Download
1 / 54
732 likes | 1.42k Views
هندسه فراکتال ها و هندسه متناهی. ثریا زارعی. تاریخچه ای از فراکتال.
E N D
هندسه فراکتال ها و هندسه متناهی ثریا زارعی
تاریخچه ای از فراکتال سال ها پيش مندلبرات تصميم به اندازه گيري طول ساحل انگلستان گرفت. وي متوجه شد اگر ابزار اندازه گيري بر حسب كيلومتر بكار ببرد يك عدد براي اندازه خواهد يافت و اگر ابزار اندازه گيري دقيق تر شود مثلاً بر حسب متر، بسياري از گوشه ها و زوايايي كه در اندازه گيري به حساب نمي آمد مثل انحناي حاصل از صخره ها و اسكله ها اينبار در نظر گرفته مي شود و اين باعث بزرگتر شدن عدد اندازگيري مي گردد. حال اگر مقياس بر حسب سانتي متر باشد چه عددي خواهيم يافت؟ بر حسب ميلي متر يا كمتر چطور؟ در اينصورت خميدگي دانه هاي ماسه هم در اندازه گيري به حساب مي آيد! مي توان گفت ، طول ساحل انگلستان در مقابل چنين مقياس اندازه گيري كوچكي بي نهايت است. چنين اتفاقي براي فراكتال ها مي افتد.
مندلبرات در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند. هندسه فراکتالی یا هندسه فراکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. پیش از اینکه مندلبرات این واژه را ابداع کند،برای چنین اشکالی ،ازواژه «منحنی های هیولایی»استفاده می شد.واژه فراکتال مشتق گرفته از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نامنظم شکسته وخرد شده ،که درسال 1976توسط ریاضیدان لهستانی بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.اودر سال 1987پروفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت. فرهنگستان زبان هم واژه برخال راتصویب کرده و همچنین برای واژه فراکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.
تعریف آشوب فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است،تاکید براین نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است،اماخروجی این سیستم هاظاهری کتره ای وتصادفی دارد. شاید به همین دلیل بود که استوارت ،به تعریفی رسید که تقریبا موردتایید عمومی قراردارد. براساس این تعریف،آشوب به توانایی یک الگو ومدل ساده گفته می شود که اگر چه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد،اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.
برای مثال یک دنباله ریاضی از اعداد رادر نظربگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.بیایید هربار پاسخ معادله را به عنوان متغیر جدید به این سیستم وارد کنید. مجموعه جوابی که به دست خواهد آمد،دنباله ای از اعداد است که رفتاری آشوبناک دارد واگرآنها راتصویر کنیم به یک الگوی واقعی آشوب می رسیم.مثلا معادله ساده x^3+c که در آن cیک عدد مختلط است،اگریک بار یک عدد به xنسبت دهیم ودفعات بعد به جای عدد دلخواه پاسخ قبلی معادله را به xنسبت می دهیم.نمونه بسیارجذابی از یک رابطه آشوبناک به دست می آید رابطه ای که زیبایی های خود را آشکار خواهد کرد. همین طور که از مثال مشخص شده یکی از شناسه های مهم سیستم های آشوب در این است که بازخورد یک رفتار برادامه فعالیت آن تاثیر می گذارد؛یعنی همیشه اولین محصول خروجی در ادامه روند نقش بازی می کند؛همانند زادوولد موجودات ،اگر بخواهیم روند زاد وولد انسان یاهرموجود دیگر رادر نظربگیریم بایدتوجه کنیم که نسل اول کودکان اگرچه محصول این سیستم هستند اما درتعیین ادامه روند سیستم نقش بازی می کنند.
تعریف فراکتال • یک فراکتال،یک شکل هندسی چندپاره یاناهموار است که می تواند به بخش هایی تقسیم شودکه هرکدام از آنها(حداقل به طور تقریبی) یک کپی کاهش یافته از لحاظ اندازه ازکل شکل می باشدواین اصطلاح در سال • 1976توسط مندلبرات ابداع شد. • در علم ریاضی فراکتال یک شکل هندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. • یک فراکتال به عنوان یک شکل هندسی ،به طور کلی خصوصیات زیر را داراست: • - اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.) • - بی قاعده تر از آن است که بازبان سنتی هندسه اقلیدسی،به سادگی توصیف شود. • خودمتشابه است(حداقل به طور تقریبی یاتصادفی). • دارای یک تعریف ساده و بازگشتی می باشد.
