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衍射光栅. 制作者： 赣南师范学院物理与电子信息学院 王形华. 第四章 衍射光栅. §O 序 一、光栅的定义 广义地说，具有周期性的空间结构或光学性能（如透射率、折射率）的衍射屏，统称为光栅。. 二、常见的光栅种类. 1 、在一块不透明的 障板上刻出一系列 等宽等间隔的平行狭 缝 —— 一维 透射 光栅。 （见图 0-1a ） 2 、在一块很平的铝面 上刻一系列等间隔的平行 槽纹 —— 反射光栅。
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衍射光栅 制作者： 赣南师范学院物理与电子信息学院 王形华
第四章 衍射光栅 §O 序 一、光栅的定义 广义地说，具有周期性的空间结构或光学性能（如透射率、折射率）的衍射屏，统称为光栅。
二、常见的光栅种类 1、在一块不透明的 障板上刻出一系列 等宽等间隔的平行狭 缝——一维透射光栅。 （见图0-1a） 2、在一块很平的铝面 上刻一系列等间隔的平行 槽纹——反射光栅。 （见图0-1b）
3、晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然光栅（三维）。3、晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然光栅（三维）。 4、根据不同的情况光栅可以分为： 透射光栅、反射光栅；平面光栅、凹面光栅、黑白光栅、正弦光栅；一维光栅、二维光栅、三维光栅等。 光栅的 衍射场具有鲜明的“多光束干涉”基本特征。
§1、多缝夫琅和费衍射 一、实验装置和衍射花样 a：缝宽 b：不透明部分宽度 d=a+b：光栅常数 θ：衍射方向角度
特点： 1、出现了一系列新的极大和极小（与单缝相比），其中那些较强的亮线叫主极强，较弱的亮线叫做次极强。 2、主极强的位置与缝数N无关，但它们的宽度随N增大而减小。 3、相邻主极强间有N-1条暗纹和N-2个次极强。 4、强度分布中保留了单缝衍射的痕迹，那就是曲线的包络（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线的形状一样。
二、N缝衍射的振幅分布和强度分布 1、考虑把衍射屏上的各缝除某一条外都遮住（单缝衍射）。 振幅分布：aθ=a0sinα/ α 强度分布：Iθ=aθ2=a02(sinα/α)2 其中：α=πasinθ/λ 、 θ为衍射角。 2、单缝衍射时，单缝上下平移，幕上衍射图样不动（只取决于衍射角θ，与其位置无关），若让N条缝轮流放开，幕上获得的衍射图样完全一样。
3、若N条缝的光线彼此无关，当它们同时放开时，幕上的强度与单缝一样，只是按比例地处处增加了N倍。3、若N条缝的光线彼此无关，当它们同时放开时，幕上的强度与单缝一样，只是按比例地处处增加了N倍。 4、N条缝的光波实际上是相干的，且其之间存在位相差，由于多缝干涉幕上的强度发生了重新分布,实际为N个振动的合成。
5、矢量法分析 △L=dsinθ δ=2π△L /λ δ=2πdsinθ/λ δ=2β （OCB1为等腰三角形） 2OCsinβ= OB1 =aθ OC= aθ /2sinβ 等腰△OCBN的顶角 N δ=2N β ∴总振幅的振幅 Aθ=OBN =2OCsin(Nβ) =aθsin(Nβ)/sinβ
Iθ=aθ2 (sinNβ/sinβ)2 即: Aθ=a0(sinα/α) (sinNβ/sinβ) Iθ=a02(sinα/α)2 (sinNβ/sinβ)2 其中： α=πasinθ/λ β=πdsinθ/λ (sinα/α)2 : 单缝衍射因子 (sinNβ/sinβ)2 : 缝间干涉因子
1、主极强峰值大小、位置、数目 令 ： β=kπ(k=0、±1、2、3、……) 则 ： sinNβ=sinNkπ=0 sinβ=0 sinNβ/sinβ=N 这些地方缝间干涉因子主极大，对应于主极强。 此时： （1） sinθ=kλ/d或dsinθ=kλ 即：凡是衍射角满足上式方向上，出现一个 主极强，主极强位置与缝数无关。
（2）Iθ=N2I10 主极强的强度是单缝在该方向上强度的N2倍。 （3） ∣ θ ∣≦ π/2 ∣ sinθ ∣≦1 ∣ k ∣ ﹤d / λ 即：主极强的数目有限。 若：λ≧d , k 只能取零，即：除零级外， 无其它主极强。 角
