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第 3 章

第 3 章. 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2). 本章內容. 3.1 位置量數 3.2 離散量數 3.3 分配的形狀的量數、相對位置，以及離群值 的偵測 3.4 五數彙總與箱形圖 3.5 兩變數的相關性量數 3.6 加權平均數與群組資料的處理. 第 3 章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1 - 3.2) 第 83-124 頁. 3.1 位置量數. 測量值是由樣本資料計算而得，則稱之為

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  1. 第 3 章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2)

  2. 本章內容 3.1 位置量數 3.2 離散量數 3.3 分配的形狀的量數、相對位置，以及離群值 的偵測 3.4 五數彙總與箱形圖 3.5 兩變數的相關性量數 3.6 加權平均數與群組資料的處理 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第83-124頁

  3. 3.1 位置量數 測量值是由樣本資料計算而得，則稱之為 樣本統計量(sample statistics)。 若是由整個母體計算而得，則稱之為 母體參數(population parameters)。 統計推論中，樣本統計量是指 相對應的母體參數的 點估計量(point estimator)。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第84-85頁

  4. 平均數 一個變數最重要的位置量數或許是平均數 (mean 或 average value)。 平均數是一種中央位置量數。 若此資料來自某一樣本，則平均數記為 。 若此資料來自某一母體，則以希臘字母 μ表示之。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第85頁

  5. 樣本平均數 資料集中 n 個觀察值 的總和 觀察值的樣本數 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第85頁

  6. 母體平均數 資料集中 N 個觀察值的總和 觀察值的樣本數 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第86頁

  7. 平均數實例 假設某大學的就業輔導室寄出一份問卷給被抽中的商學院畢業生，以調查工作起薪。 表3.1為所蒐集的資料。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第83-84頁 表3.1

  8. 平均數實例 樣本中12個商學院畢業生之平均起薪計算如下。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第86頁

  9. 加權平均數 某些情況為反映個別觀察值的重要性，計算平均數時要對每一觀察值加上權重，以此方式計算而得到的值即稱為加權平均數 (weighted mean)。 當資料來自樣本時，式(3.15)提供了樣本加權平均數的算法，當資料來自母體時，我們可以用 μ取代 ，則式(3.15)也可用來計算母體加權平均數。 加權平均數中所使用的權重依實際情況各有不同。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  10. 加權平均數 加權資料值的總和 當資料來自母體時，可以用 μ取代 權重的總和 其中 xi= 第 i 個觀察值 wi= 第i 個觀察值的權重 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  11. 加權平均數實例 以下是一個加權平均數的例子，我們以過去3個月所做的5次採購來做說明。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  12. 加權平均數實例 我們可以由資料中觀察到，每磅成本由 $2.80至 $3.40不等，而且採購數量在500至2750磅之間，假設經理想要瞭解原料每磅的平均成本，由於訂購數量各有不同，我們必須應用加權平均數的觀念。資料顯示5筆原料每磅成本分別為 x1＝3.00、 x2＝3.40、x3＝2.80、x4＝2.90及 x5＝3.25，則 每磅成本的加權平均成本等於每項成本乘上其對應採購量加權而得。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  13. 加權平均數實例 所以，本例的權重分別為 w1＝1200、w2＝500、w3＝2750、w4＝1000及w5＝800，應用式(3.3)，我們可以求得加權平均數： 由加權平均數的計算，可以得到原料的每磅平均成本等於 $2.96。值得注意的是，若我們使用式 (3.2) 而非加權平均數的公式(3.3)，將誤導結果。因為(3.00＋3.40＋2.80＋2.90＋3.25)/5＝15.35/5＝$3.07。這個結果高估了每磅平均採購成本。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  14. 加權平均數實例 加權平均數中所使用的權重依實際情況各有不同。以學生的平均成績為例，4代表 A，3 代表 B，2 代表 C，1 則代表 D，0 則代表 F，權重則為學分數，習題 10即提供一個練習的例子。其他的加權平均數的例子中磅數、金額、及／或數量等等都常被用來當成權重。不管何種情況，只要觀察值的重要性是不相同的，分析人員就必須使用權重以反映每個觀察值在平均數中的重要性。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第88頁

  15. 中位數 中位數(median)是變數的另一種中央位置量數。 將資料值由小排到大時，中位數為中間的那一個值。 若資料個數為奇數時，中位數即位於中間的數值；若資料項目為偶數時，就沒有單一的中間項。 根據傳統的中位數定義，將中間兩個值之平均數當作中位數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第88頁

  16. 中位數 • 將資料遞增排列(即由小到大排列) • 資料值為奇數項時，中位數為此資料之中間值。 • 資料值為偶數項時，中位數為此資料之中間兩個數值的平均數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第87頁

