数学物理方法

1. 数学物理方法 复变函数论

2. 复变函数论 • 复数 • 复变函数 • 导数 • 解析函数 • 本章小结

3. 复数 • 数的扩张（完善化） • 自然数 • 减法不封闭→整数 • 除法不封闭→有理数 • 不完备√2 →实数 • 方程可解性→复数

4. 复数 • 复数的表示 • 代数表示 • z = x + iy • x = Real(z), y = Imagine(z) • 三角表示 • z = r (cosφ + i sinφ) • r = |z|, φ= Arg(z) • 指数表示 • z = r exp(iφ) • exp(iφ) = cosφ + i sinφ

5. 几何表示 关系 x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x) 特点 无序性 复数无大小 矢量性 复数有方向 复数

6. 复数 • 运算 • 加减法 • (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) • 乘除法 • r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)] • 幂和开方 • [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) • [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) • 复共轭 • z = x + iy →z* = x – iy • z = r exp(iφ) →z* = r exp(-iφ)

7. 复变函数 • 概念 • 定义 • 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 • 实变函数：f:x→y • 复变函数：f:z→w • 举例 • f(n) = fn = (1+i)n, n∈N • f(z) = zn • f(z) = exp(z) • f(z) = ln(z)

8. 复变函数 • 更多的例子 • w = az2 • w = az2 + bz +c • w = 1/(az + b) • w = √(az + b) • w = Ln(az + b) • w = sin z • w = Arccos z • w = ∑an zn • w = ∑an sin(nωz) • w = ∏(1-z2/n22) • w = ∫exp(-z2)dz

9. 复变函数

10. 复变函数 • 分析与比较 • 定义域和值域 • 相同点： • 都是数集 • 不同点： • 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； • 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 • 典型例子： • |x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； • |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。

11. 复变函数 • 映射 • 相同点 • 在形式上：y = f(x), w = f(z) • 不同点 • 在变量上：z = x+iy, w = u+iv • 在描述上： • 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； • 复变函数不能用一个图形完全表示。 • 联系 • u = u(x,y), v = v(x,y) • 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。

12. 复变函数 • 结构 • 相同点： • 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。 • 不同点： • 基本实变函数 • xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) • 基本复变函数 • zn, z1/n,exp(z),ln(z) • 原因 • cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i

13. 基本函数 二次函数 定义 w = z2 分析 u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性 复变函数

14. 复变函数 • 三次函数 • 定义 • w = z3 • 分析 • u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 • u = x3– 3xy2 , • v = 3x2y - y3 • 性质 • 对称性 • 无周期性 • 无界性 • 单值性

15. 复变函数 • 指数函数 • 定义 • w = exp(z) • 分析 • u + iv = exp(x+iy)= exp(x)[cosy +i siny] • u = exp(x) cos y , • v = exp(x) sin y • 性质 • 不对称性 • 周期性 • exp(z+2i)= exp(z) • 无界性 • 单值性

16. 复变函数 • 对数函数 • 定义 • w = Ln(z) • 分析 • u + iv = Ln [ r ×exp(iφ)]= ln r + iφ • u = ln r, • v = φ • 性质 • 对称性 • 非周期性 • 无界性 • 多值性：|φ|  

17. 复变函数 • 三角函数 • 定义 • w = sin(z) • 分析 • u + iv = sin(x+iy)= sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) • u = sin(x)ch(y) , • v = cos(x)sh(y) • 性质 • 对称性 • 周期性 • 无界性 • 单值性

18. 复变函数的导数 • 基本概念

19. 可导条件 分析 C-R条件 ux = vy vx = -uy 充要条件 偏导数 ux ，vy，vx ，uy 连续 满足C-R条件 意义 可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。 复变函数的导数

20. 复变函数的导数 • 典型情况 • 初等函数在定义域内都可导； • 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。 • 导数的计算 • 法则： • 复变函数的求导法则与实变函数完全相同； • 例子： • (sin2z)’ = 2 sin z cos z • [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) • (z3)” = 6 z

21. 复变函数的导数 • 导数的意义 • 微商表示 • f’(z) = dw/dz • 模： • |f’(z)|= |dw|/|dz| • 幅角： • Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)

22. 解析函数 • 定义 • 点解析 • 函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导 • 区域解析 • 函数f(z)在区域B上每一点都解析 • 性质 • 调和性 • 解析函数的实部与虚部都是调和函数， • 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0 • 正交性 • 解析函数的实部与虚部梯度正交， • 即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 • 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2相互垂直。

23. 解析函数 • 应用 • 例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。 • 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 • 解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 • vx=-uy=2y, vy=ux =2x • dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) • v = 2xy • 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C

24. 解析函数 • 例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。 • 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 • 解：设电势为 u=f(x2+y2) • ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” • uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” • uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 • 令 t = x2+y2, g = f’(t)  g +t g’ = 0 • g = -ln t +C • f =

25. 解析函数 • 例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。 • 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 • 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 • vx=-uy=2y, vy=ux =2x • dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) • v = 2xy • 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C

26. 本章小结 • 复变函数 • 定义：两个复数集合之间的映射； • 特点：定义域和值域为2维； • 定义域出现复连通现象； • 不能用一个图形完全描述； • 极限存在的要求提高； • 分析：可以分解成2个二元实函数； • 解析函数 • 满足CR条件； • 实部和虚部都是调和函数，相互正交。