力圖之零線及彎矩圖之零線,並標註「V」代表剪力,「M」代表彎曲力矩。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 (4)剪力圖一般均習慣由左而右繪製,遇各種負荷而有不同之繪製方法: (a)沒有負荷:剪力圖為水平直線。 (b)集中負荷:剪力圖為垂直線。 (c)均布負荷:剪力圖為傾斜直線。 (d)均變負荷:剪力圖為二次曲線(即為拋物線)。 (e)彎矩負荷:剪力圖不受影響。
12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解 (5)彎矩圖各點之彎曲力矩大小,即為剪力圖中該點任一側之面積大小,唯須考慮其正負符號。另外,彎矩圖中因各種負荷而產生之曲線,恰為剪力圖之曲線多一次方的函數,各種負荷之曲線如下: (a)沒有負荷:彎矩圖為傾斜直線。 (b)集中負荷:彎矩圖為折線。 (c)均布負荷:彎矩圖為二次曲線(即為拋物線)。 (d)均變負荷:彎矩圖為三次曲線。 (e)彎矩負荷:彎矩圖為垂直線。