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從試題分析談 數學科有效教學策略

從試題分析談 數學科有效教學策略. 左太政 / 國立高雄師範大學數學系. 從國中小數學段考 試題談起. 據媒體報導有關國中數學試題 : 已知正方形邊長為 1 ，試求圖形 EFMN 的面積。. 參考解法 : 作補助線 評量重點：理解圖形面積公式的應用. 媒體報導某校國小六年級段考題. 已知 ABCD 是一個長 4 公尺，寬 2 公尺的長方形，以 B 為圓心，為半徑畫一扇形 ABE ，以 D 為圓心，為半徑畫一扇形 ADF ，試求塗色部分面積。. 作補助線如下：. 國小六年級段考題. 在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是 50 平方公分，求圓面積。.

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從試題分析談 數學科有效教學策略

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  1. 從試題分析談數學科有效教學策略 左太政 / 國立高雄師範大學數學系

  2. 從國中小數學段考 試題談起

  3. 據媒體報導有關國中數學試題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。據媒體報導有關國中數學試題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。

  4. 參考解法:作補助線評量重點：理解圖形面積公式的應用參考解法:作補助線評量重點：理解圖形面積公式的應用

  5. 媒體報導某校國小六年級段考題 • 已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。

  6. 作補助線如下：

  7. 國小六年級段考題 • 在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。

  8. 參考解答 • 設圓的半徑為 ,則正方形的面積是 。 • 所以圓的面積為

  9. 如果有一份數學科測驗題目，述明命題理念、評量範圍、評量時間、能力指標，甚至於自編雙向細目表、難易度，是否足夠評斷一份優良試題？如果有一份數學科測驗題目，述明命題理念、評量範圍、評量時間、能力指標，甚至於自編雙向細目表、難易度，是否足夠評斷一份優良試題？

  10. 評判一份優良試題 除上述必要資料外，尚須做到： • 雙向細目表的安排是否具有專家效度？ • 是否作試題分析？

  11. 測驗的概念 • 測驗的概念始於測量， • 目的主要是在了解個體在某一項心理特質(例如：數學能力等)上的狀況。 • 做法是設計一些能夠測量出該項特質的題目讓受試者去回答，經由受試者的答題反應來估計他在該項特質上的程度，並給予分數描述之。

  12. 測驗編製流程 • 決定測驗目標 • 建立雙向細目表 • 決定題目的評量目標 • 選擇適當題型 • 設計題目 • 題目修整與審查 • 預試 • 試題分析 • 建立題庫

  13. 一、如何決定測驗目標

  14. 題目難度與題數要依測驗目的作適當的分布 1.在題數有限的條件下，為了降低測量的誤差，題目的難度就必須依據測驗的目的作適當的分布。 2.如果測驗的目的是要篩選資優生，則高難度的題目數量就要增加，如此才能增加高能力受試者的測量精確度。 3.如果測驗的目的是要對廣大的母群體作測量，則題目難度應該分布廣泛些，並且可以稍微多一些中等難度的題目。

  15. + + + + + + + + - - - 容易的題目 　　困難的題目 • 上圖表示良好測量的受試者反應模式 (+表示答對，-表示答錯)

  16. 無法了解受試者能力 • - + - - - + - + + - + 容易的題目 　　 困難的題目 • 上圖表示測量失敗的受試者反應模式(+表示答對，-表示答錯)

  17. 受試者的反應也應當是可以被預測的 • 如果受試者能夠答對高難度的題目(或對較高程度的題目回答出正向反應)，我們會預期他應該有能夠答對簡單的題目(或對低程度的題目回答出正向反應)，此時我們才能給予分數。 • 如果受試者的反應並不如預期，他答對了高難度的題目，卻反而答錯了簡單的題目，此時表示測量失敗，我們應當重新去檢討測驗題目的設計是否有問題，並去了解受試者是否有亂作答的情形。

  18. 二、如何編制雙向細目表

  19. 民國 年第 次國中基本學力測驗 *認知歷程與測驗內容皆是採用國中基本學力測驗所公布之雙向細目表 *測驗內容在基測網站有多一項「連結」內容，但其給命題老師之雙向細目表中則無。

