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第六章 树和二叉树

第六章 树和二叉树. 树是一类重要的非线性数据结构，以分支关系描述数据元素之间的层次结构 6.1 树 定义 定义：树 (tree) 是 n(n>0) 个结点的有限集合 T ， 其中： 有且仅有一个特殊的结点，称为树的 根结点 (root) 当 n>1 时，除根结点之外的其余结点可分为 m(m>0) 个 互不相交 的有限集合 T 1 ,T 2 ,……T m ， 其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的 子树 ( subtree) 特点： 树中至少有一个结点 —— 根结点 树中各子树是互不相交的集合. 只有根结点的树. A. A. 带有子树的树. B. C.

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第六章 树和二叉树

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  1. 第六章 树和二叉树 树是一类重要的非线性数据结构，以分支关系描述数据元素之间的层次结构 • 6.1 树 • 定义 • 定义：树(tree)是n(n>0)个结点的有限集合T，其中： • 有且仅有一个特殊的结点，称为树的根结点(root) • 当n>1时，除根结点之外的其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集合T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) • 特点： • 树中至少有一个结点——根结点 • 树中各子树是互不相交的集合

  2. 只有根结点的树 A A 带有子树的树 B C D E F G H I J K L M T={A} T={A,B,C,D,…M} 根 T2={C,G} T3={D,H,I.J.M} 子树 T1={B,E,F,K,L}

  3. 树的特点： 1.树的根结点没有前驱结点，除根之外的所有结点都有且只有一个前驱结点； 2.树中所有的结点可以有0个或多个后继结点。 下图所示结构均不是树结构： A A A C B C B D B C D E F D E F E F

  4. 基本术语 • 结点(node)——表示树中的数据元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 • 结点的度(degree)——结点拥有的子树个数 • 树的度——树中所有结点的度的最大值 • 叶子(leaf)结点——度为0的结点 • 分支结点——除叶子结点外的所有结点 • 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 • 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~ • 兄弟(sibling)——具有同一双亲的孩子结点 • 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… • 深度(depth)——树中结点的最大层次数 • 有序树——树中各结点的子树按照从左到右的次序安排 • 无序树——与上一情况相反 • 森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合

  5. A B C D E F G H I J K L M 结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0 叶子：K，L，F，G，M，I，J 结点I的双亲：D 结点L的双亲：E 结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F 结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟 树的度：3 树的深度：4 A,D,H是M的祖先 I是A,D的子孙 结点A的层次：1 结点M的层次：4

  6. A A A A B B B C 只有根结点 的二叉树 左、右子树 均非空 空二叉树 右子树为空 左子树为空 • 6.2 二叉树 • 定义 • 定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 • 特点 • 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) • 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 • 基本形态

  7. 证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有　　 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2  第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即　 故命题得证 • 性质2：深度为k的二叉树至多有 个结点(k1) 证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是 • 二叉树性质 • 性质1：

  8. 性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点发出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1

  9. 特点：每一层上的结点数都是最大结点数 • 完全二叉树 • 定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~ • 特点 • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 • 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1 • 几种特殊形式的二叉树 • 满二叉树 • 定义：

  10. 1 2 3 1 4 5 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 2 3 2 3 4 5 6 7 6 4 5 8 9 10 11 12

  11. 性质4 • 证明：设所求完全二叉树的深度为k，由完全二叉树定 义及性质2可得：2k-1-1<n≤2k-1或2k-1≤n<2k 取对数后有：k-1≤log2n<k，即log2n<k≤log2n+1 又k必为整数， k=log2n+1

  12. 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2 (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1

  13. a b c d e f g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a b c d e 0 0 0 0 f g • 二叉树的存储结构 • 顺序存储结构 • 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 • 特点： • 结点间关系蕴含在其存储位置中 • 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树

  14. lchild data rchild A B G A F C D E B C D E F G typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild; }JD; • 链式存储结构 • 二叉链表 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域

  15. lchild data parent rchild C G A B F D E A B C D E F G • 三叉链表 typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild, *parent; }JD; ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

  16. D L R LDR、LRD、DLR RDL、RLD、DRL • 6.3遍历二叉树和线索二叉树 • 6.3.1遍历二叉树 遍历：按照一定次序访问树中的所有结点，且每个结点仅被访问一次的过程 方法： • 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树 • 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树 • 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点 • 按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点

