Общая теория чисел и числовых эпох. Мир на пороге новой числовой эпохи

1. Общая теория чисел и числовых эпох. Мир на пороге новой числовой эпохи В.М.Юровицкий, МФТИ, Москва

2. Типы информации • Существует два типа информации − образная и числовая. Обработка информации есть мышление. Биологические объекты, в том числе и человек, воспринимают образную информацию. Компьютеры работают с числовой информацией. Таким образом, существует два типа мышлений. • Слово есть имя образа. Оно возникло из дочеловеческих образных представлений − криков, жестов, иных действий животных как реакции на некоторые образы. А числа нет в исходном человеческом мышлении. • Компьютер трудно научить воспринимать и обрабатывать образную информацию, а человек долго шел к разработке и освоению числовой. И этот процесс не закончился.

3. Числовые эпохи • В процессе своего цивилизационного развития человечество прошло целый ряд числовых эпох. Каждая числовая эпоха характеризуется своим главным понятием числа и своими приемами работы с ними − вычислительной технологией. • Предшествующие понятия числа при смене эпох могут использоваться, а могут и отбрасываться

4. Первая числовая эпоха − эпоха натурального числа • В эту эпоху числа представлялись набором предметов − пальцами рук, камушками, бусинками и т.д. Действия над числами осуществлялись посредством действий над предметами. В конце этого периода возникло письменное изображение чисел и простейших действий над ними в письменной форме. Русские счеты и четки − атавизм этой эпохи.

5. Вторая числовая эпоха −эпоха дробных чисел • В эту эпоху было создано понятие нецелых чисел, которые представлялись совокупностью двух целых − дробные числа. Этому этапу соответствует римская (аддитивная) система счисления (представления) чисел. Действия над ними стали предметом особой науки − арифметики, которая до сих пор изучается в школе.

6. Третья числовая эпоха • Новая эпоха инициирована позиционной (арабской) системой представления чисел. Была создана теоретическая математика. В теории основным стало понятие действительного числа. Для практических (вычислительных) целей было создано понятие приближенного числа и действий с ними − «Правила приближенных вычислений». Это «золотой период» теоретической математики. Но было решено и множество вычислительных задач обеспечивших промышленную революцию. • Арабская числовая нотация основа промышленной революции.

7. Четвертая числовая эпоха • Это современная эпоха. Она характеризуется использованием компьютеров − небиологических средств мышления (обработки информации) на основе кристаллов. Компьютер потребовал использования двоичного (вместо антропного десятичного) представления чисел. В эту эпоху вычислительные возможности человечества возросли на много порядков. Это период расцвета вычислительной математики, В сфере теоретической математики она мало что внесла нового.

8. Особенности четвертой числовой эпохи • Основные вычислительные понятия предшествующей числовой эпохи − понятие приближенного числа и действия с ними было отброшено. В качестве главного понятия стало использоваться понятие рационального числа (числа с плавающей точкой в компьютерной терминологии). Коренным образом изменилось понятие числа и действия над ними.

9. Множество рациональных чисел (МРЧ) есть подмножество действительных (континуальных) чисел, представимое в записи в конечном виде. Существует разнообразные множества рациональных чисел в зависимости от условий «представимости». В стандарте IEEE 754 зафиксировано использование трех МРЧ − простой, двойной и расширенной точности (?).(!)Эти множества не образуют никакой математической структуры

10. Числа с фиксированной точкой (квазицелые) • Для представления действительных чисел иногда используют целые (счетные) числа. При действиях с ними их чаще всего преобразуют в рациональные, действуют как с рациональными, а результат снова преобразуют в целые. С теоретической точки зрения это не выдерживает критики, но иногда используется на практике.

11. Сопоставление действий над приближенными и рациональными числами

13. Из сопоставления операций приходим к выводу о существенном различии как в понятиях числа, так и в результатах числовой обработки. • И возникает вопрос: какое понятие числа и какая система обработки чисел являются более корректными и практически ценными? • Ответ однозначен. Хотя понятие числа третьей числовой эпохи не вполне совершенно, но нынешнее понятие есть концептуальный шаг назад.

