1 / 25

POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

Disampaikan Oleh : Malalina Trilius Septaliana KR. POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial. DEFINISI.

owena
Download Presentation

POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Disampaikan Oleh : • Malalina • Trilius Septaliana KR POSET ( Partially Ordered Set ) HimpunanTerurutParsial

  2. DEFINISI Suaturelasibinerdinamakansebagaisuaturelasipengurutantaklengkapataurelasipengurutanparsial / POSET (partial ordering relation) jikaiabersifatrefleksif, antisimmetris,dantransitif.

  3. REFLEKSIF • RelasiRpadahimpunanAdisebutrefleksifjika (a, a) Runtuksetiapa A. • RelasiRpadahimpunanAtidakrefleksifjikaadaa Asedemikiansehingga (a, a) R.

  4. CONTOH REFLEKSIF Diketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut : • Periksa apakah R refleksif atau tidak. Penyelesaian Ambil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka Dengan demikian ada sedemikian hingga Ini berarti bahwa R tidak refleksif.

  5. CONTOH REFLEKSIF MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdibawahinididefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),(4, 4) } • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } • Apakah relasi ini refleksif ?

  6. CONTOH REFLEKSIF • Penyelesaian : • Relasi bersifatrefleksifkarenaterdapatelemenrelasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). • Relasi tidakbersifatrefleksifkarena (3, 3) R.

  7. CONTOH REFLEKSIF TigabuahrelasidibawahinimenyatakanrelasipadahimpunanbilanganbulatpositifN. R : lebihbesardariy S :x + y = 5 T :3x + y = 10 Penyelesaian : Tidaksatupundariketigarelasidiatas yang refleksifkarena, misalkan (2, 2) bukananggotaR, S, maupunT.

  8. SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS • RelasiRpadahimpunanAdisebutSIMETRIS jika (a, b) R, maka (b, a) Runtuka, b A. • RelasiRpadahimpunanATIDAK SIMETRIS jika (a, b) Rsedemikiansehingga (b, a) R. • RelasiRpadahimpunanAsedemikiansehingga (a, b) Rdan (b, a) Rhanyajikaa = buntuka, b AdisebutANTISIMMETRIS • RelasiRpadahimpunanATIDAK ANTISIMMETRIS jikaadaelemenberbedaadanbsedemikiansehingga (a, b) Rdan (b, a) R.

  9. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdibawahinididefinisikanpadahimpunanA, maka • RelasiR = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } • RelasiR = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} • RelasiR = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} • RelasiR = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}

  10. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS • Penyelesaian : • RelasiR = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifatsimetriskarenajika (a, b) Rmaka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitujuga (2, 4) dan (4, 2) R. • RelasiR = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidaksimetriskarena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

  11. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS • RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetriskarena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. PerhatikanbahwaRjugasimetris. • RelasiR = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidakantisimetris, karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggotaR.

  12. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS • e. RelasiR = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidaksimetrisdantidakantisimetris, • f. RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidaksimetrisdantidakantisimetris. Rtidaksimetriskarena (4, 2) Rtetapi (2, 4) R. Rtidakantisimetriskarena (2, 3) Rdan (3, 2) Rtetap 2  3.

  13. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS TigabuahrelasidibawahinimenyatakanrelasipadahimpunanbilanganbulatpositifN. R : xlebihbesardariy, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 Apakah simmetris atau antisimmetris

  14. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : - Rbukanrelasisimetriskarena, misalkan 5 lebihbesardari 3 tetapi 3 tidaklebihbesardari 5. - Srelasisimetriskarena (4, 2) dan (2, 4) adalahanggotaS. - Ttidaksimetris, karenamisalkan (3, 1) adalahanggotaTtetapi (1, 3) bukananggotaT. - Sbukanrelasiantisimetriskarena, misalkan (4, 2) Sdan (4, 2) Stetapi 4  2.

  15. TRANSITIF • RelasiRpadahimpunanAdisebutTRANSITIF jika (a, b) Rdan (b, c) R, maka (a, c) R, untuka, b, c A.

  16. CONTOH TRANSITIF Diketahui A = {–1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut R = {(x,y); x,y A, x ≤ y} Periksa apakah R transitif atau tidak. Penyelesaian A x A = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, –1), (0, 0), (0,1), (1, –1), (1,0), (1,1)} Karena R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)} Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z  A dengan xRy dan yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.

  17. CONTOH TRANSITIF MisalkanA = {1, 2, 3, 4}, danrelasiRdibawahinididefinisikanpadahimpunanA, maka • R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } • R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } • R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) • Apakah R bersifat transitif ?

  18. CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : • a. bersifattransitif. Lihattabelberikut:

  19. CONTOH TRANSITIF • R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitujuga(4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R. • c. RelasiR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelastransitif

  20. CONTOH TRANSITIF DuabuahrelasidibawahinimenyatakanrelasipadahimpunanbilanganbulatpositifN. R :xlebihbesardariy, S : x + y = 6,

  21. CONTOH TRANSITIF • Penyelesaian : • - Radalahrelasitransitif karenajikax > ydany > zmakax > z. • - Stidaktransitif, karenamisalkan (4, 2) dan (2, 4) adalahanggotaStetapi (4, 4) S.

  22. DEFINISI Misalkan (P, ≤) sebuahposet. Jikauntuksetiap x, y  P, berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka(P, ≤) disebutrantai

  23. CONTOH SOAL Misalkan Z adalahhimpunansemuabilanganbulatpositif. Relasi ≤ (kurangdariatausamadengan) adalahsebuahrelasipada Z. periksaapakahhimpunan Z denganrelasiataudinotasikan (Z, ≤) merupakanposetataubukan?

  24. PENYELESAIAN • Karenauntuksetiap x  Z berlaku x ≤ x, makasifatrefleksifterpenuhi. • Karenauntuksetiap x, y  Z dengan x ≤ y dan y ≤ x, berartibahwa x = y, makasifatantisimetristerpenuhi. • Karenauntuksetiap a, b, c  Z, dengan a ≤ b, b ≤ c, berlaku a ≤ c, makasifattransitifterpenuhi. • Dengandemikian, karenaketigasifatterpenuhi, maka (Z, ≤) adalahsebuahposet.

  25. LATIHAN • A = {a,b,c,d}  dan relasi R didefinisikan pada A sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset? • Misalakan R adalahhimpunansemuabilangan real. Periksalahapakah(R, ≤) sebuahposet ?

More Related