从理解到行动： 数学“四基”教学的若干思考

1. 从理解到行动：数学“四基”教学的若干思考 江苏省中小学教学研究室 董林伟

2. 一“双基”教学——中国数学教育的传统

3. “双基”的提出 • “双基”从1953年提出，到1956年写出之后，一直成为中国中小学数学教育的核心。 • 1963年教育部颁布的《中学数学教学大纲》首次明确提出“双基”教学的要求——“数学教学应当加强基本知识和基本技能的教学”。 • “双基”的一般理解：概念记忆与命题理解、证明技能与运算技能。

4. 外国人眼中看…… • Fundamentally，they are getting the basics right，particularly in math and sciences. We need to do same. Their kids are often aheag of ours. • ——Bill Powell.Five Things the U.S.Can Learn from China [J].Time,World,2009,20:50-57 • 从根本上看，中国的中小学教育做的是稳扎稳打的基础性工作，特别是数学和科学。这方面，中国的孩子已经走到了美国的前头，我们也应该这么做。 • ——美国前驻中国公使威廉.麦克希尔语。总统奥巴马访华前《时代周刊》2009年11月23日建议向中国学习5件事：充满活力、重视教育、赡养老人、多多储蓄、放眼未来

5. 国外华人认为…… • 做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来…… • ——前美国数学研究所所长、著名数学家陈省身

6. 国内专家认为…… • 华东师大张奠宙先生对数学 “双基”教学的目标的概括: • 快速、准确地进行数的四则运算，并掌握算法； • 快速、准确地进行式的运算，并掌握规则； • 准确记忆必要的数学定义和公式，并用来解决基本问题； • 逻辑地、形式地表述数学概念，并能注意到分类、数学命题的逻辑准确性； • 解题过程要求符合严格的逻辑推理规则，并能够清晰、形式化地表达； • 熟悉结题的套路，记住一些最基本的结题方法，并能够模仿迁移。 • （范良火等《华人如何学习数学》 • 江苏教育出版社2005年）

7. 中国“双基” 教学的特点

8. 1、明晰“双基”要求，落实教学目标 • 《大纲》明确了颇具可操作性的“了解、理解、掌握、灵活运用”四个层级目标； • 使用带有各种具体特征的行为动词对目标的具体含义做了详细的诠释，从而使各层级的目标要求的实现切实可行。 • 如“了解”层级描述的具体的行为动词有叙述、复述、默写、记住、知道、识别、解释、改写等。 • 具体来说，如复述有关数学知识的定义、定义、定理、法则、性质、公式；指出、认识具体数学符号，图形的直接意义；正确默写有关数学公式、法则；记住重要的常用数学符号；等等。

9. 《义务教育数学课程标准》（2011年版）的完善《义务教育数学课程标准》（2011年版）的完善 • 用了两类行为动词表述教学目标： • 一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语， • 另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。 • 在标准中，还使用了一些词，表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系。如： • 了解 ——知道，初步认识； • 理解——认识，会； • 掌握——能； • 运用——证明； • 经历——感受，尝试； • 体验——体会

10. 行为动词的基本含义 • 了解——从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。 • 理解——描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。 • 掌握——在理解的基础上，把对象用于新的情境。 • 运用——综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。 • 经历——在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。 • 探索——独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。

11. 例如：关于“有理数”教学目标部分的叙述 • （1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 • （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。 • （3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。 • （4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 • （5）能运用有理数的运算解决简单的问题。

12. 2、崇尚启发式教学，重视新知引入 • 不愤不启，不悱不发，举一隅而不以三隅反，则不复也。 • (不到他努力想弄明白却弄不明白的程度不要开导他，不到他心里明白却说不出来的程度不要启发他。如果他不能举一反三，就不要再反复给他讲例子了。) • ——中国古代教育思想家孔子 • 启发式教学是中国数学课堂教学典型的方法。启发式教学作为中国传统教学思想的瑰宝，有着悠久的历史渊源。 《学记》中的“道而弗牵，牵而弗达，达而弗抑”。精辟地概括了这一教学思想的本质，可以说，启发式教学是教师在讲解时永远应该弘扬的。 • (要引导学生而不要牵着学生走，要鼓励学生而不要压抑他们，要指导学生学习门径，而不是代替学生作出结论。) • ——（张奠宙“双基”教学论纲，数学教学2004（2））

