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弯曲应力

对称弯曲的概念及梁的计算简图. 弯曲应力. 一 , 关于弯曲的概念. 受力特点：. 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受 垂直于轴线 的横向外力或外力偶作用。. 变形特点：. 直杆的轴线在变形后变为曲线。. 梁 —— 以 弯曲 为主要变形的杆件称为梁。. 纵向对称面. 对称弯曲 —— 外力作用于梁的 纵向对称面 内，因而变形后梁的轴线 ( 挠曲线 ) 是在该纵对称面内的平面曲线。. 弯曲应力. 对称轴. 变形后梁的轴线 ( 挠曲线 ) 与外力在同一平面.

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Presentation Transcript

  1. 对称弯曲的概念及梁的计算简图 弯曲应力 一, 关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

  2. 纵向对称面 对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 弯曲应力 对称轴 变形后梁的轴线(挠曲线)与外力在同一平面 非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。

  3. 二. 梁的计算简图 弯曲应力 (1) 支座的基本形式 (a) 1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b 。

  4. 弯曲应力 2. 固定铰支座——实例如 图中左边的支座，计算 简图如图b，e。 3.可动铰支座——实例 如图a中右边的支座， 计算简图如图c，f。

  5. (2) 梁的基本形式 弯曲应力 悬臂梁 简支梁 伸臂梁

  6. 梁的剪力和弯矩 弯曲应力 一, 梁的剪力和弯矩 简支梁其约束力为 梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m 左边分离体的平衡条件可知：

  7. 弯曲应力 它们的指向和转向如图中所示。显然这些内力是 m－m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边梁段的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加以检验：

  8. 弯曲应力

  9. 弯曲应力 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力。 梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。

  10. (+) (-) 弯曲应力 受拉 (-) (+) 受拉 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。

  11. 综上所述可知： 弯曲应力 (1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力。 即左上右下剪为正。 (2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 左顺右逆弯为正

  12. The End

  13. 弯曲应力 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。 显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。

  14. 例题:图所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。例题:图所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 弯曲应力 解：1.列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。 FS(x)

  15. 弯曲应力 FS(x) 距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有

  16. 2. 作剪力图和弯矩图 弯曲应力 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图b。弯矩图c。 剪力图中正值的剪力值绘于x 轴上方， 弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的一侧 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x 轴的下方

  17. 弯曲应力 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为 最大弯矩(按绝对值)其值为 它们都发生在固定端右侧横截面上。

  18. (a) 例题:图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 弯曲应力 解：1. 求约束力

  19. 2. 列剪力方程和弯矩方程 弯曲应力

  20. 此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 3. 作剪力图和弯矩图 弯曲应力 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上； 最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。

  21. 弯曲应力 例题:图所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束力

  22. FS(x) 2.列剪力方程和弯矩方程 弯曲应力 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。 AC段梁

  23. FS(x) F x 弯曲应力 CB段梁

  24. 3.作剪力图和弯矩图 弯曲应力 由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大； 集中荷载作用处 x=a横截面上的弯矩值最大。

  25. q A C B x (a) l/2 l/2 可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。 例:简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 弯曲应力 解：1. 求支座约束力

  26. q A C B x l/2 l/2 弯曲应力 2. 建立剪力方程和弯矩方程 AC段： CB段：

  27. A C B x l/2 l/2 q 3．求控制截面内力，绘FS , M图 弯曲应力 FS图： AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可 CB段内 剪力方程为常数， 求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。

  28. A C B x l/2 l/2 q 1 ql2 9 ql2 16 128 M图： 弯曲应力 AC段内 弯矩方程是x的二次函数，弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。 需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。

  29. A C B x l/2 l/2 q 1 ql2 9 ql2 16 128 CB段内 弯曲应力 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，连直线 我们可以发现，对于该梁来说有

  30. The End

  31. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 弯曲应力 从图所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。

  32. 由梁的微段的平衡方程 从而得： 略去二阶无穷小项 ，即得 弯曲应力

  33. 由以上两个微分关系式又可得 弯曲应力 应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。

  34. 常见荷载下 FS，M图的一些特征 弯曲应力

  35. 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 弯曲应力 集中力作用处 集中力偶作用处

  36. 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： 弯曲应力 (1) 求支座约束力； (2) 分段计算控制截面内力； (3) 根据微分关系确定剪力图和弯矩图的形状; 绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max。

  37. F (a) F (c) (b) 按叠加原理作弯矩图 弯曲应力 = +

  38. (a) 弯曲应力 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为

  39. (a) (b) (c) 弯曲应力 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。

  40. (2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。(2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。 弯曲应力

  41. (a) (c) (b) (3) 示例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F 和满布均布荷载q 作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。 弯曲应力 F=ql/4

  42. F (a) F F ﹢ ○ - ○ ○ ﹢ ○ - F=ql/4 ○ - - ○ ﹢ ○ ﹢ ○ (c) (b) 弯曲应力

  43. q q MA MB A B MA MB A B A B MB MA 分段叠加法作弯矩图 弯曲应力 分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。 + =

  44. 步骤： 弯曲应力 1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在 各控制截面间连以直线——基线。 控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷 载的起点和终点以及梁的左、右端支座 截面等。 2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该 杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M 图。

  45. 16kN.m 8kN 4kN/m F B D E A C 1m 1m 4m 1m 1m FyA=17kN FyF=7kN 例题：作图示单跨梁的M、 图。 弯曲应力 解： 1）求支座反力

  46. 8kN MC A C 1m 1m FQCA 17kN MD 16kN.m D F 2m FQDF 7kN 2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。 弯曲应力 已知MA＝0，MF＝0。 取右图AC段为隔离体： 取右图DF段为隔离体：

  47. A D C B F E 26 30 3)作M图 弯曲应力 将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。 7 17 23 4)作 图 M图（kN·m） 17 9 F D E B C A 7 图（kN） 7

  48. 小结： 弯曲应力 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加， 而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画 图，注意荷载与内力之间 的微分关系。

  49. The End

  50. M M 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件 弯曲应力 纯弯曲(pure bending) ━━ 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。

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