กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

1. กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ CAI กราฟอสมการเชิงเส้น

2. คำแนะนำในการเรียน 1. บทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอนนี้เป็นบทเรียนสำหรับเรียนรู้ด้วยตนเอง เป็นรายคน หรือเป็นกลุ่ม 2. บทเรียนประกอบด้วย การทบทวน เนื้อหาเรียงจากง่ายไปยาก ตัวอย่าง และแบบฝึกหัด 3. ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาสาระทีละหน้า และปฏิบัติตามคำสั่งอย่างเคร่งครัด 4. เมื่อไม่เข้าใจเนื้อหาส่วนใดสามารถพลิกกลับไปศึกษาหน้าเดิมได้ 5. หลังจากเรียนรู้บทเรียน ให้นักเรียนทุกคนทำแบบฝึกหัดส่งครู

3. ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1. สามารถเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้ 2. หาจุดร่วมที่สอดคล้องกับอสมการที่กำหนดได้ 3. หาจุดยอดของพื้นที่ที่แรเงาได้

4. ทบทวนก่อนเรียน จงเขียนกราฟของสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรต่อไปนี้ 1. x = 4 2. y = 3 3. x + y = 5 4. 2x + 3y = 6 เฉลยครับ เฉลยครับ เฉลยครับ เฉลยครับ

5. ทบทวนก่อนเรียน Y ถ้าเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (a , 0)เรียก a ว่า ระยะตัดแกน x X = -3 X = -4 X = 5 X = 3 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6. ทบทวนก่อนเรียน Y ถ้าเส้นตรงตัดแกน y ที่จุด (0 , b) เรียก b ว่า ระยะตัดแกน y y = 5 5 y = 4 4 y = 3 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 y = -2 -2 y = -3 -3 -4

7. ทบทวนก่อนเรียน Y y = 3x + 6 6 y = -2x + 6 5 x + y = 5 4 3 2 2x + 3y = 5 1 X 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4

8. อสมการเชิงเส้น อสมการเป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ < , > ,  ,  หรือ  แสดงความสัมพันธ์ สามารถเขียนในรูป ax + by + c < 0 และ ax + by + c 0 ax + by + c > 0 และ ax + by + c 0 เมื่อ x และ y เป็นตัวแปร ส่วน a , b , c เป็นค่าคงตัว a  0หรือ b  0

9. คำตอบของอสมการ จำนวนที่แทนตัวแปรในอสมการ แล้วทำให้อสมการเป็นจริง

10. กราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ กราฟของคู่อันดับ หรือกราฟของความสัมพันธ์ที่เขียนในระบบแกนมุมฉาก

11. กราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร การเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสามารถใช้สมการช่วยในการเขียน ดังนี้ พิจารณากราฟของอสมการเชิงเส้น   x  2และ y  -1 เมื่อนำมาเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสามารถใช้สมการช่วยในการเขียน

12. Y Y x = 2 X X 0 0 y = -1 1 2 3 1 2 3 -1 -1 โดยอาศัยกราฟของสมการเชิงเส้น  x = 2 และ y = -1 ดังนี้ จุด(2,1),(2,1.5),(2,2.5) และอีกหลายจุดนับไม่ถ้วนอยู่บนเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของ x = 2จุด(0,-1),(1.5,-1),(5,-1) และอีกหลายจุดนับไม่ถ้วนอยู่บนเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของ y = -1

13. Y Y x = 2 X 0 y = -1 1 2 3 -1 X 0 1 2 3 รูป ก -1 รูป ข จะได้กราฟของอสมการเชิงเส้น สองตัวแปร ต่อไปนี้ รูป ก คือ กราฟอสมการที่ x  2 รูป ข คือ กราฟอสมการที่ y  -1

14. เมื่อนำมาเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สามารถใช้สมการช่วยในการเขียน (ดูในหน้าถัดไป) พิจารณากราฟของอสมการเชิงเส้น และ

15. Y Y x = 2 X 0 y = -1 1 2 3 0 -1 1 2 X 3 -1 รูป ก รูป ข จะได้กราฟของอสมการเชิงเส้น สองตัวแปร ต่อไปนี้ รูป ก คือ กราฟของอสมการ รูป ข คือ กราฟของอสมการ

