第五章极限定理

第五章极限定理 一、大数定律二、中心极限定理下页

阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一 系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。本章概述下页

§5.1 大数定律 一、切比雪夫不等式 1. 对于任何具有有限方差的随机变量 X，都有 (ε是任一正数) 证明：(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x)，则下页

一、切比雪夫不等式 ①切比雪夫不等式等价形式 ②切比雪夫不等式的作用 ⒈ 证明大数定律；⒉ 估计事件的概率. 事件发生的概率．例1．估计解: 下页

例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计 A发生 400～600 次之间的概率. 解：因 X～B(1000 , 0.5)，E(X)=500，D(X)=250, 所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }. P{ | X-500 | < 100 } 下页

例3.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率例3.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7, 假定灯的开、关是相互立的, 使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率. 解 :令 X表示在夜晚同时开着的灯数目, 则X服从二项分布 , 其中 n=10000 , p=0.7 . 易知 E(X)=np=7000, D(X)=npq =2100 ，由切比雪夫不等式可得下页

二、大数定律 定理1 (切比雪夫大数定律) 如果X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi)和有限的方差 D(Xi),且方差有公共的上界，即则对于任意ε>0，有意即，随机变量的算术平均值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近. 或，对于任意ε>0，当n充分大时，不等式依概率1成立. 下页

证: 因为X1,X2,…,Xn相互独立，所以又因由切比雪夫不等式可得所以，切比雪夫大数定律表明, 相互独立的随机变量的算术平均值, 与其数学期望的差, 在n充分大时以概率1是一个无穷小量. 随机变量的算术平均值将比较紧密这意味着在n充分大时，地聚集在它的数学期望附近. 下页

推论设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布，且有 E(Xk) =m，D(Xk) =s 2， k =1,2,… 则当n→∞时，对任意ε>0，有说明： ① 在不变的条件下, 重复测量n次所得到的n个观察值, x1,x2, …, xn, 可看作服从同一分布的n个相互独立的随机变量 X1,X2,…,Xn的试验值. ② n充分大时， x1,x2, …, xn的算术平均值与真值的误差依概率1任意小. 下页

定理2 (贝努里大数定律)设n重贝努里试验中事件A发生nA 次, 每次试验事件A发生的概率p，则对任意ε>0 , 有证明: 直接可由推论得出(略). 这就是以频率定义概率的合理性依据. 定义(依概率收敛)设是一个互相独立的 a是一个常数，若对于任意正数 ，有随机变量序列，依概率(或依概率1)收敛于a . 则称序列下页

§5.2 中心极限定理 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？下页

§5.2 中心极限定理 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限. 下页

§5.2 中心极限定理 考虑的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 下页

定理3（独立同分布中心极限定理）设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差：定理3（独立同分布中心极限定理）设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差： E(Xk) =μ，D(Xk) =σ2，k = 1,2,… 则随机变量的分布函数Fn(x)满足：对任意的x，有下页

（1）当n很大时， （2）当n很大时，（3）不论Xi具有怎样的分布，只要满足条件，当n很大时，其和就近似地服从正态分布。说明（4）一般地， X1，X2，…，Xn不同分布，有李普雅诺夫（Liapunov）中心极限定理阐述。下页

例1．设随机变量X1,X2,…,X20相互独立，都服从U(0,1)均匀例1．设随机变量X1,X2,…,X20相互独立，都服从U(0,1)均匀分布, 令Y20 = X1+X2+…+X20，求P{Y20≤9.1}. 解：依题意知, X1,X2,…,X20相互独立, 且E(Xi)=1/2, n=20较大，由同分布中心极限定理得 D(Xi)=1/12， i=1,2,…,20， P{Y20≤9.1} P{Y20≤9.1} = P{Y20－10≤9.1－10} 下页

即若hn～B(n,p),则 [hn－E(hn)]/ ～N(0,1) ! 定理4 (棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理) 设随机变量 hn服从参数为n , p的二项分布 (n=1,2,…, 0<p<1),则对于任意实数 x恒有证:由于服从二项分布的随机变量和hn可看作n个相互独立的都服从参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即即若hn～B(n,p),则 hn～N(np,npq) ! 由独立同分布中心极限定理可得下页

定理4 (棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理) 设随机变量 hn服从参数为n , p的二项分布 (n=1,2,…, 0<p<1),则对于任意实数 x恒有说明: 1. 服从二项分布的随机变量hn可看作n个相互独立的都服从参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和. 2. 定理4的实质是: 当较大时, 服从于二项分布的随机变量近似服从正态分布. 由独立同分布中心极限定理可得 3. 定理4的作用是: 二项分布的第二种近似计算方法:用正态分布进行. 下页

例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则 X~B(6000, 1/6), np=6000×(1/6)=1000, npq=6000×(1/6)×(5/6). n=6000较大，由同分布中心极限定理得 X~N(np, npq) 所求概率为下页

例3.在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10例3.在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10 个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？解:设应抽查n件产品, 其中次品数为Y，则 Y~B(n, 0.1), E(Y) = 0.1×n, D(Y) =0.1×0.9×n, 所求概率为P{10≤Y≤n}或 P{10≤Y}. (因为 P{Y≤n}=1) 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得 X~N(np, npq) 得要使只须即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．下页

例4.设某集成电路出厂时一级品率为0.7，若装配一台仪器例4.设某集成电路出厂时一级品率为0.7，若装配一台仪器需要100只这样的一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9% 的概率保证装该仪器够用(不能因一级品不够而影响工作)？解:设应购置 n只, 其中一级品数为X，则 X~B(n, 0.7), E(X) = 0.7n, D(X) =0.21n , 所求概率为 P{100≤X≤n} 或 P{100≤X}. 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得 X~N(0.7n, 0.21n) 计算得查表得即购置170只，才能… …(略). 下页

例5.某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．例5.某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．解：设X表示500 辆的士中出事故的车辆数，则X～B(500,0.006) 其中np=3, npq=2.982,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为 {500×800≥ 500×800-50000X ≥ 200000 }, 即事件{0≤X≤4} 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得 X~N(3, 2.982) 可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781. 下页

作业：106页1, 2, 3, 6, 7要求：请认真研读教材P102-105内容. 结束

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