  17. 中位數實例 3710 3755 3850 3880 3880 3890 3920 3940 3950 4050 4130 4325 中間兩個值 計算表 3.1 中商學院12位畢業生起薪的中位數，將資料遞增排列後如下 因為n＝12是偶數，故有兩個中間值：3890 和3920，中位數為此兩個值之平均。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第88頁

  18. 幾何平均數 幾何平均數 (geometric mean) 是位置量數，由 n 個值的連乘積的 n 次方根，幾何平均數表示為 。 幾何平均數常用來分析財務資料的成長率。 幾何平均數特別普遍地運用在財務、金融及銀行相關的問題，只要你想決定經過若干連續時期的平均成長率，就可運用幾何平均數。 其他普遍運用包括物種族群、農作物生產、汙染水準及出生率的改變。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第89.91頁

  19. 幾何平均數 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第89頁

  20. 眾數 眾數(mode)眾數是資料集中出現次數最多的資料值。 當資料集中出現次數最多的值有兩個或以上時，眾數就不只一個。 若資料集恰有兩個眾數，則稱此資料為雙峰(bimodal)。 若出現兩個以上的眾數時，則稱為多峰(multimodal)。 第3章敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第91頁

  21. 眾數實例 表3.1的商學院畢業生起薪樣本，僅有月薪$3880出現過2次(其餘均為1次)，因此$3880就是眾數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第91頁

  22. 百分位數 • 百分位數(percentile)也是一種位置量數，有助於瞭解資料在最小值與最大值間的分布情況。 • 針對那些沒有太多重複的資料集而言，p-百分位數可將資料分割成兩部分，大約 p-百分比的觀察值會小於 p-百分位數；而大約有(100－p)百分比的觀察值會大於 p-百分位數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第91-92頁

  23. 百分位數 p-百分位數表示至少有 p-百分比 (百分之 p) 的觀察值小於或等於它，而至少有 (100－p) 百分比的觀察值大於或等於它。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第92頁

  24. 計算百分位數 i = (p/100)n • 步驟1.將資料遞增排列，即由小到大排序。 • 步驟2.計算指標 i p為百分位，n為觀察值的個數。 • 步驟3. • (a)若i 不是整數，無條件進位後的整數即 p-百分位數的位置。 • (b)若 i 是整數，則 p-百分位數為資料排序後的第 i 個與第 i＋1 個觀察值之平均數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第92頁

  25. 百分位數實例 • 求表3.1起薪資料的85-百分位數。 • 步驟 1.將資料集的所有資料由小到大排序。3310 3355 3450 3480 34803490 3520 35403550 3650 3730 3925 • 步驟 2. • 步驟3. 因為 i 不為整數，無條件進位為11，即85-百分位數的位置指標。因此，85-百分位數排在第11位。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第92頁

  26. 百分位數實例 再看看50-百分位數的計算過程，由步驟2得知 因為 i是整數，步驟3(b)指出50-百分位數為排序資料的第6個與第7個數值的平均數；因此，50-百分位數為(3890＋3920)/2＝3905。要注意的是，此處的50-百分位數也是中位數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第92-93頁

  27. 四分位數 四分位數(quartiles)是百分位數的特例。 Q1＝ 第一四分位數或25-百分位數 Q2 ＝ 第二四分位數或50-百分位數(即中位數) Q3＝ 第三四分位數或75-百分位數 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第93頁

  28. 四分位數實例 3310 3355 3450 3480 3480 3490 3520 3540 3550 3650 3730 3925 將起薪資料再次重新由小到大排序後，第二四分位數(即中位數)為3905。 我們需利用找出25-與75-百分位數的規則來得到第一四分位數Q1與第三四分位數Q3，計算如下。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第93頁

  29. 四分位數實例 對Q1而言： 因為 i 是整數，步驟3(b)指出第一四分位數，或25-百分位數，為第3個與第4個資料之平均數。因此，Q1 ＝(3850＋3880)/2＝3865。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第93頁

  30. 四分位數實例 對Q3而言： 因為 i 為整數，步驟3(b)指出第三四分位數，或75-百分位數，為第9個與第10個資料之平均數，因此， Q3 ＝(3950＋4050)/2＝4000。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第93頁

  31. 四分位數實例 四分位數將 12 個資料分成四部分，而每一部分均包含 25% 的觀察值。 我們定義了25-百分位數、50-百分位數、75-百分位數等三個四分位數後，便可利用計算百分位數的規則求出四分位數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第93-94頁

