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第二章 插值与逼近

§1 多项式插值问题 §2 lagrange 插值多项式 §3 差商及 Newton 插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条（ Spline ）插值多项式 §6 最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法. 第二章 插值与逼近. 用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域 , 但在实际问题中 , 往往是通过实验、观测以及计算等方法 , 获得函数在 一些点上 的函数值。如何通过这些离散数据找出函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式 , 是经常遇到的问题。 例如：.

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第二章 插值与逼近

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  1. §1 多项式插值问题 §2 lagrange插值多项式 §3 差商及Newton插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条（Spline）插值多项式 §6 最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法 第二章 插值与逼近

  2. 用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域,但在实际问题中,往往是通过实验、观测以及计算等方法,获得函数在一些点上的函数值。如何通过这些离散数据找出函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如：用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域,但在实际问题中,往往是通过实验、观测以及计算等方法,获得函数在一些点上的函数值。如何通过这些离散数据找出函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如： 在一天24小时内，从零点开始每隔2小时测得环境温度数据分别为(℃): 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13 试推测中午1点（即13点）时的温度。(liner01.m) 本章主要讨论利用插值方法和逼近方法寻求函数的近似问题。

  3. 设函数 在区间 连续, 给定 个点 (2.1) 已知 ,在函数类中寻找一函数 作为 的近似表达式,使满足 (2.2) 这时称 为被插值函数, 称为插值函数, 称为插值节点,式(2.2)称为插值条件,寻求插值函数 的方法称为插值方法. §1 多项式插值问题 一、插值问题

  4. 多项式插值，从几何角度看，就是寻求 次代数曲线 通过个 点 作为 的近似(如下图). 二、多项式插值问题 在构造插值函数时，函数类的不同选取，对应各种不同的插值方法，这里我们主要研究函数类 是代数多项式,，即所谓的多项式插值问题。

  5. (2.3) 得到关于系数 的线性方程组 (2.4) 用 表示所有次数不超过n的多项式函数类，若 ，则 是由n+1个系数唯一确定的。当满足如下的插值条件时

  6. 只要 就有 ,因而 ,于是方程组(2.4)有唯一解,也就是说,当节点不重合时, 个节点的插值条件能唯一确定一个n次插值多项式,从而有: 定理2.1：给定 个互异节点 上的函数值 ,则满足插值条件(2.3)的 次插值多项式 存在且唯一。 其系数行列式为Vandermonde(范德蒙)行列式

  7. 只要求解方程组(2.4)便可确定插值多项式 ,但相对来讲计算较复杂，然而，插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法获得满足插值条件的多项式都是同一个多项式 ，因此可以采用其它更简便的方法来确定多项式。下面就介绍几种常用的方法： 1. 拉格朗日插值多项式 2. 牛顿插值多项式 3. 分段插值多项式：分段线性和分段埃尔米特插值 4. 三次样条插值多项式

  8. 已知 在 个点 的函数值 使得 构造n次多项式 从而得到 的近似计算式 §2 Lagrange插值多项式

  9. 求解 使得 已知 如果令 则称 为一次插值多项式的基函数。这时： 一、线性插值（n=1） 根据点斜式得到 并称其为一次Lagrange插值多项式。

  10. 已知 求解 使得 并由插值条件 得到 二、抛物线插值（n=2） 关于二次多项式的构造采用如下方法：令

  11. 如果令 则有 这时： 于是得到 …………………紧凑格式 并称其为二次Lagrange 插值多项式。

  12. 而且 于是 另外，如果再引进记号 则其导数为

  13. …………………紧凑格式 …………………基函数表示 ………………… 表示式 这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式 这样就得到在区间[a,b]上关于 f(x)的近似计算式 下面给出n次拉格朗日插值多项式的构造。

  14. …………………紧凑格式 …………………基函数表示 三、n次Lagrange插值多项式 已知n+1组离散数据 按照二次Lagrange插值多项式的构造方法，容易得到： 其中基函数

  15. ………………… 表示式 其中 还有一种表示式 从而就得到了在区间[a,b]上的关于函数 f(x) 的n次多项式近似计算式： 关于这样的近似计算，需要在计算机上进行，一般我们 利用紧凑格式设计程序，程序的流程图如下：

  16. 开 始 输入 y=0，j=0 t=1 N j=n ? j=j+1 Y 输出 y 结 束

  17. 定理2.2：设 在(a,b)内存在， 是[a,b]重的n+1个互异节点，则当 时，n次Lagrange插值多项式的截断误差为： (2.5) 证明：令 x是[a,b]中任意固定的数，如果 x 是插值节点 ， 则(2.5)左右两端均为零，等式(2.5)成立。 如果x不是节点 ，作辅助函数如下： 四、插值余项（误差估计）

  18. 其中 可以检验 同理可得 而且 可知 在区间[a,b]内有n+2个零点， 由 Rolle 定理可知， 的导函数 在(a,b)内有n+1个零点： 再利用 Rolle 中值定理可知 在(a,b)内有 n 个零点。 以此类推，可知 在(a,b)内至少有 1 个零点：

