概率论

概率论 中南大学数学院概率统计课程组

§1.1随机事件和样本空间 §1.2概率和频率 §1.3古典概型 §1.4概率的公理化定义及性质第一章事件与概率

§ 1. 5 条件概率、 全概率与贝叶斯公式 § 1. 6 独立性 § 1. 7 贝努里概型

概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速。目前，不仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一。

本学科的 A B C 概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度——起源：博弈问题。 16世纪意大利学者研究掷骰子问题，17世纪中叶，法国数学家B. 帕斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯基于排列组合的方法，解决了“ 合理分配赌注问题” 。

对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以

对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。而它们又是两个并列的数学分支学科。

本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域： 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到假设检验； 3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理；

4.电子系统的设计, 火箭卫星的研制 与发射都离不开可靠性估计; 5.探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述; 7.在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；

许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、 • 机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、 • 购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率 • 模型来描述，其涉及到的知识就是排队论。法国数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”

生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。 -------拉普拉斯我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会。 ---------传道书 §1.1随机事件和样本空间

概率论是研究随机现象的规律性的数学分支，为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念：概率论是研究随机现象的规律性的数学分支，为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。

在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)，由二阶微分方程 来描述，其中g为重力加速度，这是确定的，必然的。客观世界的两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象。另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。

确定性现象： ⒈ 抛一石块,观察结局; ⒉ 导体通电,考察温度; ⒊ 异性电菏放置一起,观察其关系; …… 随机现象： ⒈ 掷一枚硬币,观察向上的面; ⒉ 下一个交易日观察股市的指数上升情况; ⒊ 某人射击一次,考察命中环数;……

随机现象的统计规律性 虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。

由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。

进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验。进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验。随机试验的特点：（1）可重复性：试验原则上可在相同条件下重复进行; （2）可观察性：试验结果是可观察的，所有可能的结果是明确的；

（3）随机性：每次试验将要出现的结果 是不确定的，事先无法准确预知。下表列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。

表1.1抛掷硬币试验

随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与表示样本点与样本空间。试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。样本空间

例1. 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即 ={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}。这里，比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。例2. 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i 次，i = 0,1,2, … ，样本空间为 = {0次，1次，2次, … }

例3. 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间 ={1，01，001，… ，0001，…} 例4. 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时，样本空间为：

课堂练习 写出下列各个试验的样本空间: 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？

课堂练习 4.袋中有编号为1,2,3,…,n的球,从中任取一个,观察球的号码； 5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？ 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。

我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件 ，简称事件。通常用大写的字母A、B… 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记为试验中出现的样本点，那么事件 A 发生当且仅当时发生。由于样本空间包含了全部可能结果，因此在每次随机事件及其运算

试验中都会发生，故称 为必然事件。相反，空集不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称为不可能事件。　　如果事件A发生必然导致 B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。记作或 1.事件的包含

　　“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并，记作　　。 2.事件相等　如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。 3.事件的并

　“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作或AB。 B 4. 事件的交 5. 事件的差　“事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B的差, 记作 A-B .

B A 　　事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件，即　　　，则称A与B是互不相容事件. “事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，记作，易见， 6. 互不相容事件 7. 对立事件

是有限或可数个事 设件，若满足：是一个完备事件则称组。显然，A与构成一个完备事件组。 8.完备事件组

表1.2 集合论符号概率论全集样本空间：必然事件空集不可能事件集合论的有关结论事件的关系和运算

注: 推广:

课堂练习 1.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}，则A的对立事件为（） ①甲种产品滞销，乙种产品畅销； ②甲、乙两种产品均畅销； ③甲种产品滞销； ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 ④

① ② A与B对立 ③ A与B互斥课堂练习 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 ①A={|x-a|＜σ},B={x-a＜σ}(σ>0） ②A={x＞20}，B={x≤20} ③A={x＞22}，B={x＜19}

解答: 思考题:设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.

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