2.零点位置 、主极强的半宽度和次级强数目 （1）、当Nβ等于π的整数倍，但β不是π的整数倍时 sinNβ=0 sinβ≠0 sinNβ/ sinβ=0 此即为暗线（点）的位置，此时： β=（k+m/N）π k=0、±1、±2、±3、…… m=1、2、3、……、N-1
sinθ=(k+m/N) λ/d (β=πdsinθ/λ) 故： 每个主极强之间有N-1条暗线，相邻 暗线之间有一个次极强，共有N-2个 次极强。
（2）、主极强亮线的宽度 以主极强两侧的暗线为界，它的中心到邻 近的暗线之间的角距离称为它的半角宽度△θ， 对于偏离幕中央不是很远的主极强θ很小： sinθ≈θ k级主极强的位置：β=πdsinθk/λ → sinθk=βλ/πd β=kπ → sinθk=kλ/d → θk ≈kλ/d 相邻暗线的位置近似为： θk+ △θ ≈(k+1/N) λ/d △θ ≈λ/(Nd)(Note: m=1)
普遍情形： sinθk=kλ/d sin(θk+△θ)=(k+1/N) λ/d sin(θk+△θ)- sinθk≈(dsinθ/dθ)θ=θk △θ =cosθk △θ ∴ △θ=λ/Nd cosθk 若： θk≈0 cosθk≈1 △θ ≈ λ/Nd
四、单缝衍射因子的作用 1、实际强度分布还要考虑单缝衍射因子作用 单缝衍射因子 零点处，主极强 消失，出现缺级 现象。 （见图1-6）
2、在给定了缝间隔d之后，主极强的位置就确定下来了：2、在给定了缝间隔d之后，主极强的位置就确定下来了： 单缝衍射因子并不改变主级强的位置和半角宽度，但会改变各主级强的强度。即单缝衍射因子的作用仅在于影响强度在各主极强间的分配，所以强度分布曲线的包络线（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线具有相同的形状。
五．复振幅的计算 黑白光栅和正弦光栅 1 ．菲涅耳衍射积分公式： ～ ～ U（P）=C∫∫U0（Q）eikrdΣ (Σ0) 2．设衍射屏具有一维周期性结构，空间周期为d， ～ 光瞳函数为U0（x），波前Σ分割为宽度为d的N个窄 条Σ1、Σ2、 Σ3、……ΣN， θ为衍射角，P θ为衍射场 相应点，各单元中心到P θ的光程为L1、L2、L3、…LN， 则有：L2=L1+△L, L3=L+2 △L, …LN=L1+(N-1) △L 其中：△L=dsinθ ( 见图1-7)
3. P θ点的总复振幅 ～ ～ U（θ）= C∫U0（x）eikrdx N (Σ)～ = ΣC ∫U0（xj）exp(ikrj)dxj j=1(Σ) 其中：rj=Lj-xjsinθ xj从各单元的中心算起。 则： ～ ～ ∫U0（x）exp(ikrj)dx =eikLj∫U0（x）exp(-ikxjsinθ)dxj (Σj) (Σj) d/2 ～ = eikLj∫ U0（x）exp(-ikxjsinθ)dxj - d/2
由于的周期性，上面的积分对各单元都是一 样的，故可将U(θ)中的下标j略去，则： ～ N d/2 ～ U(θ) = C (Σ eikLj)∫ U0（x）exp(-ikrsinθ)dx j=1- d/2 ～ ～ =N(θ) u(θ) 其中：～ d/2 ～ u(θ) =C∫ U0（x）exp(-ikrsinθ)dx - d/2 称为单元衍射因子。
～ N N(θ)=Σ eikLj= eikL1 [1+eik△L+ e2ik△L+…+e(N-1)ik△L] j=1 称为N元干涉因子。令 β= πdsinθ/λ 、 k △ L=2β 则：
普遍地说，衍射单元的性质要用波前上的光瞳 函数U0（x）来表征。 3、黑白光栅和正弦光栅
黑白光栅： ：
正弦光栅： 单元光瞳函数为正比于[1+cos(2πx/d)] 其中：β=kdsinθ/2=πdsinθ/ λ
由此可见，它由三项组成，每项的函数形式与单缝衍射因子一样，只是缝宽和中心位置不同，三项的中心分别位于β=0、±π处，这正由此可见，它由三项组成，每项的函数形式与单缝衍射因子一样，只是缝宽和中心位置不同，三项的中心分别位于β=0、±π处，这正 ～ 是N(θ)的0级和±级的主极强所在处。除此之外，所有的其它主极强都与 ～ ～ ～ u(θ)的零点重合。所以N(θ)和u(θ)相乘的结果，只剩下0、±1三级主极强, ±1主极强的振幅为0级主极强之半，强度为它的1/4。(见图1-9)
