第六章常微分方程及方程组的解法

第六章常微分方程及方程组的解法 6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法 6.3 边值问题解法《实用数值计算方法》

6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法 1.Euler方法 2.线性多步法 3.Runge--Kutta法 4.方程组及刚性问题的Gear方法 6.3 边值问题解法 1.Shooting(试射法) 2.差分法《实用数值计算方法》

6.1常微分方程及求解概述（Ordinary Differential Equations, ODE) 6.1.1 基本概念描述自由落体的ODE: 《实用数值计算方法》

 只有一个自变量的微分方程为 ODE, 否则称为偏微分方程 PDE。  方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。（6-4）是二阶的  方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的，则称为线性微分方程。 6.1.1 和（6-1）都是线性二阶ODE。  (6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。亦称定解条件。(6-1)(6-2)叫做初值问题。《实用数值计算方法》

6.1.1 （6-1），（6-3）叫做边值问题。  在没有给定解条件时。方程一般有一族解曲线 y(x,c) 。如：  对任意的n阶ODE，如果能写成：则称该方程为显式的。方程（6-4）是显式的。而下面方程是隐式的。《实用数值计算方法》

 对于高阶显式方程。通过定义n-1个 新变量，可以写成n维一阶方程组。即令： 6.1.1 《实用数值计算方法》

6.1.1  在讨论初值问题时，我们从一阶方程开始：然后毫不费力地套用来解方程组。  当 f(x,y)与y无关时，f(x,y)=g(x) 《实用数值计算方法》

6.1.2数值解及其重要性   《实用数值计算方法》

6.1.3ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1. 离散化用Taylor级数，数值积分和差商逼近导数等手段，把ODE转化为离散的代数方程(称差分方程)。 2. 递推化在具有唯一解的条件下，通过步进法逐步计算出解在一系列离散点上的值。从而得到原ODE的数值近似解。《实用数值计算方法》

6.2初值问题解法 我们讨论一阶ODE，而高阶可能化为一阶ODEs。一阶初值问题可以一般地写成： 6.2.1欧拉（Euler）方法 Euler方法是求解(6-8)最简单方法，但精度差，故不实用。然而对理论分析很有用。《实用数值计算方法》

6.2.1.1 方法原理及推导 设初值问题(6-8)满足： 6.2.1 《实用数值计算方法》

6.2.1 图 6.1 常微分方程初值问题的数值解《实用数值计算方法》

6.2.1 《实用数值计算方法》

6.2.1 欧拉方法的几何意义： h步长图 6.2 Euler方法的几何意义《实用数值计算方法》

6.2.1 单步法自动起步显式多步法隐式半隐式图 6.3 ODE求解方法的类型《实用数值计算方法》

6.2.1 表 6.1 自由落体运动方程的Euler公式求解《实用数值计算方法》

6.2.1 图 6.4 运动轨迹《实用数值计算方法》

6.2.1.2 Euler方法的误差估计 一般其它方法的误差估计也类似。这里误差是指截断误差(算法理论误差) 而不是舍入误差。后者由计算机字长等决定，属于稳定性问题。 i) 几何分析 6.2.1 图 6.5 Euler公式的误差《实用数值计算方法》

6.2.1 局部截断误差，《实用数值计算方法》

6.2.1 整体截断误差：设ym是Euler公式（6-9）精确解，而 y(x) 是初值问题（6-8）的解。则整体截断误差定义为它是局部截断误差的积累。定理：若f(x,y)关于y满足Lipschitz条件。则有估计式：《实用数值计算方法》

6.2.1 注意：稳定性：《实用数值计算方法》

6.2.1 表 6.2 予估校正求解结果对比《实用数值计算方法》

6.2.1 表 6.3 Euler法与外推结果的比较《实用数值计算方法》

6.2.2线性多步法 《实用数值计算方法》

6.2.2 () () 《实用数值计算方法》

6.2.2 表 6.4 外插系数bki值 Adams 外插法 (k=2) 3阶3步显式图 6.6 3阶3步外插法《实用数值计算方法》

6.2.2 Adams 外插法 (k=2) 4阶3步图 6.7 4步3阶Adams内插公式《实用数值计算方法》

6.2.2 图 6.8 一般化插值形式《实用数值计算方法》

6.2.2 图 6.9 《实用数值计算方法》

6.2.2 线性多步法的绝对稳定性：《实用数值计算方法》

6.2.2 定义：绝对稳定。绝对稳定区域。《实用数值计算方法》

6.2.2 Milne 《实用数值计算方法》

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