  20. NAEP(1999)在1996年所進行的數學科評量中，將數學能力分為：NAEP(1999)在1996年所進行的數學科評量中，將數學能力分為： • 概念的瞭解 • 程序性的知識 • 解題

  21. 概念的瞭解 • 對於概念符號的正反例能加以辨識 • 能利用模型、圖形及符號來表示概念 • 辨識和應用原理原則 • 知道和應用事實與定義 • 能整合相關概念和原理原則，擴充原本的概念和原理原則 • 能辨識和應用符號表示概念 • 能詮釋概念間相關結論與關係

  22. 程序性的知識 • 正確地選擇和應用程序 • 能對程序的運用加以說明及判斷其正確性 • 擴充或修正程序，以處理問題中原有的因素

  23. 解題 • 在新的情境中能使用數學知識 • 能確認及明確地陳述問題 • 能運用策略、數據、模型及相關的數學 • 能創造與使用程序並予以發展和修正 • 能判斷解答的正確性與合理性

  24. 認知領域— 指心智方面的能力,依 Bloom (1956) 的分法,認知領域包括下列六個層次: • 記憶 • 理解 • 應用 • 分析 • 綜合 • 評鑑

  25. Bloom （2001）修正認知領域-（呈現於雙向細目表） • 記憶 • 理解 • 應用 • 分析 • 評鑑 • 創造

  26. 三、決定題目的目標 （一）題目的目標是由教學目標與學習內容結合成的具體項目，也就是雙向細目表中細格內的評量目標。 （二）每個題目都應該有它所欲評量到的目標，題目就是依據這個評量目標來設計的。如表一中細格內所示。 （三）以編製數學科的成就測驗為例，我們可以根據Bloom(1956)對認知領域能力的分類(包含知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑等)來建立教學目標橫軸；再根據數學科的學習內容(包含線性代數、幾何、機率與統計等)建立縱軸。再根據兩軸所交集成的細格來建立評量目標。

  27. 四、選擇適當題型

  28. 五、設計題目 1.選擇適合的題材與題型： 2.設計題幹(與選項)： 3.說明理念、答案與理由： 4.檢查題目是否符合命題原則：

  29. 國中數學科測驗命題原則 • 一般注意事項 1.試題的表達方式要能切合該題的評量目標。 2.試題要能清楚的表達題意。 3.每個試題只問一個問題，避免同時包含太多概 念。 4.試題的文字敘述應簡潔、明白，避免出現跟答案無關的內容。 5.標點符號的使用要準確。 6.試題的文字敘述應加以變化，避免直接抄襲課文。 7.試題宜與學生的生活經驗相結合。

  30. 題幹與選項的設計原則 1.題幹與選項的文法要一致，邏輯上要能連貫。 2.題幹或選項中，應避免出現可能暗示正確答案的線索。 3.題幹應儘量用正面的敘述，避免使用否定句。若用否定句時，請在否定字眼下加註雙底線。 4.題幹的敘述應保持完整，避免被選項分割成兩個部份或段落。 5.各選項中重複出現的文字請放在題幹內。 6.每個選項應使用相似的表達方式。

  31. 7.選項中只有一個最佳或正確答案。 8.錯誤選項應具有誘答力。 9.錯誤選項要能有充分的理由，足以說明其不正確。 10.應儘量避免「以上皆是」或「以上皆非」的選項。 11.選項應相互獨立，彼此之間沒有邏輯上的關聯(相互依賴、相反)。 12.選項中應避免出現絕對性的字眼。

  32. 公平性 1.試題中應避免歧視性別或種族的字眼。 2.試題中的訊息不宜是某些群體(種族、性別、居住地區)所特別熟悉。 3.考生答對試題的機會，不應受到該題學力指標以外的因素所影響。