  17. A C B D A D L R D L R > > > B C D L R > > D 先序遍历: D L R 若二叉树为空，遍历结束。否则 （1）访问根结点； （2）先序遍历根结点的左子树； （3）先序遍历根结点的右子树。 先序遍历序列：A B D C

  18. A B C 左是空返回 左是空返回 > 右是空返回 T D T 左是空返回 B T D 右是空返回 T printf(B); > A T printf(D); 主程序 pre(T L); printf(A); pre(T L); pre(T R); pre(T L); > pre(T R); T Pre( T ) pre(T R); T C > T printf(C); pre(T L); > pre(T R); T void preorder(BiTree T,status(*visit)()) { if(T==NULL) return; else visit(T->data); if(T->lchild!=NULL) preorder(T->lchild,visit); if(T->rchild!=NULL) preorder(T->rchild,visit); } A B C D 返回 返回 返回 返回 先序序列：A B D C 返回

  19. A C B D B L D R L D R > > > A C L D R > > D 中序遍历: L D R 若二叉树为空，遍历结束。否则 （1）中序遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历根结点的右子树。 中序遍历序列：B D A C

  20. 递归算法： void Inorder(BiTree T,status(*visit)()) { if(T==NULL) return; if(T->lchild!=NULL) Inorder(T->lchild,visit); visit(T->data); if(T->rchild!=NULL) Inorder(T->rchild,visit); } 非递归算法： 思想：借助栈结构，以保存结点指针。 从二叉树的根结点开始，令指针p指向根结点。若p所指结点不为空，则令p沿其所指左链前进，在前进过程中，把历经的结点指针逐个压入栈中，当p所指结点为空时，弹出栈顶元素送给p，并访问该结点，再令p指向它当前所指结点的左孩子，重复上述过程。当p为空且栈也为空时，遍历结束。

  21. p p p p P->A P->B P->A (2) A A A A (1) B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P->C P->C G G G G P->B P->B P->A P->A (3) (4) 非递归算法1： P-> ∧ ∧

  22. p p p P->A (8) 访问：C B A A A A B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P->C G G G G P->B P->B P->B P = ∧ P->A P->A P->A (5) (6) (7) P-> ∧ P->C ∧ 访问C P-> ∧ P->B

  23. p P->D P->A (9) 访问：C B A A A A B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P->E P->E P->D P->D P->D G G G G P->A P->A P->A p p p 访问：C B 访问：C B 访问：C B E (11) (12) (10) P-> ∧ P->E =∧

  24. P->G P->D P->D P->D P->A P->A P->A 访问：C B E (14) (15) (16) 访问：C B E G 访问：C B E G P=∧ A A A A p =∧ p B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P->D G G G G P->A p 访问：C B E (13) P->∧ P->G P ->∧ P->G

  25. p p p P->A p (20) 访问：C B E G D F A A A A B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P->F P->F G G G G P->A P->A P->A 访问：C B E G D 访问：C B E G D 访问：C B E G D (19) (18) (17) P->D =∧ P->∧ P->F

  26. p P->A p=∧ (21) 访问：C B E G D F A (22) 访问：C B E G D F A A A p=∧ B B B C C C D D D E E E F F F G G G (23) 访问：C B E G D F A P->∧ P->A P->∧

  27. p p p i i P->A P->B P->A (2) A A A A (1) B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F P->C i G G G G P->B P->B p=NULL P->A P->A (3) 访问：C (4) • 非递归算法2

  28. p p i i P->D P->A P->A (5) 访问：C B (6) 访问：C B A A A A B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F i P->E P->D P->D G G G G P->A P->A p p 访问：C B E 访问：C B (8) (7)

  29. p p i P->G i P->D P->D P->A P->A 访问：C B E (9) (10) 访问：C B E G P=NULL A A A A p B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F P->F i G G G G P->A P->A 访问：C B E G D 访问：C B E G D (12) (11)

  30. p i i P->A p=NULL (13) 访问：C B E G D F A (14) 访问：C B E G D F A A A p=NULL B B B C C C D D D E E E F F F G G G i (15) 访问：C B E G D F A

  31. A C B D L R D L R D B L R D > > > A C > > D 后序遍历: L R D 若二叉树为空，遍历结束。否则 （1）后序遍历根结点的左子树； （2）后序遍历根结点的右子树； （3）访问根结点。 后序遍历序列： D B C A

