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平面向量的数量积

平面向量的数量积. 其中力 F 和位移 s 是向量， 是 F 与 s 的夹角，而功是 数量. F. 一个物体在力 F 的作用下产生的位移 s , 那么力 F 所做的功应当怎样计算？. θ. s. 5.6 平面向量的数量积及运算律. 物理意义下的“功”. 已知两个非零向量 a 和 b ， 它们的夹角为  ，我们把数量 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a · b ， 即. 规定：零向量与任意向量的数量积为 0， 即 0．. 5.6 平面向量的数量积及运算律.

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Presentation Transcript

  1. 平面向量的数量积

  2. 其中力F和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. F 一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？ θ s 5.6 平面向量的数量积及运算律 物理意义下的“功”

  3. 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． 5.6 平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量积的定义

  4. 5.6 平面向量的数量积及运算律 与以往运算法则的区别及注意点 • （1）两向量的数量积结果是一个数量，符号由夹角决定. • 而向量的加法和减法的结果还是一个向量. （2） 一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合 （3）a · b不能写成a×b ，a×b表示向量的另一种运算．

  5. A |a|cosθ a A1 b θ B O 思考：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？ 思考：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？ 不一定；︱b︱cosθ.

  6. 思考：根据投影的概念，数量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，

  7. 记作 两个非零向量a和b，作 ， ，则 叫做向量a 和b的夹角． B 若 ，a与b反向 若 ，a与b垂直， 若 ，a与b同 向 b a B a b b O B O A A B b a O A A O a 5.6 平面向量的数量积及运算律 两个非零向 量 的 夹 角 ① ③ ②

  8. （2）a⊥b a · b=0(判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |， 当a 与b 反向时, a · b = −| a | · | b |. 特别地(用于计算向量的模) （4） 5.6 平面向量的数量积及运算律 设a ,b都是非零向量, e是与b方向相同的单位向量,  是a与e的夹角,则 数量积的 性 质 （1）e · a=a · e=| a | cos (用于计算向量的夹角) （5）| a · b| ≤| a | · | b |

  9. 例1．已知|a |=2, |b |=3分别在下列条件下求a ·b. 5.6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 （1）θ＝1350（2）a ∥b(3)a⊥b 解： （1）a ·b =|a | |b |cosθ =2×3×COS1350

  10. 例1．已知|a |=2, |b |=3分别在下列条件下求a ·b. 5.6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 （1）θ＝1350（2）a ∥b(3)a⊥b 解：（2）当a与b同向时， a ·b=2×3=6 当a与b反向时， a ·b =－2 × 3= － 6 （3） a ·b=0

  11. 请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角 A A A B o A o o B B (1) (3) o (4) B (2) 二　向量的夹角(θ)

  12. A B o A o B (1) (4) 二　向量的夹角(θ) 注意： 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点． 2.且θ∈[０, π]

  13. 5.当θ＝π／2时，a与b垂直，记作a b a b cos θ a . b= 二　向量的夹角(θ) 注意： 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点． 2.且θ∈[０, π] 3.当θ＝０时，a与b同向 4.当θ＝π时，a与b反向 6.当θ∈［０,π/2)时, a . b ＞ ０ 当θ∈(π/２,π］时, a . b＜０， 当θ=π/2, a . b=0

  14. 例２已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC . CA ∵∠C=６００ ∴向量BC与CA所成的角为１２００ BC . CA= BC CA COS１２００ B D C A 解： ∴ =5×8 x (-1/2) = - 20

  15. （ ） （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 三、练习： D C A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定

  16. A θ2 a b B θ1 a＋b A1 B1 θ O c C 4、数量积的运算律： ⑴交换律： ⑵对数乘的结合律： ⑶分配律：

  17. 4、数量积的运算律： ⑴交换律： ⑵对数乘的结合律： ⑶分配律： 注意： 数量积不满足结合律 数量积不满足消去律

  18. 6．对任意向量a 有 5.6 平面向量的数量积及运算律 √ 1．若a =0，则对任一向量b，有a·b = 0． 练 习 . 判 断 正 误 × 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3. a·b= b ·a √ × 4．（a·b） ·c = a· （b ·c） × 5．若a≠0，a·b= b·c，则a= c. √

  19. 作业: 1.课本P95 习题A 2,3,7.B 1. 2. 练习:其余习题

  20. 谢谢观看！欢迎指正！ 再见！

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