از آنجاییکه فراکتالها در تمام سطوح بزرگنمایی مشابه به نظر می رسند،فرض میشود که بطورنامحدودی پیچیده اند. اشیای طبیعی که تاحدودی به فراکتال تقریب زده میشوند عبارتنداز:ابرها-رشته کوه ها-صاعقه- خطوط ساحلی وبرفدانه ها.با این حال تمام اشیای خود متشابه فراکتال نیستند برای مثال خط حقیقی(یک خط راست اقلیدسی)ظاهراخود متشابه است اما سایر مشخصات فراکتال ها را دارا نیست.
هندسه فراکتال در این قسمت از دید ریاضی به فراکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد. نظریه ی ریاضی مدرن که به طور ریشه ای از هندسه اقلیدسی جدا می شود.هندسه فراکتالی است که به توصیف اشیایی می پردازد که خود متشابه یا متقارن اند.این بدان معناست است که وقتی این اشیا بزرگنمای شوند به نظرمیرسد که بین اجزای انها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزبه جز تا بینها یت ادامه می دهند. فراکتال ها شکل هایی هستند که برعکس شکل های هندسه اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند.این شکل ها اولا سراسر نامنظم اند ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.
خود متشابهی در اشکال هندسی: فراکتال ها خود همانند هستند بدین معنی که: یک فراکتال در هر اندازه ای و با هر مقیاسی؛ مشابه به نظر می رسد.
آرایش تکرار شونده فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . فراكتال ها اغلب با مراحل تكراري ايجاد مي شوند.براي ساخت يك فراكتال: يك شكل هندسي مثل يك خط يا مثلث را در بگيريد و روي شكل مورد نظر عملياتي انجام دهيد،حال شكلي پيچيده تر از شكل اوليه داريد. همان عمليات را روي شكل جديد انجام دهيد، اين بار شكلي پيچيده تر از قبل داريد. باز همان عمليات را تكرار كنيد و الي آخر. به نظر مي رسد مي توان تا بي نهايت ادامه داد. اما در نظر داشته باشید که هر عمليات تكرار شونده روي اشكال، منجر به پيدايش فراكتال ها نمي شود. مثلاً يك خط را بخش بخش كنيد و تا بي نهايت اين كار را ادامه دهيد،يك فراكتال ايجاد نخواهد شد.
به ابعادمسیر شکل های زیر فکر کنید. یک قطار روی ریل؛ بعد=1 قایق روی آب؛بعد=2 هواپیمای در آسمان؛بعد=3
یک تکه کاغذ آلومینیوم را در نظربگیرید. • بعدآن چند است؟ • آن را مچاله کنید؛بعد آن چند است؟ • حال آلومینیوم را باز کنید؛بعد آن چند است؟ • ُبعد كاغذ آلومنيم ابتدا دو است بَعد ار مچاله شدن سه است. • بُعد كاغذ آلومينيم باز شده جند است؟ چنين شكلي • بعد اعشاري دارد.
ابعاد فراکتال ها در این مجال به نحوه محاسبه ی بعد اشکال خود متشابه می پردازیم. 1- پاره خط زير شكلي خود همانند است كه به چهار بخش مساوي تقسيم شده است. ( ) طول هر بخش يك چهارم طول پاره خط اصلي است. اگر طول هر بخش چهار برابر شود پاره خط اصلي بدست مي آيد. 2- يك مربع را مي توان با مربع هايي به طول ضلع طول ضلع مربع اصلي پوشاند. براي پوشاندن مربع بزرگتر به مربع كوچكتر نياز داريم.
