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第九章 回归分析和方差分析

第九章 回归分析和方差分析. 关键词： 单因素试验 一元线性回归 回归诊断. 方差分析 (Analysis of variance, 简称 :ANOVA), 是由英国统计学家费歇尔 (Fisher) 在 20 世纪 20 年代提出的 , 可用于推断两个或两个以上总体均值是否有差异的显著性检验. §9.1 单因素方差分析.

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第九章 回归分析和方差分析

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Presentation Transcript

  1. 第九章 回归分析和方差分析 关键词： 单因素试验 一元线性回归 回归诊断

  2. 方差分析(Analysis of variance, 简称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔(Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推断两个或两个以上总体均值是否有差异的显著性检验.

  3. §9.1单因素方差分析 例：为了比较三种不同类型日光灯管的寿命(小时), 现将从每种类型日光灯管中抽取 8个, 总共 24 个日光灯管进行老化试验,根据下面经老化试验后测算得出的各个日光灯管的寿命(小时)，试判断三种不同类型日光灯管的寿命是不是有存在差异.

  4. 日光灯管的寿命(小时) 引起日光灯管寿命不同的原因有二个方面: • 其一, 由于日光灯类型不同,而引起寿命不同. • 其二,同一种类型日光灯管,由于其它随机因素的影响, 也使其寿命不同.

  5. 在方差分析中, 通常把研究对象的特征值, 即所考察的试验结果( 例如日光灯管的寿命)称为 试验指标. 对试验指标产生影响的原因称为 因素, “日光灯管类型” 即为因素. 因素中各个不同状态称为 水平, 如日光灯管三个不同的类型, 即为三个水平.

  6. 单因素方差分析 仅考虑有一个因素A对试验指标的影响. 假如因素 A有r 个水平, 分别在第 i 水平下进行了 多次独立观测, 所得到的试验指标的数据

  7. 每个总体相互独立. 因此, 可写成如下的 数学模型:

  8. 方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的差异, 问题可归结为比较这r个总体的均值差异.

  9. 检验假设

  10. 假设等价于

  11. 为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和分解。即为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和分解。即 假设数据总的差异用总离差平方和 分解为二个部分: 一部分是由于因素 A引起的差异, 即效应平方和 ,另一部分则由随机误差所引起的差异， 即误差平方和 。

  12. 证明：

  13. 定理9.1.1

  14. 单因素试验方差分析表

  15. 例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)

  16. 药物x 治愈所需天数y 1 5，8，7，7，10，8 2 4，6，6，3，5，6 3 6，4，4，5，4，3 4 7，4，6，6，3，5 5 9，3，5，7，7，6

  17. 这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。

  18. 未知参数的估计

  19. 在Excel上实现方差分析 • 先加载''数据分析" 这个模块,方法如下: • 在excel工作表中点击主菜单中 “工具” 点击下拉式菜单中“加载宏” 就会出现一个“加载宏” 的框. • 在 “分析工具库” 前的框内打勾点击“确定”. 这时候再点击下拉式菜单会新出现 “数据分析”. 然后就可以进行统计分析了.

  20. 以下面的例子来说明用Excel进行方差分析的方法:以下面的例子来说明用Excel进行方差分析的方法: • 保险公司某一险种在四个不同地区一年的索赔额情况记录如表所示. 试判断在四个不同地区索赔额有无显著的差异?

  21. 在Excel工作表中输入上面的数据点击主菜单中 “工具”点击下拉式菜单中“数据分析” 就会出现一个“数据分析” 的框. 点击菜单中“方差分析:单因素方差分析”点击“确定”, 出现“方差分析:单因素方差分析” 框.

  22. 在“输入区域”中标定你已经输入的数据的位置根据你输入数据分组情况(是按行分或按列分)确定分组.在“输入区域”中标定你已经输入的数据的位置根据你输入数据分组情况(是按行分或按列分)确定分组. 选定方差分析中F检验的显著水平选定输出结果的位置点击“确定”. 在你指定的区域中出现如下方差分析表:

  23. 方差分析表

  24. 根据Excel给出的方差分析表,假设H0的判别有二种方法:根据Excel给出的方差分析表,假设H0的判别有二种方法:

  25. 方差分析的前提

  26. 方差分析和其它统计推断一样, 样本的独立性对方差分析是非常重要的, 在实际应用中会经常遇到非随机样本的情况, 这时使用方差分析得出的结论不可靠. 因此, 在安排试验或采集数据的过程中, 一定要注意样本的独立性问题.

  27. 在实际中, 没有一个总体真正服从正态分布的, 但方差分析却依赖于正态性的假设. 但经验可知, 方差分析F. 检验对正态性的假设并不是非常敏感, 也就是说, 实际所得到的数据, 如果没有异常值和偏性, 或者说, 数据显示的分布比较对称的话, 即使样本容量比较小(如每个水平下的样本容量仅为5左右), 方差分析的结果仍是值得依赖的.

  28. 方差齐性对于方差分析是非常重要的, 因此在方差分析之前往往要进行方差齐性的诊断,即检验假设通常可采用Barlett检验. 方差齐性检验也可采用如下的经验准则:当最大样本标准差不超过最小样本标准差的两倍时, 方差分析F检验结果近似正确.

  29. §3 一元线性回归分析 变量与变量之间的关系 一、确定性关系： 当自变量给定一个值时，就确定应变量的值与之对应。如：在自由落体中，物体下落的高度h与下落时间t之间有函数关系：

  30. 二、相关性关系： 变量之间的关系并不确定，而是表现为具有随机性的一种“趋势”。即对自变量x的同一值，在不同的观测中，因变量Y可以取不同的值，而且取值是随机的，但对应x在一定范围的不同值，对Y进行观测时，可以观察到Y随x的变化而呈现有一定趋势的变化。

  31. 如：身高与体重，不存在这样的函数可以由身高计算出体重，但从统计意义上来说，身高者，体也重。如：身高与体重，不存在这样的函数可以由身高计算出体重，但从统计意义上来说，身高者，体也重。 如：父亲的身高与儿子的身高之间也有一定联系, 通常父亲高，儿子也高。

  32. 我们以一个例子来建立回归模型 • 某户人家打算安装太阳能热水器. 为了了解室外温度与燃气消耗的关系, 记录了16个月燃气的消耗量, 数据见下表.

  33. 在回归分析时, 我们称“燃气消耗量”为响应变量记为Y,“室外温度”为解释变量记为X, 由所得数据计算相关系数得r=0.995,表明室外温度与燃气消耗之间有非常好的线性相关性. • 如果以室外温度作为横轴, 以消耗燃气量作为纵轴,得到散点图的形状大致呈线形.

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