第四节多元函数的极限与连续

第四节多元函数的极限与连续 一、多元函数的概念以前讨论过一元函数（含有一个自变量的函数）。如果一个函数含有多个自变量，则称为多元函数。严格地说，有定义1 设有变量x1,x2, … ,xn,y，如果当变量x1,x2, … ,xn在它们的变化范围D中任意取定一组值时，变量y按照一定的法则f，总有唯一确定的数值与它们对应，则称f是D上的n元函数，与变量x1,x2, … ,xn对应的y值称为f在(x1,x2, … ,xn)的函数值，记为y=f (x1,x2, … ,xn) ，其中x1,x2, … ,xn称为自变量，y称为因变量，D称为函数f的定义域。

二元及二元以上的函数统称为多元函数。 关于多元函数的讨论，以二元为主。可用记号：z=f(x ,y)和z=f(P)，其中P为点(x ,y)。例1 求函数的定义域。例2 求函数的定义域。例3 求函数的定义域。平面上点P0(x0,y0)的邻域：（以P0为中心、为半径的开圆域；）

点P0的去心邻域（在点P0的 邻域中挖去点P0）通常所谓“二元函数在点P0的附近有定义”，就是指：该函数在点P0的某一邻域内有定义。开区域：平面上的连通开集D 。即：（1）D为开集：对于D中任意一点P0，P0附近的点均在D中（即存在P0的邻域U，使得U在D中）；（2）D为连通的：D中任意两个不同点均可用完全在D中的一条折线连接起来。闭区域：开区域与边界的并集。区域：开区域与闭区域的统称。有界域（含在某一圆域内）；无界域

上面列举的例中，例1为有界闭区域；例2为无界开区域。上面列举的例中，例1为有界闭区域；例2为无界开区域。此外，还有所谓非开非闭区域，如例3就是如此。二元函数的几何意义：空间曲面。 z=f(x,y) z P O y D M x

z 例如，的图形为一条抛物线绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面。 O y x z 又如，的图形为上半单位球面。 y O x

z 更一般地，F(x ,y,z)=0的图形为空间曲面。 O y 如：为单位球面。 x （即：） z c 空间平面： O （横、纵、竖截距：a ,b,c） b y a x

二、二元函数的极限与连续 首先说明：点与表示相同的过程。定义2 设函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义（点P0可除外）。如果当点P(x ,y)以任意方式趋向于点P0(x0,y0)（但不重合）时，相应的函数值z=f(x ,y)趋向于一个确定的常数A，则称A是二元函数z=f(x ,y)当点P(x ,y)趋向于点P0(x0,y0)时的极限，记为或

注意：尽管二元函数的极限定义形式上与一元函数的没有什么区别，但实质上二元函数的极限要复杂得多。点P(x ,y)任意趋近于点P0(x0,y0)的方式是多种多样的。因此，即使点P沿着某些特殊的方式趋近于P0时，二元函数z=f(x ,y)对应的函数值趋近于同一个常数，我们还不能断定极限存在。但是，如果当P沿着某两条不同的曲线趋向于P0时，函数趋近于不同的数值，则极限必不存在。举例如下：例4 证明不存在。

定义 3 设函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，如果则称二元函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)处连续。全增量：连续性的另一种刻划：函数在区域D上连续：函数在D上每一点都连续。

间断点（不连续点） 例如，由例4知，在原点O处不连续。又如，，在直线y=x和上的点都是间断点。

相应于一元函数的极限运算法则，多元函数也有类似的法则。类似地，还有相应于一元函数的极限运算法则，多元函数也有类似的法则。类似地，还有（1）多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。（2）多元连续函数的复合函数也是连续函数（当复合有意义时）。（3）多元初等函数在其定义区域内是连续的。于是，要求多元初等函数在其定义区域内一点的极限，只要求它在这点的函数值即可。例如：

布置作业： P45（不是指复习题）: 1(1)(3). 2(2). 3(2).

第四节 多元函数的极限与连续