3-يك مكعب را مي توان با مكعب كوچكتر پوشاند كه طول يال هر يك مكعب بزرگتر است. • در اين مثال ها روابط زير را دار يم: • به طور كلي، N (تعداد بخش هاي كوچكتري كه شكل اصلي را مي پوشاند) مساوي S ( مقياس تغيير اندازه) به توان D (بعد شكل). یعنی
چند تمرین در هر مورد از فراکتال های زیر،بعد فراکتال را بیابید. • فراکتال جعبه ای N=5 S=3 D=logN/logS= log5/log9=0.699/0.477=1.465 D=1.465
(2منحنی کخ N=4 S=3 D=logN/logS= log4/log3=0.602/0.477=1.262 D=1.262
بعد هر یک از فراکتال های ساخته شده به روش های زیر را بیابید. 3- پایه مولد N=5 S=3 D=logN/logS= log5/log3=0.699/0.477=1.465 D=1.465
4)پایه مولد N=13 S=5 D=logN/logS= log13/log5=1.114/.699=1.594 D=1.594
در فراکتال ها این بعدفراکتالی است که مهم است نه مقیاس.زیرا در هراندازه ای، این بعد فراکتالی حفظ می شود وبیانگر خاصیت اصلی فراکتال است.(همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است.در کیهان شناسی ساختار یک کهکشان بایک خوشه کهکشانی (مجموعه ای از هزاران کهکشان) ویک خوشه نیزبایک ابرخوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی)قابل قیاس است.رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت ویا نحوه کارکردهای پلیمرهای صنعتی (مثل لاستیک ها)وپلیمرهای حیاتی(مثل دی ان ای وپروتئین ها)از مواردی هستند که دانش فراکتالهارادر آنها می توان به کاربرد.
مساحت متناهی و محیط نامتناهی! پديده ي بسيار عجيب دربرخي از فراكتال ها نا متناهي يا نامعين بودن محيط آنها ست. در اينجا محاسبه محيط دانه برف كخ كه يك فراكتال معروف است را مورد بررسي قرار مي دهيم. به طور معمول وقتي محيط يك شكل هندسي را افزايش مي دهيم، به مساحت آن نيز افزوده مي گردد. حال محيط زير را بررسي مي كنيم.با فرض اینکه هر ضلع مثلث متساوی الاضلاع اولیه 3 باشد: پرسش اول- محيط مثلث متساوي الاضلاع، 9 است. محيط شكل هاي بعدي چند است؟
محیط = 9واحد محیط = 12واحد محیط =؟واحد
آيا الگويي براي محاسبه ي محيط اين اشكال وجود دارد؟محيط هر شكل ..... برابر محيط شكل قبلي خود است. محيط مثلث اول 9 واحد است. چند دور تكرار لازم است تا محيط 100 واحد شود؟ حال فرض كنيد اين كاررا به دفعات زيادي تكرار كنيم. محيط بسيار بزرگ مي شود. آيا مساحت شكل هم بسيار بزرگ خواهد شد؟ تمام شكل هاي حاصل از تكرار مراحل، درون دايره اي محاط هستند كه مثلث اول محاط بود. در بي نهايت تكرار، محيط بي نهايت مي شود در حاليكه مساحت محدود به مساحت دايره ي محاط است. محيط نامتناهي پيرامون مساحتي متناهي !!
در مورد مساحت فراكتال چه اتفاقي مي افتد؟ در هر گام از تكرار، محيط فراكتال دانه برف كخ بزرگتر و بزرگتر مي شود در حاليكه مساحت آن هيچگاه از مساحت دايره ي محاط بيشتر نمي شود. سه مرحله ي ساخت اين فراكتال را به خاطر آوريد. با توجه به شكل زير مراحل محاسبه ي مساحت دانه برف كخ را دنبال مي نماييم.
شكل فوق تكرار دوم از فراكتال دانه برف كخ است. در تكرار اول مثلث هاي قرمز به مثلث اصلي (زرد) اضافه شده اند ودر تكرار دوم مثلث هاي آبي به آن افزوده شده اند. مثلث اصلي شامل 81 مثلث كوچكتر است،فرض مي كنيم مساحت هر مثلث كوچكتر يك واحد باشد. تمام داده ها و نتايج مر بوط به شكل فوق را در جدول زير قرار مي دهيم.
مساحت هر مثلثي كه افزوده مي شود مساحت مثلث قبلي است. تعداد مثلث هاي افزوده شده در هر تكرار چهار برابر مرحله ي قبل است. حال تكرار هاي بعدي را پيش بيني مي كنيم. آنچه اتفاق مي افتد اين است: مساحت همچنان بزرگتر و بزرگتر شده و به نظر مي رسد به يك عدد همگرا مي گردد ولي هيچ گاه بيشتر از آن نمي شود. اشکال فراکتالی معمولابه کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.در این مجال چندتا ازاشکال فراکتالی مهم ومعروف را معرفی می کنیم.