  19. 即 而根据 求得 于是 从而得到误差估计式

  20. 如果 存在，则可以估计误差限： 对于误差估计式 当n=1时

  21. 这里 当 时，误差为 于是，得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计 下面，利用Lagrange 多项式进行具体近似计算。

  22. 例2.1 已知 分别用线性插值和二次插值计算 解：设 （1）.取 作线形插值 于是 关于误差，由 得到：

  23. （2）.取 作二次插值 得到 关于误差，由 得到 程序演示：lagramge.m，lag.m，temper.m

  24. 本节要点： • 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 • 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和结果 • 3. 编写Lagrange插值多项式计算程序进行实际计算 本节习题： • 习题二 p53 : 1,2,3,5,6 • 实习题二 p55: 1-2

  25. 设y=f(x)在n+1个互异点 处的函数值为： 则称 称 为f(x)关于点 的一阶差商。 为f(x)关于点 的二阶差商。 §3 差商及Newton插值多项式 Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化，需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍的Newton插值法会弥补这一不足。 一、差商及其性质 1.差商的定义

  26. 为f(x)关于点 的 k阶差商。 例如，已知f(x)在 的函数值为： 一般地，称k-1阶差商的一阶差商 可以求得

  27. 性质1：k阶差商 是由函数值 的线性组合而成，即 其中 得到 2.差商的性质 证明：以 k=2 进行证明。由

  28. 由 得到 从而

  29. 性质2：差商具有对称性，即k阶差商 中，任意调换 ，的次序，其值不变。 证明：以k=1为例 以k=2为例

  30. 性质3：若f(x)为 n次多项式，则 为关于x 的n-1 次多项式。 由于 故 类似的可以得到： 证明：已知 也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。

  31. 3.差商的计算 为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。

  32. 例 2.2 已知函数 y=f(x)的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、(5,20)、(6,70)，是求其各阶差商. 解：列差商表计算 2 5 1 8 0 1 50 21 5 1

  33. 对于区间[a,b]内的离散点 及相应的函数值 ，计算如下差商： 二、Newton插值多项式 可以求得：

  34. 依次将下式带入上式得到：

  35. 令： 因此 满足插值条件，是一个 n次插值多项式。 则可以将函数 f(x) 表示成： 容易验证

  36. 并称 为n次Newton插值多项式。 如果 则误差为： 由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。 关于Newton插值多项式，有以下几个特点：

  37. 得到 1. Newton插值多项式的误差与Lagrange插值多项式的误差相同 这是因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件 因此，由 这个表达式给出了 n+1阶差商与 n+1阶导数之间的关系式。

  38. 例2.3 已知 ，试求其如下差商 解：由差商与导数的关系式 得到

  39. 可知 2. Newton插值多项式具有递推式 由 Newton插值多项式 所以，具有递推公式： 由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。

  40. 例2.3 已知f(x)的五组数据(1.0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 。如果再增加一个节点(6,282), 求出 ，并计算 得到： 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 3 12 4 42 5 116 2 10 30 74 4 10 22 2 4 0.5 6 282 166 46 8 1 0.1 如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算插商。

  41. 得到： 由Newton公式的递推式得到： 思考题：如何实现差商表和Newton插值多项式的程序设计。 练习题：已知离散数据，(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次牛顿插值多项式，增加一点(6,70)后，再 求出四次牛顿插值多项式

  42. 本节要点： 1. 掌握差商及其性质，导数与差商的关系 2. 掌握Newton 插值多项式的构造方法及具体结构 3. 掌握Newton插值多项式的误差结果 4. 编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算 本节习题： • 习 题 二 p53 : 2-4，2-7 • 实习题二 p55: 1-2

  43. 关于离散数据： 构造了lagrange插值多项式： Newton插值多项式： 根据问题需要，还可以构造分段插值多项式。

  44. 对于 取等距节点 求出 可构造Lagrange插值多项式 §4 分段插值多项式 根据插值条件构造的插值多项式作为函数的近似，有很大局限性，插值多项式的次数随着节点个数的增高而升高，但高次插值多项式的近似效果并不理想，来看下面的例子。 4.1 高次插值的龙格现象

  45. 时，插值多项式 的计算结果见runge.m

  46. 从图中可见，在 附近 对 有较好的近似，而点 距零点越远，近似效果越差，以至于完全失真。实际上，当 时，在 范围内， 收敛于 ，而在这个区间外， 是不收敛的。这个现象被称为Runge（龙格）现象。 Runge现象表明，为减小近似误差，盲目地提高插值多项式次数是不可取的，实际上，很少采用高于7次的插值多项式。因此，只能通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的，这就是下面要讨论的低次分段插值多项式。

  47. 设 在节点 处的函数值为 4.2 分段线性插值 为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼 近原函数。

  48. 在区间 上的线性函数为 误差为： 这时的插值函数为分段函数：

  49. （2） 易见， 是平面上以点 为节 点的折线。 有如下的特点： （1） 在 上为次数不超过一次的多项式。 （3） 若 ，由线性插值的误差公式： 得到

  50. 则有： 关于整体误差： 令 可以按如下的方式考虑：

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