2.5 从力做功到向量的数量积　　　

2.5从力做功到向量的数量积　　　内乡职专李海品 2011年5月

F F θ θ S O A 位移S 一.力做功的计算如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。

已知两个非零向量a、b， =a， = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作<a ，b>. 并规定0≤ <a ，b> ≤π OB OA B b a O A 二.两个向量的夹角

（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉； （3）范围0≤〈a ，b〉≤π；〈a ，b〉= 90°时，a ⊥b. （4）〈a ，b〉=0时, a、b同向； B b 〈a ，b〉=π时，a、b反向； B O A a a B O A b b B b a O A a O A 几点说明（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.

三.向量的数量积（内积） 定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b . 即 a·b =

1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影的数量|b|cos的乘积.1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影的数量|b|cos的乘积. 数量积的几何意义

2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。 B b B B b A O a b A O a A O a 3.规定零向量与任意向量的数量积为0 θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 4. a · b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．

设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量. 1. ea = ae =|a|cos; 3. aa = |a|2或 2. abab = 0 4. cos = ； 5.|ab| ≤ |a|.|b| . 两个向量的数量积的性质：内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义 两个向量的数量积就是功，即力与其方向上的位移的数量积F·S.

已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的射影的数量及b在a方向上的射影的数量。分析：因为所以a在b方向上的射影的数量是 b在a方向上的射影的数量是自我检测 (1)

如图，边长为2的等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。 C 通过平移变成共起点！ B A 自我检测2

1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0. 2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0. 3.若a≠0,且a · b=0,则b=0. 4.若a·b=0，则a=0或b=0. 5.对任意的向量a，有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c. 探究1 下列命题正确的是__________

已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b ①a∥b时， a·b =±18； ②a⊥b时，a·b=0； ③ a与b的夹角是60°时，a·b=9. 探究2 答案

的夹角为 探究3 、变式１：求变式２：当且仅当k为何值时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　垂直

a·b= (2).aa = |a|2或 (1). abab = 0 范围0≤〈a ，b〉≤π； (3). cos = 课堂小结 1.两个向量的夹角 2.向量a在b方向上的射影是|a |cos 〈a，b〉向量b在a方向上的射影是|b|cos 〈a ，b〉 3.向量的数量积（内积） 4.两个向量的数量积的性质：

2.5 从力做功到向量的数量积