16. มาฝึกการเขียนกราฟกันเถอะมาฝึกการเขียนกราฟกันเถอะ

17. Y Y 0 X 0 1 2 X 3 1 2 3 -1 -1 รูป ก กราฟรูปใดสอดคล้องกับอสมการ x  3 รูป ข

18. Y Y 0 X 1 2 X 3 0 1 2 3 -1 -1 รูป ก รูป ข กราฟรูปใดสอดคล้องกับอสมการ y  3

19. Y Y 0 X 1 2 X 3 0 1 2 3 -1 -1 รูป ก กราฟรูปใดสอดคล้องกับอสมการ y  3 รูป ข

20. Y Y X 0 0 1 2 X 3 1 2 3 -1 -1 กราฟรูปใดสอดคล้องกับอสมการ y  3 รูป ก รูป ข

21. ในทำนองเดียวกัน การเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสามารถใช้สมการช่วยในการเขียน ดังตัวอย่างในหน้าถัดไป

22. Y 3 2 1 X + y = 2 X -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 ตัวอย่างที่ 1 พิจารณากราฟของสมการ x + y = 2

23. Y 3 2 1 y = x + 2 X -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 ดังนั้น จะได้กราฟของอสมการ x + y  2 ดังรูป

24. Y 3 2 1 y + x = 2 X -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 และกราฟของอสมการ x + y  2 ดังรูป

25. สำหรับปัญหาของกำหนดการเชิงเส้นนั้น จะกล่าวถึงเฉพาะลักษณะของตัวแปรที่มีค่าเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ นั่นคือ x  0 และy  0 เซตของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้คือ เซตของจุดในจตุภาคที่ 1 และครอบคลุมทุกๆ จุดบนแกน X และแกน Y

26. Y 3 2 1 y + x = 2 X -1 -2 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 และกราฟของอสมการ x + y  2 ดังรูป นั่นคือ จุด (x,y) ต่างๆ ในบริเวณที่ แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้อง กับอสมการ x + y 2

27. x  0 ดังนั้นกราฟของอสมการ x + y  2 โดยที่ y  0 Y 3 2 1 y + x = 2 X -1 -2 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 นั่นคือ จุด (x,y) ต่างๆ ในบริเวณที่ แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้อง กับอสมการ x + y 2 โดยที่ x  0 และ y  0

28. Y 4 3 x + 2y=6 2 1 X -2 -1 1 2 3 4 5 6 ตัวอย่างที่ 2 พิจารณากราฟของสมการ x + 2y = 6 วิธีทำให้ x = 0 จะได้ y = 3จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0,3) ให้ y= 0 จะได้ x = 3จุดตัดบนแกน X คือ จุด ( 6 , 0 )

29. จะได้กราฟของอสมการ ดังรูป 4 3 x + 2y=6 2 1 X -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 จุด (x,y)ต่างๆ ในบริเวณที่แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ อสมการ Y

30. และกราฟของอสมการ ดังรูป Y จุด (x,y) ต่างๆ ในบริเวณที่แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ อสมการ 4 3 2 1 X -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 x + 2y=6

31. สรุปได้ว่า.... กราฟของอสมการ ax + by  c เมื่อ b  0 คือพื้นที่เหนือเส้นตรง ax + by = c และ กราฟของอสมการ ax + by  c เมื่อ b  0 คือพื้นที่ใต้เส้นตรง ax + by = c

32. พิจารณากราฟของอสมการ เนื่องจาก x 0และ y 0 ดังนั้นจุด (x,y) ต่างๆ ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสาม ต้องเป็นจุดร่วมที่อยู่ในจตุภาคที่ 1 ที่ถูกล้อมรอบด้วยแกน X และแกน Y และเส้นตรง x + 2y = 6

33. Y 4 x + 2y=6 (0,3) 3 2 1 (6,0) (0,0) 1 2 3 4 5 6 จะได้กราฟของอสมการดังรูป

34. ; ; จากอสมการ Y 4 x + 2y=6 (0,3) 3 2 1 (6,0) (0,0) 1 2 3 4 5 6 ดังนั้นกราฟที่สอดคล้องกับอสมการที่กำหนดให้ แสดงได้ดังรูป มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม และมีจุดยอด 3 จุดคือ จุด (0,0),(0,3)และ(6,0)

35. ดังนั้นขอสรุปอีกครั้งว่า ปัญหาของกำหนดการเชิงเส้นนั้น จะกล่าวถึงเฉพาะลักษณะของตัวแปรที่มีค่าเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ นั่นคือ x  0 และy  0 เซตของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้คือ เซตในจตุภาคที่ 1และครอบคลุมทุกๆ จุดบนแกน X และแกน Y

36. ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟให้สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้

37. วิธีทำพิจารณาสมการ x + y = 5 ให้ x = 0 จะได้ y = 5จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0, 5 ) ให้ y= 0 จะได้ x = 5จุดตัดบนแกน X คือ จุด ( 5 , 0 ) พิจารณาสมการ 2x + y = 4 ให้ x = 0 จะได้ y = 4จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0, 4 ) ให้ y= 0 จะได้ x = 2จุดตัดบนแกน X คือ จุด ( 2 , 0 )

38. Y 6 5 4 x + y = 5 3 2 1 X 1 2 3 4 5 6 จะได้กราฟของอสมการ x + y  5ดังรูป

39. Y 6 5 4 3 2 1 X 2x + y = 4 1 2 3 4 5 6 จะได้กราฟของอสมการ 2x + y  4ดังรูป

40. Y 2x + y = 4 6 5 4 3 2 x + y = 5 1 X 1 2 3 4 5 6 บริเวณที่ซ้อนทับกันของกราฟอสมการทั้งสอง เป็นกราฟของระบบอสมการดังรูป

41. Y 5 5 4 4 x + y= 5 3 3 2 2 1 1 X X 1 2 3 4 5 6 2x + y= 4 ดังนั้นกราฟที่สอดคล้องกับอสมการที่กำหนดให้ แสดงได้ดังรูป มีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยม และมีจุดมุม 4 จุดคือ (2,0),(0,4),(0,5),(6,0)

42. ตัวอย่างที่ 4จงเขียนกราฟให้สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้

43. วิธีทำพิจารณาสมการ 2x + 3y = 12 ให้ x = 0 จะได้ y = 4 จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0, 4 ) ให้ y= 0 จะได้ x = 6 จุดตัดบนแกน X คือ จุด ( 6 , 0 ) พิจารณาสมการ 6x + 5y = 30 ให้ x = 0 จะได้ y = 6 จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0, 6 ) ให้ y= 0 จะได้ x = 5 จุดตัดบนแกน X คือ จุด ( 5 , 0 )

44. Y 5 2x + 3y=12 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 6 เนื่องจากกราฟของอสมการ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จะได้กราฟดังรูป จุด (x,y)ต่างๆ ในบริเวณที่แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ อสมการ

45. Y 6 5 6 x +5 y=30 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 6 เนื่องจากกราฟของอสมการ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จะได้กราฟดังรูป จุด (x,y) ต่างๆ ในบริเวณที่แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ อสมการ

46. เนื่องจากกราฟของอสมการ อยู่ในจตุรภาคที่ 1 จะได้กราฟดังรูป Y 6 บริเวณที่ซ้อนทับกันของกราฟอสมการทั้งสอง เป็นกราฟของระบบอสมการดังรูป 5 6x +5 y=30 4 3 2 2x + 3y=12 1 X X 1 2 3 4 5 6

47. เนื่องจากกราฟของอสมการ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จะได้กราฟดังรูป Y 6 5 6x +5 y=30 4 3 2 2x + 3y=12 1 X 1 3 4 5 6 2 ดังนั้นกราฟที่สอดคล้องกับอสมการที่กำหนดให้ แสดงได้ดังรูปมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยม และมีจุดมุม 4 จุด คือ (0,0),(0,4),(3.75,1.5),(5,0)

48. ตัวอย่างที่ 5จงเขียนกราฟให้สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้

49. วิธีทำพิจารณาสมการ 3x + 2y = 12 ให้ x = 0 จะได้ y = 6จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0,6) ให้ y= 0 จะได้ x = 4จุดตัดบนแกน X คือ จุด (4, 0 ) พิจารณาสมการ 3x + 6y = 18 ให้ x = 0 จะได้ y = 3จุดตัดบนแกน Y คือ จุด (0,3) ให้ y= 0 จะได้ x = 6จุดตัดบนแกน X คือ จุด (6, 0 )

50. เนื่องจากกราฟของอสมการ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จะได้กราฟดังรูป Y 6 5 4 3 2 1 2x + 3y=12 X 1 2 3 4 5 6 จุด (x,y)ต่างๆ ในบริเวณที่แรเงา เป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับ อสมการ