13. 启发式教学的理解 • 启发式教学是指教师从学生已有的数学知识、经验、思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，以形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生主动、积极思维，引导学生学会思考，时学生的数学思维得以发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到生成教学目标。 • ——（韩龙淑等《数学启发式教学的基本特征》，《数学教育学报》2009，18（6）） • 启发式教学符合人的认知规律，与现代认知心理学、建构主义学习理论基本一致。

14. 体现之一：旧知引入新知 • 古人云：温故而知新。 • 引入新课是数学教师实施启发式教学中最为精心设计的部分。 • 注重由旧知引入新知，使学生由旧之中产生困惑或新情境，形成河激发认识新知、发现新知的欲望和行动，经历知识的发生、发展的过程。

15. 案例：函数概念的引入 • 从学生已有的知识基础出发，先复习初中学过的函数定义： • 师：我们在初中学过函数，请同学们回忆一下，我们学过哪些函数？ • 生：正比例函数y=kx(k≠0) • 反比例函数y= (k≠0) • 一次函数y=kx+b(k≠0) • 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) • 师：那么什么叫函数呢?(让学生回忆) • 初中学过的函数定义：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域. • 师：我们分析这个定义，可以看出，函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系，自变量x在自己的取值范围内取定一个值，y就由这种制约关系确定出唯一一个与x对应的函数值。

16. 体现之二——注重问题与提示 • 问题是数学的心脏，也是展开启发式教学的内在动因，是从未知到已知，从静态到动态的转换器，规定着教学的方向和特点。 • 问题的质量无疑也直接影响着启发的效能，决定着教学的成败。 • 提示与问题有着密切的联系。学生对问题的思考、探索活动免不了会遇到障碍与困惑，这就需要教师启发引导。启发引导的主要方式就是提示（语）。 • 提示语的使用方式和使用时机是启发式教学的关键，也是中国教师的一项教学基本功。

17. 案例：垂线 • （1）你能画出已知直线的垂线吗？ • 这样的垂线能画多少条？ • （2）过点P，你能画出已知直线的垂线吗？ • 这样的垂线能画多少条？ • 总结垂线的画法即“一靠、二过、三画、四标”。总结得出垂线的性质，并对“有且只有”作简单解释“存在唯一”。此性质还可简单的说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 • 教师提问：图3与哪一张图是类似的？ • （3）如果身边没有直角三角尺，你还能利用其它工具或材料过一点画已知直线的垂线吗？

18. 3、渗透思想方法，发展思维能力 • 受人以鱼，不如授之以渔。 • ——中国古训 • “学过的数学知识一段时间不用，很快就会忘掉，但是数学的精神、思维方法、研究方法和着眼点却随时随地地发挥作用，相伴终生。” • ——（日本数学家米山国藏） • 完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路。 • ——G.波利亚 • 2 0世纪60年代提出发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力等三大能力，信奉“数学是思维的体操”，强调在良好的双基基础上发展学生的思维能力。主要抓手就是在教学过程中渗透数学思想方法。

19. 中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化： • 1952年《中学数学教学大纲》首次提出要求学生掌握“数学的思想”； • 1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》中提出“把集合、对应等思想适当地渗透到教材中去。这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习做好准备。” • 1986年《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中改为“适当渗透集合、对应等数学思想。”

20. 中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化： • 1992年《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》“教学目的”规定“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、定理以及油漆内容所反映出来的数学思想和方法”。第2版中有首次提出“数学的内容、思想、方法和语言已经成为现代文化的重要组成部分”。 • 2000年《全日制高级中学数学教学大纲（试行修订版）》“教学目的”也规定“高中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。 • 2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》及2005年《普通高中数学课程标准（实验稿）》也分别体现出了要求学生获得“数学思想和方法”。

21. 教学特点 • 中国教师具有提炼数学思想方法的教学意识，习惯于结合数学思想方法进行概念理解、推理证明、解决问题，并善于对思想方法进行总结和反思。具体来说，思想方法的渗透的三个层次： • 宏观层面上的一般性数学思想——如分析综合、抽象概括、联想类比等； • 中观层面上的稍显具体的数学思想——如形数结合、分类讨论、特殊化与一般化、化归、函数、方程、几何变化、等价转化、逐步逼近等； • 微观层面上的具体解题方法——换元法、待定系数法、十字相乘法、配方法等。 • 不难看出，无论哪个层面上的数学思想方法所涉及的数学活动都是以数学思维活动为主的。

