ساختمان های گسسته مقدمه

1. ساختمان های گسستهمقدمه دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل مدرس: مهدی عمادی (m.emadi@nit.ac.ir) زمان کلاس­ شنبه و یکشنبه (15:30 الی 17:00)

2. مقدمه • زمینه هایی که مفاهیم ریاضیات گسسته در آنها به کار گرفته می شود: • Formal Languages (computer languages) • Compiler Design • Data Structures • Computability • Automata Theory • Algorithm Design • Relational Database Theory • Complexity Theory (counting) • Network Protocols Design

3. کتاب درس • 1. Discrete Mathematics and Its Applications. K.H. Rosen. 6th edition. Mc Graw Hill 2007 • 2. ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی، رالف پ. گریمالدی، ویرایش سوم، ترجمه: دکتر محمد علی رضوانی و دکتر بیژن شمس، انتشارات فاطمی (در چهار جلد)

4. بارم­بندی درس

5. زمان امتحانات • امتحانات در ساعات غیر کلاس خواهد بود. • سرفصل­های امتحان ممکن است بر اساس میزان پیشروی برنامه تدریس تغییر کند اما تاریخ برگزاری تا حد امکان امتحان تغییر نخواهد کرد. • میان ترم 1 (فصل­های 1،2، 4 ) – 90/01/00 • میان ترم 2 (فصل­های 5،8،9 ) – 90/02/00 • پایان ترم (فصل­های 10،11،12و7)

6. ساختمان های گسستهفصل اول: پایه های منطق و اثبات بخش 1.1 منطق گزاره ای (Propositional Logic)

7. گزاره ها (Propositions) • جزء سازنده منطق می باشند • جملاتی (خبری) هستند که یا راست اند یا دروغ و نمی توانند نه راست باشند و نه دورغ و یا هر دو با هم • مانند: • تهران پایتخت ایران است (یک جمله راست یا true) (1 یا T) • 1+1=3 (یک جمله دروغ یا false) (0 یا F) • یک متغیر که برای بیان یک گزاره به کار می رود را متغیر گزاره ای (propositional variable) یا متغیر جمله ای (statement variable) می نامند. • با کلمات کوچک نمایش داده شده (مانند p، q، r) و می تواند T یا F باشد.

8. حساب گزاره ای (Propositional Calculus) • مجموعه اعمال و عملگرهایی که می توان در حوزه منطق داشت را حساب گزاره ای و یا همان منطق گزاره ای می نامند. • این مباحث برای اولین بار توسط فیلسوفی یونانی به نام ارسطو (Aristotle) به صورت سیستماتیک مطرح گردید. • شامل تعدادی عملگر یگانی (Unary) و دوگانی (Binary) می شود

9. عملگر نقیض (negation) • این عملکر برای بیان نقیض (not) یک متغیر گزاره ای و یا نقیض یک گزاره به کار می رود • با فرض اینکه p یک متغیر گزاره ای باشد نقیض p را به صورت زیر نمایش می دهیم • p ، ~p یا p • جدول ارزش برای عملگر not

10. ترکیب عطفی (Conjunction) یا AND • معادل همان ”و“ در فارسی است. • جمله (گزاره) حاصل از ترکیب عطفی دو جمله زمانی درست است که هر دو جمله درست باشند. • علامت:  • جدول ارزش AND

11. ترکیب فصلی (Disjunction) یا OR • معادل همان ”یا“ در فارسی است. • جمله حاصل از ترکیب فصلی دو جمله زمانی درست است که یکی از دو جمله درست باشند. • علامت:  • جدول ارزش OR

12. یای مانع جمع (Exclusive Or) یا XOR • در برخی کتب به ”یای مانع جمع“ ترجمه شده است. • جمله حاصل از XOR دو جمله زمانی درست است که فقط یکی از دو جمله درست باشند. اگر هر دو جمله غلط یا درست باشند حاصل این ترکیب غلط است. • علامت:  • pq  (p  q)  ¬(p  q) • جدول ارزش XOR

13. جمله شرطی (Conditional Statement) • به آن استلزام (implication) نیز می گویند. • جمله حاصل استلزام زمانی درست است که، اگر جمله اول درست بود جمله دوم نیز درست باشد. در این عملگر بر خلاف موارد قبلی ترتیب مهم است. • علامت:  • p→q یعنی اگر p آنگاه q • p→q=¬pq • جدول ارزش 

14. جمله شرطی (Conditional Statement) • روش های مختلف بیان استلزام: • p→q یعنی اگر p آنگاه q • p implies q • If p, q • p only if q • p is sufficient for q • q if p • q whenever p • q is necessary for p

15. جمله شرطی (Conditional Statement) • برخی از موارد استفاده از استلزام (جمله شرطی) به علت کاربردهای زیاد نام خاص خود ار دارند که در جدول زیر آمده است

16. جمله دوشرطی (Biconditional Statement) • به صورت ”اگر و فقط اگر“ (if and only if) نیز به کار می رود. • جمله دوشرطی زمانی درست است که یا هر دو جمله درست باشند یا هر دو جمله غلط باشند. • علامت:  • pq یعنی اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p • pq= (p→q) ^ (q→p) • جدول ارزش 

17. مرور عملگرهای منطقی یا بولی (Boolean) اولویت عملگرها (Precedence of Operators)

18. جدول ارزش (Truth Table) • این جدول به ازای تمامی مقادیری که متغیر های گزاره ای می توانند داشته باشند مقدار حاصل یک عبارت منطقی را نشان می دهد