  33. 原創性 1.試題不應在課本、參考書或補習班講義中出現過。 2.試題不應在任何考試中出現過(包括歷屆聯考、推薦甄試、學校考試或其他大型考試)。

  34. 六、題目修整與審查 • 由於一個人所能顧及到的層面有限，許多重要的測驗通常會有修題與審題者。主要是邀請在該學科上比較有經驗的專家以及測驗專家來擔任，用不同的觀點來檢查與修飾題目，讓題目的評量功能能夠更完善。 • 修(審)題通常會從「題目是否符合命題原則」、「題目會不會對不同族群或不同地區者造成不公平的現象」，以及「題目的格式是否有統一」…等幾個層面來考量。

  35. 七、預試 （一）當題目設計出來後，即使經過了「質」的修飾，也難免還會有些疏漏之處。因此需要實地去進行試測，蒐集試題在統計方面的特性，並以此來篩選或進一步修改不恰當的試題。 （二）預試的過程是在目標群體中抽樣，選取一些具有代表性的樣本，然後使用試題對這些樣本進行施測，再用蒐集回來的受試者反應資料進行試題分析。 （三）為了考慮到測驗的公平性，整個預試過程應該要對試題作完善的保密措施，避免非受試樣本以外的任何人接觸到試題。

  36. 八、試題分析 • 試題分析編製測驗的一項重要步驟，它是試題篩選與修改的重要指標。 • 一般可分為: (1)古典測驗理論的試題特徵分析 (2)試題反應理論(Item Response Theory)的試題特徵分析。

  37. 古典測驗理論的試題特徵分析 • 包括試題的答對率(P)、鑑別度、各個選項的誘答力，以及測驗的整體信度等。

  38. 試題反應理論的試題特徵分析 • 包含試題的鑑別度(a參數)、難度(b參數)、猜對率(c參數)、以及整體測驗的訊息量等。

  39. 試題質的分析 一、每道試題是否均能測量到雙向細目表中的每一項重要學習結果？ 二、試題的類型是否適合於所要測量的學習結果？ 三、試題的敘述是否明確，是否遺漏了重要的條件？ 四、應使用簡單且清晰的用語來陳述。 五、試題應避免提供額外之線索。 六、試題是否難易適中？ 七、每道試題是否彼此獨立、未採用連鎖題？ 八、測驗所包括的試題，是否能夠涵蓋整個雙向細目表的內容？

  40. 試題量的分析

  41. 試題分析的方法 • 難度與鑑別度 測驗實施完畢並評定答案的總分後，即可進行試題的難度鑑別度之分析。分析步驟依下列方式進行：

  42. 試題分析的方法 1.依據試卷總分的高低依序排列； 2.從最高分部份向下取總人數的27%為高分組，再從最低分部份向上取總人數的27%為低分組。亦可以前50%和後50%來區分高分組、低分組； 3.分別計算高分組及低分組在每一道試題的答對人數與百分比； 4.根據下列公式來計算每題的難度指數；

  43. 難度分析的主要目的在確認每題的難度，最簡單的分析方式是計算全體受試者每題答對人數的百分比，其公式為：難度分析的主要目的在確認每題的難度，最簡單的分析方式是計算全體受試者每題答對人數的百分比，其公式為： 難度指數，其中 表示答對的人數， 表示總人數。 測驗的全部試題宜接近0.50的平均難度。

  44. 試題難易度等級表

  45. 難易度的另一公式

  46. 檢查每題所列選項的答題人數，已確認誘答度

  47. 鑑別度 • 根據下列公式來計算每題的鑑別度指數； 鑑別度指數值介於-1.00到1.00 之間，指數愈高，表示鑑別度愈大； 指數愈低，表示鑑別度愈小。 鑑別指數 試題評鑑 0.40 以上 非常優良 0.30-0.39 優良，但可能需修改 0.20-0.29 尚可，但通常需修改 0.19 以下 劣，需淘汰或修改

  48. 測驗的要素:要成為一份良好的測驗，必須具備測驗的幾個要素。測驗的要素:要成為一份良好的測驗，必須具備測驗的幾個要素。 • 信度 • 效度 • 常模 • 實用性

  49. 信度與效度分析

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