第四章关系

第四章关系 • 4.1 二元关系 • 4.2 关系运算 • 4.3 关系类型退出

4.1 二元关系 • 二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。 • 1．基本概念 • 定义4.1.1 给定任意集合A和B，若RAB，则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R为A上的二元关系。

可见，R是有序对的集合。若<x,y>R，则也表为xRy，即<x,y>RxRy。可见，R是有序对的集合。若<x,y>R，则也表为xRy，即<x,y>RxRy。 • 若R=，则称R为A到B上空关系；若R=AB，称R为A到B上全域关系。特别当A=B时，称为A上空关系，称R=AA为A上的全域关系。称R={<x,x>|xA}为A上的恒等关系，记为IA。

类似地可定义n元关系。若S  Ai，则称S为 Ai上的n元关系。特别A1=A2=···=An时，称S为A上的n元关系。

定义4.1.2 令RAB，且 • D(R)={x|(y)(xRy)} • R(R)={y|(x)(xRy)} • F(R)=D(R)+R(R) • 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。 • 显然D(R)A，R(R)B。

由于关系是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则R∪S，R∩S，R-S，RS和R’都分别定义了某一种二元关系，并且可表成：由于关系是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则R∪S，R∩S，R-S，RS和R’都分别定义了某一种二元关系，并且可表成： • x(R∪S)yxRyxSy • x(R∩S)yxRyxSy • x(R-S)yxRyxSy • x(RS)yxRyxSy • xR ’yxRy

2．关系矩阵与关系图 • 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，矩阵和有向图都是得力的工具。 • 定义4.1.3 给集合A={a1,a2,···,am}和B={b1,b2,···,bn}，且RAB，若 • 1 aiRbj • rij= • 0 否则 • 则称矩阵MR=(rij)mn为R的关系矩阵。 

当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之，若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之，若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。 • 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。具体方法是：用小圆圈“”表示A中的元素，小圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结点，分别标记ai和aj。。若<ai, aj>R，则用弧线段或直线段把ai和aj连接起来，并在弧线或直线上设置一箭头，使之由ai指向aj；若<ai, ai>R，则在结点ai上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。这样得到的有向图<A, R>叫做关系R的图示，简称关系图，记为GR。

3．关系的性质 • 关系的性质是指集合中二元关系的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质，并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 • 定义4.1.4令RAA，若对A中每个x，都有xRx，则称R是自反的，即 • A上关系R是自反的<x)(xAxRx) • 该定义表明了，在自反的关系R中，除其他有序对外，必须包括有全部由每个xA所组成的元素相同的有序对。

在全集U中所有子集的集合中，包含关系是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的。整数集合Z中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。在全集U中所有子集的集合中，包含关系是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的。整数集合Z中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。

定义4.1.5令RAA，若对于A中每个x，有xRx，则称R是反自反的，即定义4.1.5令RAA，若对于A中每个x，有xRx，则称R是反自反的，即 • A上关系R是反自反的<x)(xAxRx) • 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对。

由定义4.1.4 说明中，可知真包含关系是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系<是反自反的，而≤不是反自反的。 • 应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。

定义4.1.6令RAA，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即定义4.1.6令RAA，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即 • A上关系R是对称的 • (x)(y)(x,yAxRy→yRx) • 该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对<x, y>，则必定还会有有序对<y, x>。

在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。

定义4.1.7令RAA，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即定义4.1.7令RAA，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即 • A上关系R是反对称的 • (x)(y)(x,yAxRyyRx→x=y) • 该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在有序对<x, y>和<y, x>，则必定是x=y。或者说，在R中若有有序对<x, y>，则除非x=y，否则必定不会出现<y, x>。

在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系和真包含关系都是反对称的，但全域关系不是反对称的。在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系和真包含关系都是反对称的，但全域关系不是反对称的。在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。 • 可见，有些关系既是对称的又是反对称的，如相等关系；有些关系是对称的但不是反对称的，如Z中的“绝对值相等”；有些关系是反对称的，但不是对称的，如Z中的≤和<。还有的关系既不是对称的又不是反对称的，例如，A={a, c, b>,中R={<a, b>,<a, c>,<c, a>}。

定义4.1.8令RAA，对于A中每个x, y, z，若xRy且yRx，则xRz，称R是传递的，即 • A上关系R是传递的 • (x)(y)(z)(x,y,zAxRyyRz→xRz) • 该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中，若有有序对<x, y>和<y, z>，则必有有序对<x, z>。