مجموعه مندلبرات مجموعه مندلبرات مجموعه‌ای از نقطه‌ها رویصفحه مختلطاست که یکبرخال(فرکتال) را تشکیل می‌دهند. این مجموعه به خاطر زیبایی‌اش و نیز به خاطر ساختار پیچیده‌ای که فقط از چند تعریفسادهریاضیناشی شده است، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شده است. مجموعه مندلبراتM، مرکب از مقدارهایمختلطی ست که بوسیله دنباله حاصل از تکرار ترکیب تابع f(z+1) =f(z)^2 + c با خودش به دست می آید.با نقطه آغاز صفر.
مجموعه جولیا تابع بازگشتی f(n)= n^2+c فراکتالی را ایجاد می شود که مجموعه جولیا می نامند.c یک عدد مختلط است که می تواندهر مقداری باشد و در نهایت باعث به وجودآمدن یک مجموعه جولیای متفاوت خواهد بود. n یک عدد مختلط است که به صورت(x+iy) خواهد بود.حالا می پرسید که این ضابطه ساده چطور نمودار بزرگ فراکتال را میسازد.می دانیم که نتیجه این ضابطه یک نقطه است-که می تواند بسیار کوچک باشد یا بسیار بزرگ.نقطه را در مختصات nقرار می دهیم. nرا (2+1i)و cرا (1+1i)در نظر بگیرید.باجایگذاری در معادله خواهیم داشت: F(n)=f(2+1i)=(2+1i)(2+1i)+(1+1i)=4+5i با در نظر گرفتن یک دستگاه مختصات دلخواه(مثلا یک دستگاه 10*10)دو حالت پیش می آید 1- نقطه جدید روی دستگاه قرار نمی گیرد. 2- هرگزنمودار راترک نمی کند.
مجموعه کانتور بخشي از يك خط را در نظر بگيريد و يك سوم مياني آن را خارج سازيد.( شكل زير را در نظر گيريد). آنچه باقي مانده يك خط است با يك فضاي خالي مياني. اين كار را تكرار كنيد يعني يك سوم مياني بخش هاي باقي مانده خط را خارج سازيد. حال تصور كنيد اين كار را تا بي نهايت انجام مي دهيد. آنچه حاصل مي شود فراكتال معروفي به نام " غبار كانتور" است.
محاسبه بعدمجموعه کانتور: با توجه به رابطه ي بدست آمده؛ بُعد غبار كانتور را مي يابيم: N = 2 S = 3 D = 0.6309
برفدانه کخ یکی از مشهورترین فراکتال ها توسط ریاضیدانی به نام «فون کخ»در سال 1904ابداع شد.در این فراکتال که به «دانه برفی کخ»شهرت دارد،ابتدا یک مثلث متساوی الاضلاع رادر نظر می گیریم وهر ضلع آن را به 3قسمت تقسیم می کنیم؛سپس به جای پاره خط وسط هرضلع،یک مثلث متساوی الاضلاع دیگر جایگزین می کنیم و این عمل را بارها تکرار می کنیم. به این نوع فراکتال ها فراکتال «خودمتشابه»گفته می شود،چرا که هر قسمت آن باتکه بزرگتر شبیه است.
اژدهای هرتر های وی فراکتال دیگربه «اژدهای هرتر های وی»معروف است وبرخلاف اسم عجیبش روش ساخت ساده ای دارد!این شکل از یک تکه خط راست وتکرار و چسباندن آنها بازاویه 90درجه به یکدیگرتشکیل شده است.
مثلث سرپینسکی در ايجا مراحل بوجود آمدن فراكتال معروفي به نام مثلث سرپينسكي را دنبال مي كنيم. گام يك- مثلث متساوي الاضلاعي را در نظر بگيريد. وسط اضلاع آن را به هم وصل كنيد. اكنون مثلث مياني را خارج كنيد. مثل اينكه سوراخي وسط مثلث بزرگتر بوجود آمده است. گام دو- باز هم وسط هاي مثلث ها ي متساوي الاضلاع موجود را به روش قبل به هم متصل مي كنيم به طوري كه طول ضلع مثلث اصلي چهار برابر طول ضلع مثلث هاي كوچكتر باشد و همان مراحل را تكرار مي كنيم.در هر يك از سه گوشه ي مثلث اصلي سه مثلث كوچكتر و در كل سه حفره ي جديد بوجود آمده است.