  32. 評註 當資料集出現極端值時，中位數會比平均數更合適作為中央位置量數。極端值存在時，有時會用到另一種量數，稱做截尾平均數 (trimmed mean) ，截尾平均數是刪除資料集的極小值與極大值後，剩下資料值的平均數。例如， 5 % 的截尾平均數即是刪除最小的 5 %，以及最大的 5 % 觀察值後得到的平均數。以n = 12 筆起薪資料的樣本為例， 12 筆資料的 5 % 是 12 ×0. 05 = 0.6，將 0.6 進位為 l ，表示 5 % 的修正平均數是將最高的一筆起薪與最低的一筆起薪刪除後，再求10比起薪資料的平均值。因此，對起薪資料的樣本而言， 5 % 的截尾平均數是 3924.50。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第94頁

  33. 評註 其他常用的百分位數是五分位數 (quintiles) ( 20-、 40-、 60- 及 80-百分位數)，以及十分位數 ( 10-、20-、 30-、 40-、 50-、 60-、 70-、 80- 及 90-百分位數)。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第94頁

  34. 3.2 離散量數 除了位置量數外，我們還常希望能知道離散量數或變異量數。 例如，向兩家不同的供應商訂貨，不僅要考慮其平均運送時間，還要考慮其運送時間的變異性。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第97頁

  35. 全距 最簡單的離散量數就是全距(range)。 全距 ＝ 最大值 － 最小值 全距僅用到資料中的兩個值，因此深受極端值的影響。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第97-98頁

  36. 全距實例 參考表 3.1 商學院畢業生的起薪資料，最大值是 4325，最小值是 3710，全距就是4325－3710＝615。 假設有一位畢業生的每月起薪是 $10,000，此例中的全距變為 10,000－3710＝6290 而不是 615，這個值並不是非常適合描述資料集的變動性，因為 12 個資料中的 11 個資料均是在 3710 與 4130 之間。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98頁

  37. 四分位距 • 四分位距(interquartile range, IQR)是第三四分位數 Q3與第一四分位數 Q1的差。 • IQR＝ Q3－Q1 • IQR為中間50% 資料的全距。 • 能克服極端資料值的離散量數。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98頁

  38. 四分位距實例 參考表3.1商學院畢業生的起薪資料，對每月起薪資料而言，第三四分位數與第一四分位數分別為 Q3＝4000 與 Q1＝3865，因此，IQR 為 4000－3865＝135。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98頁

  39. 變異數 變異數(variance)是利用到全部資料的離散量數。變異數是根據每一個觀察值( xi )與平均數之差而 求得。每一個觀察值 xi與平均數(　為樣本平均 數，μ為母體平均數)之差稱為離差(deviation about the mean)。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98頁

  40. 變異數 母體變異數 樣本變異數 當樣本平均數的差距平方和除以n－1，而非 n時，此樣本變異數為母體變異數的不偏估計量。 變異數之定義如下： 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98-99頁

  41. 利用3.1節中五個大學班級人數的樣本為例。 資料的彙總在表3.3，包括離差及離差平方。離差平方的總和為 。因此，在 n－1＝4 時，樣本變異數為 變異數實例 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第99頁

  42. 變異數實例 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第99頁 表3.3

  43. 以表3.1的起薪資料為例，說明樣本變異數的計算，在3.1節中，我們算出樣本平均起薪值為3940。樣本變異數(s2＝27,440.91)的結果列於表3.4。以表3.1的起薪資料為例，說明樣本變異數的計算，在3.1節中，我們算出樣本平均起薪值為3940。樣本變異數(s2＝27,440.91)的結果列於表3.4。 表3.3與3.4中值得注意的是，我們算出離差與離差平方的總和。對於任何資料集，離差的總和必為0。因此，如同表3.3與表3.4顯示 ，這是恆成立的，因為正的離差與負的離差會相互抵銷，而使得離差的總和為 0。 變異數實例 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第99頁

  44. 表3.4 起薪資料樣本變異數的計算 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第100頁 表3.4

  45. 標準差 標準差(standard deviation)的定義是變異數的正平方根。 標準差比變異係數容易解釋，因為標準差的衡量單位與資料相同。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第100頁

  46. 標準差 樣本標準差 母體標準差 由變異數得到標準差的方法如下。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第100頁

  47. 標準差實例 以表3.1的起薪資料為例，樣本標準差為 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第100頁

  48. 變異係數 樣本變異係數 母體變異係數 變異係數是變異性的相對衡量，它衡量標準差相對於平均值的大小。 變異係數計算如下： 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第100-101頁

  49. 變異係數實例 以表3.1起薪資料為例，其樣本平均數 3940 與樣本標準差 165.65，變異係數為[(165.65/3940)×100]%＝4.2%。 一般而言，欲比較具有不同的標準差與平均數的資料之離散程度時，變異係數是一個有用的統計量。 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第101頁

  50. 表3.1 起薪資料為例 此樣本之標準差佔平均數的4.7% 變異數 標準差 變異係數 第3章 敘述統計：數值方法 Part A (3.1-3.2) 第98-101頁

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