显然，上述提到的关系中，，=和≤，<，=都是传递的；在直线的集合中，平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的。显然，上述提到的关系中，，=和≤，<，=都是传递的；在直线的集合中，平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的。 • 通过上面几个实例，看出： • ①若A上关系R是自反的，则MR中主对角线上元素全为1，而GR中每个结点有有向环；反之亦然。

②若A上关系R是反自反的，则MR中主对角线上元素全为0，而GR中每个结点无有向环；反之亦然。②若A上关系R是反自反的，则MR中主对角线上元素全为0，而GR中每个结点无有向环；反之亦然。 • ③若A上关系R是对称的，则MR是对称矩阵，而GR中任何两结点若有弧必成对出现；反之亦然。

④若A上关系R是反对称的，则MR中以主对角线为对称元素不能同时为1，而GR中若两结点间有弧不能成对出现；反之亦然。④若A上关系R是反对称的，则MR中以主对角线为对称元素不能同时为1，而GR中若两结点间有弧不能成对出现；反之亦然。 • ⑤若A上关系R是传递的，则MR中若rij=rjk=1，则rik=1，而GR中若有弧<x, y>和<y, z>则必有弧<x, z>；反之亦然。上述是正确的，但不易从MR和GR中判定关系R传递性。

此外，还有： • ①任何集合上的相等关系=是自反的、对称的，反对称的和传递的，但不是反自反的。 • ②整数集合Z中，关系≤是自反的、反对称的和传递的，但不是反自反的和对称的。关系<是反自反的，反对称的和传递的，但不是自反的和对称的。

③非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的，反自反的，对称的，反对称的和传递的。③非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的，反自反的，对称的，反对称的和传递的。 • ④非空集合上的全域关系是自反的，对称的和传递的，但不是反自反的和反对称的。

下面给出一个定理，以结束本小节。 • 定理4.1.1设RAA，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。

4.2 关系运算 • 前已述及，关系是有序对的集合，因此可以对关系进行运算。若R, SAB，则R∪S，R∩S，R’，R-SAB。

1．复合运算 • 定义4.2.1设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系。经过对R和S实行复合（或合成）运算“”，得到了一个新的从A到C的关系，记为RS，也称RS为关系R和S的复合（或合成）关系；或称RS为R和S的复合运算。形式地表为： • RS={<a, c>|(b)(bBaRbbSc)}

定理4.2.1设RAA，则RIA=IAR=R • 定理4.2.2若RAB，S,TBC，WCD，则 • ① R(S∪T)=RS∪RT • ② R(S∩T) RS∩RT • ③ (S∪T)W=SW∪TW • ④ (S∩T)W  SW∩TW

定理4.2.3若RAB，SBC，TCD，则 • (RS)T=R(ST) • 复合运算是可结合的，但不是可交换的。望读者举例说明。

2．幂运算 • 定义4.2.2设R是集合A上的二元关系，nN，R的n次幂记为Rn，定义为： • (1) R0=IA • (2) Rn+1=RnR • 定理4.2.4若RAA，且m, nN，则 • (1) RmRn=Rm+n， • (2) (Rm)n=Rmn。

定理4.2.5令RAA，且|A|=n，则存在i和j，使得Ri=Rj，其中0≤i<j≤2n2。定理4.2.5令RAA，且|A|=n，则存在i和j，使得Ri=Rj，其中0≤i<j≤2n2。 • 定理4.2.6令RAA，若存在i和j，i<j，使得Ri=Rj。且d=j-i，则 • (1) 对任意k≥0,Ri+k=Rj+k。 • (2) 对任意k,m≥0，Ri+md+k=Ri+k。 • (3) 设S={R0,R1,R2,···,Rj+1}，对nN，有RnS。

3．逆运算 • 定义4.2.3设R是从A到B的二元关系，由关系R得到一个新的从B到A的关系，记为R-1，称R-1为R的逆运算，亦称R-1为R的逆关系。形式地表为 • R-1={<y, x>|<x, y>R} • 或者 xRyyR-1x • 由定义可知，-1=，(AB)-1=BA

定理4.2.7若RAB，SBC，则(RS)-1=S-1R-1 • 定理4.2.8令R，SAB，则 • ① (R-1)-1=R • ② D(R-1)=R(R)，R(R-1)=D(R) • ③ (R∪S)-1= R-1∪S-1 • ④ (R∩S)-1= R-1∩S-1 • ⑤ (R-S)-1= R-1-S-1 • ⑥ RSR-1S-1

