概率论

概率论 中南大学数学院概率统计课程组

第四章大数定律与中心极限定理 §4.1 大数定律 “概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。

中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。

大量抛掷硬币 正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性 ……

定理（契贝晓夫 (Chebyshev)不等式）:设随机变量X具有数学期望 ,方差 ,则对于任意正数ε,有

定义:设是随机变量序列，数学期望 (k=1,2,...)存在，若对于任意ε>0,有则称随机变量序列服从大数定律. 大数定律的定义

定理(契贝晓夫(Chebyshev)大数定律): 设是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望和方差，k=1,2,...,若存在常数C,使得 ,k=1,2,...,则对于任意给定的ε>0,恒有几种大数定律

证明：

契贝晓夫大数定律的特殊情况 推论:设是两两不相关的随机变量序列, 具有相同的数学期望和方差 k=1,2,..., 则对于任意给定的ε>0,恒有

契贝晓夫大数定律表明，独立随机变量序列，如果方差有共同的上界，则契贝晓夫大数定律表明，独立随机变量序列，如果方差有共同的上界，则与其数学期望偏差很小的概率接近1. 即当n充分大，差不多不再是随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.

例:设 是相互独立的随机变量序列,均服从参数为λ的泊松分布,则服从大数定律. 证明:已知 , ,所以满足契贝晓夫大数定律的所有条件,故对于任意给定的ε>0,恒有即服从大数定律.

例2：设随机变量序列{ }独立同分布 令则随机变量序列{ }服从大数定律，即，有

证明:

贝努里 第i次试验事件A发生证明: 第i次试验事件A不发生定理(贝努里大数定律):设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记μn为n次试验中事件A发生的频率，则对任意的ε>0,有

则由契贝晓夫大数定律有

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率μn与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率μn与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.（理论保障）

蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律针长L 平行线距a 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.

例5(马尔可夫大数定律):设随机变量序列{ },若满足马尔可夫条件则对于任意给定的ε>0,恒有

定理(辛钦大数定律):设{ }是相互独立同分布的的随机变量序列,若有数学期望 (k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有辛钦证明留在下一次课

注:若对同一随机变量进行观察,把每一次观察的结果看作一个随机变量,得到一列相互独立同分布的随机变量序列.由辛钦大数定律知:对随机变量进行n次观察的算术平均值依概率收敛于该随机变量的数学期望,这就为寻找随机变量的数学期望提供了一条切实可行的途径.注:若对同一随机变量进行观察,把每一次观察的结果看作一个随机变量,得到一列相互独立同分布的随机变量序列.由辛钦大数定律知:对随机变量进行n次观察的算术平均值依概率收敛于该随机变量的数学期望,这就为寻找随机变量的数学期望提供了一条切实可行的途径.

解：设 则例6：用蒙特卡洛法计算定积分（随机投点法）

具体做法如下:

小结 • 大数定律的客观背景； • 大数定律的定义； • 几种大数定律：契贝晓夫(Chebyshev)大数定律；贝努里大数定律;辛钦大数定律作业 P222 4.24, 4.25,4.26,4.29

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