線型方程式

線型方程式 吉水由美

発表内容 • 線型方程式について学んできた中で， LU分解と反復法の最初の部分について　発表しようと思います．

ガウスの消去法について 次のような演算で消去を行い，右上三角行列を作り，　方程式を解く方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（各係数の右上の添字は消去の過程を表すためにつけたもの）

ガウスの消去法の演算回数 より，約回の乗算と加算が必要

　　　分解とおき，，とおくとつまり，消去の第１段は行列　　　を左からかけたことに等しい．

第　段は ０，と表せるとおくと最終段まで進むと０

の右辺のベクトル　　にも同様の操作 を行なえばはとなるの逆行列は０で与えられる（これは　　　　　　　　からわかる）

とおくと となるであり，これを　　の　　　分解という

LU分解に必要な演算回数 計算時間の大部分はLU分解の過程で費やされる．そこで必要な回数は加減算の回数：乗算の回数：したがって，LU分解の過程で，加減算と乗算それぞれ約　　　　　回必要になる．　　　　　　　　　　　　　　　　　　そして，LU分解された行列を使って右辺ベクトル　　の異なる複素組の連立１次方程式を解くときには，1組の方程式あたり約　　回の加減算と乗算がそれぞれ必要になる．

対称行列の　分解　の　分解をとするときとおいて，と表せる

Aが対称行列（　　　　　のこと）とする 　　　　第（ｋ－１）段までで得られた行列　　　の　　　　　第ｋ行以下の小行列をとおくとは対称である

なぜなら，第（ｋ－１）段で行われる変形は であるが，であったからが分かりとつづきが分かる．　　　　　　　　　　ゆえに　　　は対称となり　　　　　である．つまり対称行列は　　　　　　　と分解できる．これを　　の分解という

　　　　 分解に必要な計算回数 分解の過程で必要な計算回数は加減算の回数：乗算の回数：したがって，分解の過程で，加減算と乗算それぞれ　約　　　　　回必要になる．そして，分解された方程式を解くときには，　　　　　　　約　　回の加減算と乗算がそれぞれ必要になる．

反復法とは… ガウスの消去法をまともに解くと，大きい行列では計算回数が多くなってしまう．このため，適当に近似を繰り返していくことで解を求めることはできないだろうか，ということが考えられてきた．連立方程式で，真の解を　　，ある計算により　　回目で求められたものを　　とする．計算回数を増やしてとなったとする．このように計算回数を増やして，真の解に近づける方法を反復法という．

解の収束の条件 を同値な　に変形する．・・① ・・② ・・③ が適当な初期値　　から出発して計算をしていき，　①の解　　に収束すればよい．Ｋ回目の計算誤差をとおく． ③から②を引くと

一般には初期値　　　は任意に選ぶので，その誤差一般には初期値　　　は任意に選ぶので，その誤差は０ではない．反復とともに　　　が　　に収束するためには，　　　が反復とともに０に収束しなければならない．そのためには反復行列Mの固有値の絶対値がすべて１より小さくなくてはならない．　　　　　　　　　　　　　　　　Mの固有値がすべて１より小さければ，反復と共に誤差は　　　　　　　　　　にしたがって減少し，０に収束する．すなはち，　　　　　　　　　　　　が収束するための必要十分条件は，反復行列Mのすべての固有値の絶対値が１より小さいことである．

ヤコビ法 非対角成分に相当する項をすべて右辺に移項した次の形において反復を行う方法をヤコビ法という．行列で表すとすなわち

ただし

まとめ • ガウスの消去法よりも計算回数が少なくてすむ方法がいくつかあることがわかりました． • 線型方程式については，たくさん学ぶことがあります．今後の課題としては，行列の固有値問題について学んでいきたいと思います． • ガウスの消去法についての説明や，コレスキー法，反復法など今まで学んできたことはホームページに載せてあります． http://tnt.math.metro-u.ac.jp/labo/grad/2004/yumi

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