. گام سه- اينبار هم همان مراحل را طوري تكرار مي كنيم كه طول ضلع مثلث اصلي هشت برابر طول ضلع هاي مثلث هاي كوچكتر باشد. ا كنون يك مثلث بزرگ، سه مثلث متوسط و نه مثلث كوچك تيره رنگ در شكل داريم. • گام چهار- مراحل فوق را همچنان تكرار مي كنيم
سازه های فراکتالی • مکعب آبی،گروه معماران PTW،شرکت اووآروپ این نام برای مرکز شنا و بازی های آبی المپیک سال 2008پکن در نظرگرفته شده است.پروژه به شکل یک مکعب بسیار ساده ولی پیچیده در نظرگرفته شده که سعی در شبیه شدن آن به اجتماع مولکول های آب شده.ابعاد این مکعب بزرگ 177×177متر وارتفاع آن31متر است.الهام بخش این نوع سازه شکل ارگانیک حباب های صابون وکف بوده است.
هندسه متناهی سطح اقلیدسی دارای بی نهایت نقطه و خط ،و مجموعه ای غنی ازقضایایی که به روزگاران به اضافه شدن مداومت می کنند،است،وبه عکس آن هندسه «تنک مایهminiature»تنها تعداد اندکی آکسیوم«اصل»وقضیه و شمار محدودی عضو یاعنصر دارند.اینان هندسه هایی متناهی اند. همانطور که گفته شد این نوع هندسه دارای تعداد معدودی آکسیوم وشمار محدودی عبارت تعریف ناشده دارند.اماچنین خصوصیاتی ،هندسه را متناهی نمی کنند ودر عوض،هندسه متناهی دارای تعداد محدودی عضو-یعنی نقطه یاخط یا آلت فعاله«thing to work with»است.اعضای مذکور درمورد هندسه های مورد بررسی در این مقاله می توانند نقاط وخطوط درنظرگرفته شوند. اولین هندسه متناهی هندسه ی سه بعدی ای بود که هرصفحه آن هفت نقطه وهفت خط داشت.بدعت هندسه های متناهی بااین واقعیت که جینوفانو این اولین هندسه متناهی رادر1892کشف کرد موردتاکید قرار می گیرد.از این زمان به بعد تعداد بسیاری هندسه متناهی بررسی شد یا در دست بررسی است،وبسیاری از مجموعه های نقاط وخطوطی که قبلا در هندسه اقلیدسی شناخته شده بودند از این نظر مورد تحقیق قرار گرفته اند.
هندسه سه نقطه ای در اینجا فرض براین است که الفاظ نقطه،خط،وواقع برعباراتی تعریف ناشده اند. آکسیوم های هندسه سه نقطه ای • در این هندسه دقیقاسه نقطه متمایزموجود است. • دونقطه متمایز دقیقابریک خط واقع اند. • جمیع نقاط این هندسه بریک خط واقع نیستند. • دوخط متمایز حداقل بریک نقطه واقع اند. در اصل4دوخط بایک نقطه مشترک به خطوط متقاطع موسومند.
هندسه متناهی سه نقطه ای را می توان باترسیمات بسیاری ازجمله چهار رسم زیر نمایش داد.
قضیه:اگردوخط متمایز باشند،در این صورت بردقیقایک نقطه واقع اند. اثبات(برهان خلف):دوخط متمایز بنا به اصل4حداقل بریک نقطه واقع اند.فرض می کنیم دو خط بربیش از یک نقطه قرار داشته باشند.اگر خطوط l,mبرنقاط Q,Pواقع شوند،در این صورت اصل2،از آنجا که P,Qبردوخطm,l قرار می گیرند،نقض می شود.
