Проблеми свързани с автокорелацията на грешката

1. Проблеми свързани с автокорелацията на грешката

2. Същност и причини • корелация между елементите в една извадка, подредени във времето (както при времеви редове) или в пространството (пространствена корелация,както при крос-секшън данните) • 2 основни причини, произтичащи от същността • инерцията на икономическите процеси, зависимостта на текущото състояние на даден процес от състоянието на процеса от предходния период • Cobweb феномен

3. Същност и причини • Пример - икономическите цикли • За да се отрази процес, при който обясняваната променлива зависи както от други фактори така и от състоянието на самия процес в предходните периоди, то предходните състояния на обяснявяваната променлива също трябва да се включат като фактори в модела

4. Отразяване в модела • Където х1 – обясняваща променлива • Yt-1 – предходното състояние на зависимата променлива • Моделът – авторегресионен модел, или модели с авторегресионна грешка • Процесът – авторегресионен процес

5. Авторегресионен процес • Процесът е авторегресионен ако текущото му състояние може да се изрази като функция на предишните му състояния • От броя на предишните състояния оказващи влияние върху текущото състояние на дадения процес, се определя реда на авторегресионния процес • Отбелязват с AR(m), където m е реда на авторегресионния процес

6. Друг случай на автокорелация • Cobweb феномен - изразява се в това, че предлагането в даден текущ период реагира на цената на съответния продукт в предходния период, когато е взето решението за обема на производството • Към момента на предлагане на пазара, цените вече са се променили, но самото предлагане е в съответствие с цените от предходния период, когато се е взело решението за производство

7. Cobweb феномен • Променените цени се отразяват в решението за производство, но самото предлагане, отговарящо на променените цени остава в следващия период и т.н. • Типичен пример – производството с дълът производствен процес (земеделието)

8. Отразяване в модела • Моделът трябва да изрази връзката между текущото състояние на обясняваната променлива с предходното състояние на обясняващата или обясняващите променливи

9. Други причини за автокорелацията • Некоректната спецификация на модела • Когатоопределени показатели, оказващи съществено влияние върху изследвания показател не са включени в модела, • Не е избрана подходяща функционална форма на зависимостта, което означава, че не е избрана най-подходящата функция, която да опише зависимостта. • Например, вместо да се използва линейна функция е трябвало да бъде избрана логаритмично-линейна, експоненциална, реципрочна или някаква друга математическа функция.

10. Други причини за автокорелацията • Предварителната обработка на данните • Пример • при работа с тримесечни данни, които са получени на базата на месечни наблюдения, като тяхно средно аритметично, а не средно претеглено • Некоректно попълмане на липсващи данни

11. Последици • Направените оценки са неефективни. Те не осигуряват минимална вариация на теоретично получените стойности от наблюдаваните. • Влошава оценките и стандартната грешка на коефициетите на модела, и следователно оказва влияние върху резултатите от t статистиката, в резултат на което можем да изключим фактор, който оказва съществено влияние, а да оставим статистически незначим фактор.

12. Последици • В резултат на по-голямата вариация и стандартна грешка не можем напълно да се доверим на F и t статистиката, и на коефициента на детерминация • Стандартната грешка на модела като цяло е също подценена, което оказва влияние и върху направената прогноза.

13. Последици • В резултат на лошите оценки и голямата стандартна грешка на модела прогнозата и некачествена и не може да се твърди, че доверителните интервали, са коректно определени

14. Тестове за установяване на автокорелацията • DW теста – излиза едновременно с решаването на модела • разглежда грешката на модела като авторегресионен процес от първи ред AR(1) • Грешката - съставена от два компонента - единия е случайната грешка за предишния период, а другия - е случайна величина

15. Авторегресионна грешка • vt - случайна величина; •  - коефициент показващ степента на влияние на предишния период върху текущия. •  - коефициент на автокорелация

16. Авторегресионна грешка •  приема стойности от (-1 +1) • От знака на  зависи дали имаме позитивна или негативна автокорелация • авторегресионна схема на Марков от първи ред

17. Изисквания за валидност на DW • За да бъде валидна оценката от DW теста е необходимо: • Разглежданият модел трябва да има свободен член; • Да бъде спазена първата хипотеза на класическата линейна регресионна теория; • Зависимата променлива с лаг не трябва да бъде включена като обясняваща променлива

18. Връзка между DW и ρ • При голяма извадка между стойността DW теста и коефициента на автокорелация съществува следната връзка: • d - стойността на DW теста • ρ - коефициента на автокорелация.

