第三章线性规划的对偶理论

第三章线性规划的对偶理论

对偶理论是线性规划发展的重要成果之一，该理论提出每一线性规划问题（我们称为原问题）都有一个与之对应的线性规划问题，我们称之为对偶问题，并称这两个问题为一对对偶问题。对偶理论是研究线性规划的对偶关系与解的特征的理论，根据对偶理论，我们在求解线性规划问题时也同时得到其对偶问题的最优解，以及相对各个约束的影子价格等信息，在实际问题中有广泛的应用。此外，应用对偶理论，还可以提出求解线性规划问题的对偶单纯形法。

本章首先以资源分配问题为背景引入一对对称的对偶问题，然后讨论对偶理论的本质和它的应用之一—资源的影子价格，最后推广到其它形式的对偶问题并提出求线性规划问题的对偶单纯形法。本章首先以资源分配问题为背景引入一对对称的对偶问题，然后讨论对偶理论的本质和它的应用之一—资源的影子价格，最后推广到其它形式的对偶问题并提出求线性规划问题的对偶单纯形法。

§1 对偶问题的一般概念

@ P100:对偶规则

@ ￥ &

￥ @ #

@ (3.7)

(3.8)

§2 对偶问题的基本性质 $ # • 为了便于讨论，下面不妨总是假设: (P) (D) 定理2.1（对称性定理）对偶问题的对偶问题是原问题。根据对称性定理，在任一对偶问题中，可以把其中的任何一个称为原问题，而把另一个称为其对偶问题。

定理2 （弱对偶定理）对偶问题(D)的任何可行解Y0，其目标函数值总是不小于原问题(P)任何可行解X0的目标函数值(CX0≤Y0b)。

P105

定理3(最优解判别定理)若原问题的某个可行解X0的目标函数值与对偶问题某个可行解Y0的目标函数值相等，则X0, Y0分别是相应问题的最优解 .

@ 定理4 （主对偶定理）如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都有最优解，且它们的最优解所对应的目标函数值相等。证:由弱对偶定理推论1可知，原问题和对偶问题的目标函数有界，故一定存在最优解。现证明定理的后一句话。

显然Y0为对偶问题的可行解。因此对偶问题有目标函数值 , 而原问题最优解的目标函数值为故由最优解判别定理可知Y0为对偶问题的最优解。证毕。推论4 如果原问题(P)和对偶问题(D)中的任意一个有最优解，那么另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。

& 定理5(互补松弛定理)设与分别是（P）和（D）的可行解，它们是最优解的充要条件是下列条件同时成立：

@ P108

我们称以上条件为互补松弛条件是因为我们把某一可行点(x*或y*)处严格等式约束称为紧约束（或起作用约束），把严格不等式约束称为松约束（不起作用约束），同样把非负变量约束（x* ≥0和y*≥0）也分为紧约束与松约束，将（x*=0和y*=0）的约束称为紧约束，称（x*>0和y*>0）的约束为松约束。

互补松弛条件就是：松约束的对偶约束是紧约束，紧约束的对偶约束是松约束。推论5 设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。若已知一个问题的最优解可以利用上面的互补松弛条件求另一个最优解。

y2 1 可行域 y1 -1 0 2 1 -1 图3-3

从上例可以看出，求解一个m个约束条件n个变量的线性规划问题，可以转化为求解一个n个约束条件m个变量的对偶问题；当m = 2时，对偶问题能用图解法求解，简化了求解过程。

& p107

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