19. ترجمه جملات p = “دمای هوا زیر صفر است” q = “برف می بارد” دمای هوا زیر صفر است و برف می بارد pq دمای هوا زیر صفر است و برف نمی می بارد p¬q دمای هوا زیر صفر نیست و برف نمی می بارد ¬p¬q دمای هوا زیر صفر است يا برف می بارد (یا هردو) pq اگر دمای هوا زیر صفر است آنگاه برف می بارد p→q دمای هوا زیر صفر است يا برف می بارد (یا هردو) اما اگر دمای هوا زیر صفر است آنگاه برف نمی بارد (pq)(p→¬q) دمای هوا زیر صفر باشد شرط لازم و کافی برای باریدن برف است p↔q

20. ترجمه جملات (2) “I have neither given nor received help on this exam” Let p = “I have given help on this exam” Let q = “I have received help on this exam” ¬p¬q

21. ترجمه جملات (3) You can access the Internet from campus only if you are a computer science major or you are not a freshman. a  (c  f) You cannot ride the roller coaster if you are under 4 feet tall unless you are older than 16 years old. (f  s)  r r  ( f  s)

22. جستجوی بولی (Boolean Search) (2011 OR 5471) AND yongdae AND “computer science” برای جستجو در Google باید عملگرهای منطقی را با حروف بزرگ بنویسید حالت پیش فرض آن وقتی بدون عملگر کلمات را بنویسیم AND است برای عملگر not از علامت – استفاده می گردد

23. عملیات بیتی (Bit Operations) متغیرهای بولی می توانند دو مقدار بگیرند:1 (true) و 0 (false) یک رشته از بیت ها را می توان به صورت رشته ای از متغیرهای بولی در نظر گرفت 10110100هشت مقدار بولی در یک رشته است ما می توانیم تمام عملات را بر روی این مقادیر انجام دهیم هر ستون عملیات مستقل خود را دارد 01011010 10110100 11101110

24. ساختمان های گسستهفصل اول: پایه های منطق و اثبات بخش 2.1 هم ارزی گزاره ای (Propositional Equivalences)

25. تعاریف راستگو (Tautology): گزاره ای که در همه حالات درست (true) باشد علامت: T یا T0 مثال: p  p تناقض (Contradiction): گزاره ای که در همه حالات دروغ یا غلط (false) باشد علامت: F یا F0 مثال: p  p یک هم ارزی منطقی (Logical Equivalence) به این معنی است که دو سوی رابطه هم ارزی دارای مقادیر ارزشی () یکسانی هستند علامت آن ≡ یا  می باشند. در این درس ما از علامت ≡ استفاده می کنیم

26. مثال قانون همانی (Identity law) p  T  p قانون تعویض پذیری (Commutative law) p  q  q  p

27. مثال: قانون شرکت پذیری (p  q)  r  p  (q  r)

28. چگونه می توان هم ارزی را ثابت کرد؟ دو روش وجود دارد: استفاده از جدول ارزش برای فرمول های طولانی مناسب نیست تذکر: در این درس هرجا که مستقیم تاکید شد از این روش استفاده گردد استفاده از هم ارزی های منطقی در همه حالات قابل استفاده است و ترجیح داده می شود. مثال: (p  r)  (q  r)  (p  q)  r

29. راه حل استفاده از جدول ارزش (p  r)  (q  r)  (p  q)  r

30. هم ارزی های منطقی (Logical Equivalences)

31. اثبات هم ارزی به کمک هم ارزی های منطقی (p  r)  (q  r) تعریف استلزام (Definition of Implication)  ( p  r)  ( q  r) قوانین شرکتپذیری (Associative laws)  p  r  q  r قوانین تعویضپذیری (Commutative Laws)  p  q  r  r قوانین شرکتپذیری (Associative laws)  ( p  q)  (r  r) قوانین دمورگان (De Morgan’s laws) ، قوانین خودتوانی (Idempotent Laws)  (p  q)  r تعریف استلزام (Definition of Implication)  (p  q)  r

32. مثال نشان دهید (p  q)  (p  q) یگ گزاره راستگو است. (اثبات)

33. راه حل (p  q)  (p  q) استلزام (Implication)  (p  q)  (p  q) دمورگان (De Morgan)  ( p  q)  (p  q) شرکت پذیری، تعویض پذیری (Commutative, Associative)  ( p  p)  ( q  q) نقیض (Negation)  T  T همانی (Identity)  T

34. مثال در یک دادگاه: علی: ”احمد گناهکار است و رضا بی گناه است“ احمد: ”اگر علی گناهکار باشد، رضا نیز گناهکار است“ رضا: ”من بی گناهم اما حداقل یکی از آن دو گناهکارند“ فرض کنید: بی گناهی علی b ، بی گناهی رضا f و بی گناهی احمد s باشد ترجمه جملات هر یک به شکل زیر می باشد: ¬s  f ¬b → ¬f f  (¬b  ¬s) آیا همه حرف ها درست هستند؟؟

35. مثال (ادامه) برای این منظور ترکیب عطفی این جملات باید همیشه درست باشد (s  f)  (b f)  (f  (b s))  T از قسمت سمت چپ شروع می کنیم:  ( s  f)  (b  f)  (f  ( b  s))  (( s  f)  (f  ( b  s)))  (b  f)  ( s  f  ( b  s))  (b  f)  (( s  f  b)  ( s  f))  (b  f)  ( s  f)  (b  f)  ( s  f  b)  s  f  f)  ( s  f  b) F  s  f  b نتیجه؟؟