19. LM тест • диагностичният LM тест – наличието на авторегресионен процес от ред >1 • детайлният LM тест - от след регресионното меню • позволява да се определи дължината на този авторегресионен процес • Задава се мах брой на предишните състояния, които да се включат при проверката – зависи от периодичността на данните

20. LM тест • Моделът, който се анализира от LM теста е авторегресионен модел на грешката от избрания ред • R е реда на авторегресионния процес

21. LM тест • Нулевата хипотеза за LM теста е • всички коефициенти на авторегресионния модел на грешката от ред R са равни на 0

22. Test of Serial Correlation of Residuals (OLS case) • ****************************************************************************** • Dependent variable is LNQ101 • List of variables in OLS regression: • C T LNP101 LNP106 LNP107 • LNINCOME S12 • 48 observations used for estimation from 1997M1 to 2000M12 • ****************************************************************************** • Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob] • OLS RES(- 1) .14627 .17634 .82946[.412] • OLS RES(- 2) .13070 .18513 .70600[.485] • OLS RES(- 3) .048158 .18182 .26487[.793] • OLS RES(- 4) -.20853 .18511 -1.1265[.267] • OLS RES(- 5) -.082058 .18205 -.45075[.655] • OLS RES(- 6) -.58415 .18131 -3.2218[.003] • OLS RES(- 7) .071787 .18654 .38484[.703] • OLS RES(- 8) -.10165 .18747 -.54225[.591] • OLS RES(- 9) -.15766 .18993 -.83008[.412] • OLS RES(-10) .10660 .19586 .54426[.590] • OLS RES(-11) .28041 .21441 1.3079[.199] • OLS RES(-12) .085124 .20234 .42070[.676] • ****************************************************************************** • Lagrange Multiplier Statistic CHSQ(12)= 27.6989[.006] • F Statistic F( 12, 29)= 3.2973[.004] • ******************************************************************************

23. Решаване на проблема със серийната автокорелация на грешката • неспазването на изискването за отсъствие на серийна автокорелация създава сериозни проблеми по отношение на качеството на оценката и валидността на тестовете • начините зависят от това доколко може да се установи причината за наличието на авторегресионен процес в реда на грешката

24. Решаване на проблема със серийната .... • При лоша спецификация на модела - свързва с въпроса за критериите и тестовете за определяне на качеството на модела • Най-лесно се разпознава - при графично изобразяване на грешката, която в тези случаи показва еднотипна повтаряща се форма, т.е има някакъв определен профил • Отстраняването на проблема - нов модел, който да включва допълнителни обясняващи променливи или се смени функционалната форма на модела

25. Решаване на проблема със серийната .... • Същността на самия процес - генерализирани методи на най-малките квадрати • Точният LM метод на авторегресионната грешка при ред на авторегресионния процес не по-голям от 2 • постоянен авторегресионен процес (Stationary autoregressive process)със стохастични начални стойности • Самите оценки са асимптотични, а не точни • началните стойности за започване на итеративния процес да бъдат зададени от потребителя или да бъдат програмно избрани

26. Решаване на проблема със серийната .... • Кохран-Оркут итеративен метод на авторегресионната грешка • може да се използва при ред на авторегресионния процес не по-голям от 4 • базира на хипотезата, че редът на грешката описва постоянен авторегресионен процес - системата извежда предупреждаващо съобщение • използва фиксирани начални стойности

27. Решаване на проблема със серийната .... • Гаус-Нютон итеративен метод на авторегресионната грешка с ограничаване на коефициентите пред лаговите променливи • позволява предварително да се наложи ограничение за коефициентите пред лаговите променливи - да се включат само тези лагови променливи, които са се оказали статистически значими при LM теста, за всички останали се налага ограничение, коефициентът пред тях да е равен на нула • Или чрез преобразуване на модела -

28. Решаване на проблема със серийната .... • Или чрез преобразуване на модела • Методът на най-малките квадрати се прилага по отношение на уравнението

29. Гаус-Нютон итеративния метод • Maximum Likelihood Estimation:Fixed Initial Values of Disturbances • Error TERM : Restricted AR(6) converged after 5 iterations • ****************************************************************************** • Dependent variable is LNQ101 • 48 observations used for estimation from 1997M1 to 2000M12 • ****************************************************************************** • Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob] • C -39.2929 4.7785 -8.2229[.000] • T .022985 .0094397 2.4349[.019] • LNP101 -4.3643 .77838 -5.6070[.000] • LNP106 5.1943 1.7125 3.0331[.004] • LNP107 2.0223 .68222 2.9644[.005] • LNINCOME 2.5593 .34558 7.4057[.000] • ****************************************************************************** • R-Squared .78810 R-Bar-Squared .75177 • S.E. of Regression .22327 F-Stat. F( 6, 35) 21.6950[.000] • Mean of Dependent Variable -2.0415 S.D. of Dependent Variable .45372 • Residual Sum of Squares 1.7447 Equation Log-likelihood 7.2070 • Akaike Info. Criterion .20704 Schwarz Bayesian Criterion -6.3422 • DW-statistic 1.9846 • ****************************************************************************** • Parameters of the Autoregressive Error Specification • ****************************************************************************** • U= -.55929*U(-6)+E • ( -6.1093)[.000] • T-ratio(s) based on asymptotic standard errors in brackets • ******************************************************************************

30. Изводи от решението • Конкретният модел има вида • Конкретният авторегресионен процес за грешката има вида

31. Изводи от решението • Икономическа адекватност на модела • Коефициентът пред цената удовлетворява изискването на закона за търсенето, че с увеличаването на цената, търсенето намалява. • Коефициентите пред цените на продуктите заместители удовлетворяват изискването с увеличаването на цените на продуктите заместители да се увеличава търсенето на разглеждания продукт. • Коефициентът пред дохода трябва да удовлетворява изискването, че с увеличаване на дохода на потребителите, търсенето се увеличава.