定理4.2.9若RAA，则R为对称R=R-1。

4．闭包运算 • 关系的闭包运算是关系上的一元运算，是包含该关系且具有某种性质的最小关系。

定义4.2.4设R是A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是关系R1，则定义4.2.4设R是A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是关系R1，则 • ① R1是自反的（对称的、传递的） • ② RR1 • ③ 对任何自反的（对称的、传递的）关系R2，若RR2，则R1R2。 • R的自反、对称和传递闭包分别记为r(R)、s(R)和t(R)。

定理4.2.10若RAA，则 • ① R是自反的iff r(R)=R • ② R是对称的 iff s(R)=R • ③ R是传递的iff t(R)=R

证明只证明①，余下自证。 • 若R是自反的，则由定义4.2.4可知，R具有对R1所要求的性质，故r(R)=R；反之，若r(R)=R，则由定义4.2.4①知，R是自反的。 • 由闭包的定义可以知道，构造关系R的闭包方法就是向R中加入必要的有序对，使其具有所希望的性质。下面定理体现了这一点。

定理4.2.11令RAA，则 • ① r(R)=R∪IA • ② s(R)=R∪R-1 • ③ t(R)=

定理4.2.12若RAA，|A|=n，则t(R)= 。 • 定理4.2.13若RAA，则 • ① rs(R)=sr(R) • ② rt(R)=tr(R) • ③ st(R)ts(R)

5．关系运算的矩阵表示 • 关系运算是可以用关系矩阵表示的。 • 设R，SAB，TBC，MR=(aij)mn，MS=(bij)mn，MT=(cij)np，dij表示运算后所得新关系之关系矩阵的元素，则

① MR∪S=MR∪MSdij=aijbij • 1≤i≤m，1≤j≤n • ② MR∩S=MR∩MSdij=aijbij • 1≤i≤m，1≤j≤n • ③ dij=aji 1≤i≤m，1≤j≤n

④ MR-S=MR dij=aij(bij) • 1≤i≤m，1≤j≤n • ⑤ =MRTdij=aij • 1≤i≤m，1≤j≤n • ⑥ MRT=MRMTdij= (aikckj) 1≤i≤m，1≤j≤n

4.3 关系类型 • 关系类型在本书中主要讨论有四种，它们是等价关系，偏序关系，相容关系和次序关系。 • 1．等价关系 • 定义4.3.1设R是集合A上二元关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。若<a,b>R，或aRb，称a等价b，记ab。 • 由于R是对称的，a等价b即b等价a，反之亦然，a与b彼此等价。

鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般讨论非空集合上的等价关系。鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般讨论非空集合上的等价关系。 • 模m等价是Z或其子集上的等价关系，并且是一类重要的等价关系。

定义4.3.2设m为一正整数而a, bZ。若存在m，使a-b=km，则称a与b是模m等价，记为ab(modm)。 • 定理4.3.1模m等价是任何集合AZ上的等价关系R。

定义4.3.3设R为非空集合A上的等价关系，对aA，令定义4.3.3设R为非空集合A上的等价关系，对aA，令 • [a]R={x|xAaRx} • 称[a]R为a关于R的等价类，简称a的等价类，简记为[a]。 • 显然，等价类[a]R非空，因为a[a]R。

定理4.3.2设R是非空集合A上的等价关系，则 • ① a, bA，若aRb，则[a]=[b]。 • ② a, bA，若aRb，则[a]∩[b]=。 • ③ =A • 利用非空集合A及其上等价关系可以构造一个新集合—商集。

定义4.3.4设R是非空集合A上的等价关系，以及 • A/R={[a]R|aA} • 则称A/R为A对R的商集。 • 该定义表明了，商集A/R是以R的所有等价类为元素的集合。 • 与商集有密切联系的概念是集合的划分。下面给出划分的定义。

定义4.3.5设A是非空集合，若B={A1,A2,···,An}，且①Ai，②Ai∩Aj=，ij，③ =A，则称B是A的划分。称B中元素为A的划分块。 • 可见，商集A/R就是A的一个划分，并且不同的商集对应于不同的划分。反之，任给A的一个划分，B={A1,A2,···,An}，如下定义A上的关系R：

R= • 或 R={<a, b>|(Ai)(AiBa, bAi)} • 则不难证明R是A上的等价关系，且A/R就是划分B。因此，非空集合A上的等价关系与A的划分是一一对应的。

2．偏序关系 • 定义4.3.6设R是非空集合A上的关系，若R是自反的，反对称和传递的，则称R为A上的偏序关系。称有序对<A, R>为偏序集。 • 若R是偏序，<A, R>常记为<A, ≦>，为便于书写，将≦通常记为≤，读作“小于或等于”，因为“小于或等于”也是一种偏序，故不会产生混乱。所以，R是偏序，aRb就表成a≤b。

第四章 关 系