走下神坛的抽象代数

走下神坛的 抽象代数李尚志北京航空航天大学

抽象代数课程教什么?考什么? • 微积分,线性代数有计算,抽象代数没有? • 既然叫抽象, 就是没有例子? • 有证明。太难,课时不够, 删去! • 还剩什么？死记硬背！ • 九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔 • 小学程度就可以背诵和考试! • 谁是山寨版 ?

抽象代数一定要从公理开始? • 公理是什么?许多不同东西的共同点. • 公理化方法:描述性(非构造性)定义 • 样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数) • 群,环,域的公理内容: • 1. 对加、减、乘、除的封闭性 • 2. 解释什么是加、减、乘、除 • 加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 • 乘法：结合律(群的公理) 对加法的分配律(环的公理) • Prof.zhang 教学法: • 通过有招学无招无招胜有招: • 案例公理案例

案例1. 三阶幻方以一变多 正方形的对称群 • 旋转轴对称 • 共有多少个？ • 按2的位置分4组.每组2个.2×4=8

正多边形与正多面体 • 正三角形的对称群 • 三角形数谜一变多 • 2×3=6 • S3 • 正方体的旋转群 • 3×8个顶点=24 • 4×6个面=24

公理化: 群,子群,陪集分解 • 以正方体旋转群G为例. • G按6个面1,…,6分组, 第i 组 Gi ={g|g1=i} • g,a在同一组g1=a1 a-1g1=1 • a-1g∈ G1g∈aG1. Gi= aG1. • 由a 可逆得: h1≠h 2  ah1≠ah2 • |Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|. • 推广:G 对除法封闭总可计算a-1g • “同组” 等价性=G1含1,对求逆,乘法封闭 • 群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.

案例2. 复数的几何与矩阵模型 • i2 = -1 : 左转两番朝后方 • 平面向量v(-1)v,后转(180o) • 记viv为左转(90o).则i2 = -1. • 域同构:复数平面线性变换矩阵 • i 左转变换i • a+bi a1+bi 

案例3. 平面旋转群R • 旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv) • (cosa +isina)n = cosna +isinna (棣美弗公式) • f: RR, a eia = cosa +isina • f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) • Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构)

案例4. 单位根群 • 单位根: 1的 n次方根. xn =1的根. • f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n • 1,w,w2,…,wn-1, • w = cos(2p/n) +isin(2p/n) • n阶循环群〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1} • f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r) • Ker f = nZ • Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉

案例5. xn -1 的因式分解 • 复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1) • 有理数范围:以x15 -1为例 • 1,w,w2,…,w14在乘法群中的阶d|15 • 同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x) • F1(x)=x-1. • F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. • F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 • F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)) • 分圆多项式 Fd(x)

有限域: 5最 PK 3最 • 1 抽象代数最后一课 • 2 最难 • 3 最不应当考 • 1 最有用: 信息安全大显身手 • 2 最有味: 抽象代数味道 • 3 最易懂: 小学生可以懂! • 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! • 5 最应当考:首选第一题!

案例6.三阶幻方全推导 • 各行和= (1+…+9)/3=15 • 中心=(15×4－45)/(4 － 1)=5 • 奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 ≡a1+b1+c1a2 ≡b1 • 边=奇: a1+a2+a3 ≡1  a2 ≡1 • 边=奇, 角=偶

案例7.奇与偶的算术 ---二元域 • 曾肯成问题:随机整数行列式等于奇数与偶数的概率. • 奇偶数加减乘公式: • 偶±偶=偶,偶±奇=奇,奇±奇=偶; 整×偶=偶,奇×奇=奇. • 用0,1表示: 0±0=0,0±1=1,1±1=0; a×0=0,1×1=1. • 二元域 Z2={0,1}.注意1+1=0,a-b=a+b.

Z2上的2阶行列式 • D=ad-bc为奇数的概率 • 情况1. ad=1,bc=0 •  a=d=1, • (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0) • 情况2. ad=0,bc=1 •  b=c=1, • (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0) • 共6种可能,概率=6/16=3/8 • D为偶数的概率=1-3/8=5/8

Z2上可逆矩阵群 • GL(2,2): • Z2上2维空间V共3个非零向量 • v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1) • 任何两个线性无关 • 每个置换都是可逆线性变换 • 上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12), (123),(13),(132). • GL(2,2)≌ S3

Z2上n阶行列式 • 数域上的线性代数定理: • detA=1A可逆行线性无关 • 茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2 • 第1行:A1≠0, 2n-1个选择 • 第2行:A2≠ lA1, 2n-2个选择 • 第k+1行:Ak+1≠ l1A1+…+lkAk, 2n-2k个选择 • 共有 (2n-1)(2n-22)…(2n-2n-1)个 • 概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)…(1-1/2)

案例分析：“假零”性质 • a±b,ab的奇偶性只与a,b奇偶性有关: • a±b =(r+偶)±(s+偶) (结合,交换） =(r± s)+(偶±偶)= (r± s)+偶 • ab =(r+偶)(s+偶) （分配) =rs+(r×偶+偶×s+偶×偶)=rs+偶 • “假零”性质: O1.偶±偶=偶 O2.整×偶=偶 • 真零性质: 0±0=0,数×0=0 • 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0.