14. Главная аксиома современной числовой эпохи • Большинство теоретических моделей формулируются на множестве действительных чисел. Но вычислительная их реализация осуществляется на множестве рациональных чисел. При этом неявно предполагается, что возникающие при этом ошибки малы и не существенны для практики. Это естьглавная аксиома четвертой числовой эпохи, принимаемая молчаливо и без доказательств. Эта аксиомаНЕВЕРНА.

15. Примеры неверности основной аксиомы 1. • Абсолютная ошибка вычислений может и мала, но относительная − бесконечно велика. 2. Функция на МДЧявляется невычислимой. На МРЧ является вычислимой. Например, при x=1 f(x)=22.56498466565… • x = (1020, 1223, 1018, 1015, 3,−1012), y = (1020, 2,−1022, 1013, 2111, 1016). В точной арифметике : x * y = 1040 + 2446 − 1040 + 1028 + 6333 − 1028 = 8779. Однако арифметика чисел с плавающей точкой на любом современном компьютере для такого скалярного произведения дает нулевое значение (Клатте Р.,Кулиш У.,Неага М.,Рац Д.,Улльрих Х.PASCAL-XSC. Язык численного программирования (пер. с англ.) РХД, 2006).

16. Несуществующие числа • Стандарт представления компьютерных рациональных чисел IEEE 754. По нему существует несколько типов представлений с 7, 17 и 21 (десятичными) разрядами.Например, калькулятор MS WINDOWS дает Log 2=0,30102999566398119521373889472449 Существуют ли в природе или в человеческой практике подобные числа? Не существуют. Cовременная числовая эпоха используются несуществующие числа.

17. Ненужные числа • Все нецелые числа (за исключением денежных) имеют своим источником измерение. Но измерительные (метрологические) числа не есть рациональные (абсолютно точные) числа. Для практической числовой деятельности нужны числа метрологические, и не нужны рациональные. • Современная числовая эпоха использует ненужные для практики числа. Превращение ненужных компьютерных (20-разрядных) чисел в нужные есть предмет интуитивной человеческой деятельности

18. Компьютер − обработчик шумов • На практике обычно используются числа с тремя-пятью десятичными разрядами. Компьютер обрабатывает 7-20 разрядные. Излишние разряды есть шумовые, они могут составлять до 80 процентов всего информационного объема. • Современный компьютер есть обработчик шумов, на каковую тратится большая часть его ресурсов. А вред, причиняемый в информатике шумами, хорошо известен.

19. Вывод 1 • Современные числа и система их компьютерной обработки являются источником большого числа аварий, катастроф, ошибок, нерациональных затрат. Тотальный переход к компьютерному управлению, рост вычислительных мощностей и сложности задач ведет к прогрессивному нарастанию неблагоприятных факторов, может стать угрозой самому существованию человеческой цивилизации.

20. Достоверные вычисления • Некоторые специалисты уже осознали порочность нынешней числовой эпохи. Результатом стало создание концепции достоверных вычислений. В ее основе использование не чисел, а интервалов. • Однако, в фундаменте этой технологии по-прежнему лежит рациональное число. И потому это не дает кардинального решения, а лишь ведет к резкому, порой экспоненциальному росту затрат компьютерных ресурсов. Тем более, что математический интервал не то, что нужно практике. Кому нужен мат. интервал (0.004563892 ÷2341.096785449)?

21. Финальный вывод • Цивилизационное развитие уже упирается в барьер нынешнего понятия числа (рационального числа). Задачей номер 1 является создание новой концепции числа и методов их обработки. Это будет историко-цивилизационный сдвиг, создаст переход в новую числовую эпоху. • Такой переход будет не менее значим, чем переход от римской системы счисления к арабской, создавшей базу промышленной революции, чем переход от ручного счета к компьютерному.

22. ВЕЛИКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ • Россия, российская наука, российская промышленность должна возглавить переход в новую числовую эпоху. На этом пути страну ожидает мировое первенство в компьютерной области и иных областях науки и техники. • Российские ученые готовы взять на себя руководство этим ВЕЛИКИМ НАЦИОНАЛЬНЫМ ПРОЕКТОМ

23. Благодарю за внимание • В.М.Юровицкий, к.э.н., vlad@yur.ru, www.yur.ru