قضیه:هندسه سه نقطه ای دقیقاسه خط دارد. اثبات:از اصل2هرزوج نقطه دقیقابریک خط واقع اند.در این صورت هرزوج نقطه ممکن برخطی متمایز قرار دارد،بنابراین هندسه مان حداقل دارای سه خط است.فرض می کنیم خط چهارمی موجودباشد.از اصل1در این هندسه تنها سه نقطه وجود دارد.در این صورت خط چهارم مفروض بنا به قضیه قبل بایدنقطه مشترکی باهر یک از سه خط دیگرداشته باشد،لذا باید بردونقطه از سه نقطه نیزواقع شودکه،متناقض بااصل2است.درنتیجه بیش از سه خط نمی تواند در این هندسه واقع باشد.
در حالی که نقطه و خط در این هندسه به عنوان عبارات تعریف نشده به کار رفته اند می توان به جای آنها کلمات دیگری برای بدست آوردن تعبیری معنی دار ساخت.برای مثال می توان درخت را بجای نقطه و ردیف را بجای خط قرار دهیم ودر این صورت اصول موضوعه به تربیت زیر دانسته می شوند: دقیقاسه درخت متمایز وجوددارد. دودرخت بریک ردیف واقع اند. جمیع درخت ها بریک ردیف واقع نیستند. دوردیف متمایز حداقل در یک درخت مشترکند. بابه کار بردن الفاظی چون مهره ونخ،دانشجو وکمیته ،کتاب وکتابخانه می توان به تعابیری دیگر دست یافت. از بررسی اصل ها و شکل ها واضح است که دیگر مفاهیم اقلیدسی چون طول پاره خط،مقدار زاویه ومساحت –در واقع تمام مفاهیم مربوط به اندازه گیری – در هندسه متناهی مورد بحث به کار نمی رود.در این هندسه درصورتی که مثلثی به صورت سه خط متمایزدوبه دودر سه نقطه متمایز نه هرسه بریک استقامت تعریف شود،یک وتنها یک مثلث موجودیت می یابد.مفهوم خطوط متوازی که تعریف آن دو خط بی هیچ نقطه مشترک است نیز از آنجا که هردوخط در یک نقطه تلاقی می کنند،برقرار نیست.هم نهشتی نیز مفهومی ناآشنا در این هندسه است.
هندسه ی چهار خطی در این نوع هندسه نیز مانند هندسه سه نقطه مفاهیم نقطه،خط و واقع بر را تعریف نشده در نظر می گیریم. اصول هندسه چهار خطی • در این هندسه دقیقاچهارخط موجود است. • برهردوخط متمایز آن دقیقا یک نقطه قراردارد. • هرنقطه آن دقیقابردوخط قرار دارد. اصل1،اصل وجود است زیرا تضمین می کند که هندسه مورد بحث مجموعه ای تهی از نقاط نیست.اصول دیگر آکسیوم های وقوع اند وبانقاط واقع برخطوط وخطوط واقع برنقاط سروکار دارند.
قضیه:هرخط هندسه ی چهارخطی دقیقا سه نقطه واقع برخوددارد. اثبات:بنا به اصل2هرخط این هندسه نقطه مشترکی باهریک از سه خط دیگر دارد،وهر3نقطه ی این نقاط متمایز برخط مفروض واقع اند.فرض می کنیم نقطه چهارمی بر یکی از این خط ها موجود باشد.در این صورت بنا به اصل3،این نقاط باید بریکی از خطوط دیگر نیز واقع شود.ولی این غیرممکن است زیرا3خط دیگر قبلاودقیقا یک نقطه باخط مفروض تعیین کرده اند،وبنا به اصل2می توانند تنها یکی تعیین کنند.بنابراین هرخط هندسه چهارخطی دقیقادارای 3نقطه ی واقع برخود هستند.
قضیه:هندسه ی چهارخطی دقیقا شش نقطه دارد. اثبات:باتوجه به آکسیوم1،شش زوج خط داریم. بنا به اصل 2برهر زوج خط دقیقا یک نقطه قرار دارد.فرض می کنیم دو نقطه از این 6نقطه متمایز نباشند.این فرض نقیض آکسیوم 3می شود زیرا در این صورت هرنقطه بربیش از دوخط قرار می گیرد.نیز بنا به اصل 3در این هندسه هیچ نقطه ای جز این 6نقطه واقع بر ازواج خطوط نمی تواند موجود باشد.
ترسیماتی از هندسه چهارنقطه D E D E F F C A B C B A خطوط AE , AC , BD خطوط AE , AC , BD