公理化：环, 理想, 商环 • 环 D：对加、减、乘封闭 • 加、减、乘的合法性条件： • 加法:结合律,交换律,零,负元 • 减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. • 乘法:结合律,对加法的分配律 • 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2 • 记a-b∈Q为a≡b (mod Q),可按等式计算 • 商环: D/Q =同余类集合{ [a]=a+ Q}, • 定义加,减,乘:[a]±[b]=[a±b], [a][b]=[ab].

案例8. Zn --单表密码 • Zn =Z/nZ={r+nZ| r=0,1,…,n-1}. • 加法密码: Z26: f(x) = x+b. • 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. • 可逆元与反函数.例: • y=3x+5, 9×3=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). • 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b  x=a-1(y-b) • Zn中可逆元组成乘法群 Zn*

案例9.p元域Zp上可逆阵 • 素数p: Zp* = Zp \{0}. Zp 是域. • Zp 上的n阶可逆方阵个数 • |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1) • 随机整数n阶行列式模p余r概率 • r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 • r≠0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA. • 案例分析正规子群,同态基本定理

案例10.极限与微分 • 博士生 2010考题. • 在一点a连续的全体实函数构成环C • O(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想. • limxcf(x)=A f(x) ≡A (mod O(Dx)) • f(x) ≡f(a)+f’(a)Dx (mod o(Dx)) • 和差积商极限: f(x)≡A, g(x)≡B 加减乘除 • 幂的导数: (x+Dx)n≡xn+nxn-1Dx  (xn)’=nxn-1 • 积的导数: f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx • 商的导数:

案例11.分数化小数-- 循环节长度 • 数学聊斋:商家打折: 1428元? • a=1/7=0.142857… • 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. • q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. • 最小的d使 10dq≡q(mod p) • 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) • D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 • 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).

案例分析乘法群元素的阶 • 例:q/7. 10k(k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. • 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… • 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 • 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 • 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 • 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 • 另例:1/17=0.0588235294117647…。1/19= • 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。

案例12.复数的代数模型—域扩张

案例12.复数的代数模型—域扩张 • 环同态基本定理 • 已经找到矩阵J满足J2+I=0。 • 环同态 f:R[x]R[J], f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1). • 每个 aI+bJ[a+bx]={a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)∈R[x]} • 商环 C = R[x]/ (x2+1) ={[a+bx]|a,b∈R} • [0]=[x2+1]=[x]2+[1]  [x]2 = -[1]。 • a+bx≠0与x2+1互素,在C中可逆.C 是域. • 记[1]=1,[x]=i, 则 i2 = -1. C={a1+bi | a,b∈R} =复数域。 • 直接为x2+1造根:不需先猜J2+I=0。 • 在R[x]中强制规定“假零集合”Q =[0]=[x2+1]. • 则 Q =(x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成. C=R[x]/ (x2+1) • 线性变换: [a+bx][x][a+bx]在基{[1],[x]}下的矩阵满足条件 J2 = -I.

推广.域的代数扩张 • 无中生有:为域F上多项式f(x)造根。 • 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. • f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. • 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. • 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基[1],[x], …, [x]d-1 下的矩阵J是f(x)的根。 • f(x)可约: 不可约因子h(x)在扩域E=R[x]/(h(x))中有根,也是f(x)的根。 • 同构: h(x)在扩域M/F中有根w,则s:EM, g(x)g(w)为域同构. • 自同构：s∈Gal(E/F) g(w)g(u), w与u为h(x)的任意两个根。

案例13.m序列—有限域的扩张 • Z2 上线性移位寄存器序列u1,u2,…,um,… • 满足条件 uk+n=c1uk+n-1+…+cnuk . • m序列: 选c1,c2,…,cn达到最大周期 N=2n-1. • (uk+1,…,uk+n) = (uk,…,uk+n-1)A • 状态转移矩阵 A = • A的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-…-cn-1x-cn. • (uk+1,…,uk+n)=(u1,…,un)Ak 取遍非零状态. • 如果B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI不可逆，

如果B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI不可逆,则有Uk+1= (uk+1,…,uk+n) ≠0使Uk+1B=0 • 0=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有m. • Uk+1+m包括Z2上所有的非零n维行向量. • 这迫使 B = 0. 说明 Z2[A]中非零元都可逆。 • Z2[x]/(m(x)) ≌Z2[A]是域, 包含元素2n个。 • 反过来,找2n元有限域,其乘法群的生成元的最小多项式m(x)=xn-b1xn-1-…-bn-1x-bn. • 取(c1,c2,…,cn)=(b1,b2,…,bn)即得m序列。 • 案例分析:(1) q元有限域存在q 是素数幂pn 。 • (2) 有限域的乘法群是循环群。

更多案例 • 数学聊斋:指路为马之幼儿版---构造纠错码---二元域上的线性方程组 • 正17边形作图---Galois理论 • 实数域的代数扩张--- 代数基本定理 • 2次、3次、4次方程的求根公式 • n次方程的求根公式。

教学录象 1.http://jpk.buaa.edu.cn  教育部  2006线性代数 2.http://smss.buaa.edu.cn 精品课程 高等数学教学录像数学大观教学录像1-9(共9小时) 3. http://www.youku.com  李尚志:教育人生,线性代数, 教学成果奖申请视频材料

博客 高教社http://math.cncourse.com/ 李尚志北航数学与系统科学学院 http://smss.buaa.edu.cn 教师博客回忆录: 比梦更美好, 名师培养了我, 数学家的文学故事数学文学: 数学聊斋, 数学诗选

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