  32. - + / a * f e b - c d - + a * b - c d / e f 先序遍历： a + b * c - d - e / f 中序遍历： a b c d - * + e f / - 后序遍历： 层次遍历： - + / a * e f b - c d

  33. A B C D E F G • 遍历算法应用 • 按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为： A B C   D E  G   F    T Status CreateBiTree(BiTree &T) { scanf(&ch); if(ch==‘’)T=NULL; else{ if(!(T=(BiTNode*)malloc())) exit(OVERFLOW); T->data=ch; CreateBiTree(T->lchild); CreateBiTree(T->rchild); } return OK; } A ∧ B D ∧ ∧ C ∧ ∧ ∧ F E ∧ G ∧

  34. 6.3.2线索二叉树 • 定义： • 前驱与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为~ • 线索：指向前驱或后继结点的指针称为~ • 线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫~ • 线索化：对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫~ • 实现 • 在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域 • 在线索二叉树的结点中增加两个标志域 • ltag :若 ltag =0, lchild 域指向左孩子；若 ltag=1, lchild域指向其前驱 • rtag :若 rtag =0, rchild 域指向右孩子；若 rtag=1, rchild域指向其后继 • 结点定义： lc lt data rt rc typedef struct BiThrNode { TElemType data; int ltag, rtag; struct BiThrNode *lchild, *rchild; } BiThrNode, *BiThrNode;

  35. T A B B D C E 先序序列：ABCDE 先序线索二叉树 A D C E 0 0 1 0 1 0 1 ^ 1 1 1

  36. T A B B D C E 中序序列：BCAED 中序线索二叉树 A D C E 0 0 1 0 1 0 ^ ^ 1 1 1 1

  37. T A B B D C E 后序序列：CBEDA 后序线索二叉树 A D C E 0 0 1 0 1 0 1 ^ 1 1 1

  38. T A 0 0 B B D T 1 0 1 0 ^ ^ C E 中序序列：BCAED 中序线索二叉树 1 1 1 1 0 D 1 0 A 0 D 01 1 C 1 1 E 1 E C A 1 B 0 中序序列：BCAED 带头结点的中序线索二叉树 头结点： ltag=0, lchild指向根结点 rtag=1, rchild指向遍历序列中最后一个结点 遍历序列中第一个结点的lchild域和最后 一个结点的rchild域都指向头结点

  39. bt A pr t B B D i ^ ^ C E p P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 0 0 0 0 0 0 0 0 E D A 01 C • 算法 • 按中序线索化二叉树

  40. bt A pr t B B D ^ ^ C E p P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 0 0 0 0 i P->B 0 0 0 0 E C D A 01 • 算法 • 按中序线索化二叉树

  41. bt A pr t B B D ^ ^ C E P=NULL P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 0 0 0 0 i P->B 0 0 0 0 E C D A 01 • 算法 • 按中序线索化二叉树

  42. bt A pr t B B D ^ ^ C E P P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 0 0 0 0 0 0 0 0 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i 1 输出:B

  43. bt A pr t B B D ^ C E P P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 1 0 0 0 0 0 0 0 A D 01 E C • 算法 • 按中序线索化二叉树 i P->C 输出:B

  44. bt A pr t B B D ^ C E P=NULL P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 1 0 0 0 0 0 0 0 A D 01 E C • 算法 • 按中序线索化二叉树 i P->C 输出:B

  45. bt A pr t B B D ^ C E P P->A 0 0 ^ ^ ^ ^ 1 0 0 0 0 0 0 0 A D 01 E C • 算法 • 按中序线索化二叉树 i 1 输出: B C

  46. bt A pr t B B D ^ C E P=NULL P->A 0 0 ^ ^ ^ 1 0 0 0 0 1 0 0 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i 输出: B C

  47. bt A pr t B B D ^ C E P 0 0 ^ ^ ^ 1 0 0 0 0 1 0 0 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i 1 输出: B C A

  48. bt A t B B D ^ C E pr P 0 0 ^ ^ 1 0 0 0 0 1 0 1 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i P->D 输出: B C A

  49. bt A t B B D ^ C E pr P 0 0 ^ ^ 1 0 0 0 0 1 0 1 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i P->E P->D 输出: B C A

  50. bt A t B B D ^ C E pr P=NULL 0 0 ^ ^ 1 0 0 0 0 1 0 1 01 E C D A • 算法 • 按中序线索化二叉树 i P->E P->D 输出: B C A

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