22. 4、突出师班互动，强化变式训练 • 大班课堂下的师班互动 • 班级授课制下的课堂教学是一个以人际互动为中心的社会过程。互动形式表现为师个、师组和师班等三种形式。 • 中国当前教学班级的人数较多（少则50人，多则60-70人），为避免大班环境下的的“满堂灌”、“一言堂”等呆板、低效的教学行为，形成了“提出问题——启发思考——全班讨论——回答问题——准确表达”等师生交替互动的课堂教学模式，实现了师生之间用数学语言进行交流、和谐对接，最后达成共识的活动过程，这是一个具有中国特色的创造。 • ——（张奠宙，关于中国数学教育的传统，人民教育2010（2））。

23. 变式训练 • 中国教师信奉：趁热打铁，熟能生巧，拳不离手，曲不离口。 • 新知识建立后，为了深层次理解新知识的意义而进行的巩固训练是中国数学双基教学最为突出的特色。概念、命题、公式、法则的理解与应用基本上是以各种层次的题目反复训练达到的。解题教学中的变式训练是中国数学教师最擅长的教学活动之一。 • 解题的训练是从不同角度、不同侧面、不同背景出发变更数学问题的条件、结论及呈现形式，使数学问题的非本质特征发生某些变化而本质特征保持不变。这样的变式训练能够使得学生在解题时的思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性因素。有时还可以将一道题进行适当的引伸和变化，为学生提供尝试发展的阶梯。 • 变式题的组合从不同的角度更换阶梯的技能和方法，有利于学生概括各种解题技能。正是在这样的教学活动中学生学会了解题，发展了自己的数学思维能力。

24. 二从“双基”走向“四基”的基本理解

25. 核心：创新人才的培养 • 要创新人才培养模式。“要遵循教育规律和人才成长规律，深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。” • 提出三个“注重”：注重学思结合、注重知行统一、注重因材施教。 • —— 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》（2010－2020年）

26. 中国的传统数学教育重视知识的传授和技能的训练，因此中国的孩子掌握基础知识和基本技能非常扎实。也正是这种过于重视“双基”教学，中国的数学教育常常陷入死记硬背、题海战术、提术战术，一定程度上加重了学生的学业负担，阻滞了学生的个性潜能和创造力的发展。中国的传统数学教育重视知识的传授和技能的训练，因此中国的孩子掌握基础知识和基本技能非常扎实。也正是这种过于重视“双基”教学，中国的数学教育常常陷入死记硬背、题海战术、提术战术，一定程度上加重了学生的学业负担，阻滞了学生的个性潜能和创造力的发展。 • 因此，重新审视和发展“双基”成为当今中国数学教育的新的目标和任务。 • 我们缺少了创造性的东西，如根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。 • ——史宁中教授

27. 1、目标：从“一维”到“三维”——关注“人的教育”1、目标：从“一维”到“三维”——关注“人的教育”

28. 过往的数学教育目标中的主要问题 • 双基的内涵不深，仅限于数和形的最基础知识； • 把能力的培养局限于三大能力，几乎没有考虑现代社会公民所必须的数学应用意识、推理能力、统计观念等数学素养，运用数学思想和方法解决问题的能力； • 促进学生终身可持续发展的情感态度与价值观只字未提。

29. 进入21世纪，中国基础教育数学课程首次确立了知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观的“三维目标” 。

30. 特点之一：将“情感与态度”作为重要目标 • 以往的数学课程把数学作为一个筛子，过多起到的是选择与淘汰的作用，过分注重数学学科自身体系的完整和学生对“双基”的理解掌握，在很大程度上忽视了学生情感态度的培养，其结果导致一批又一批的学生对数学丧失信心，从而对学习丧失兴趣，学生带着不健全的人格走向社会，这样的心态甚至影响着他们一生的发展。 • 将情感与态度作为数学教育的一个目标，其目的就在于明确了情感与态度对人的一生发展所具有的深远意义，以此来促进学生主动运用数学解决问题的动力和能力。

31. 特点之二：“三维目标” 具有内在的统一性 • 整体性——“知识和技能”维度的目标立足于让学生学会，“过程和方法”维度的目标立足于让学生会学，“情感、态度和价值观”维度的目标立足于让学生乐学，任何割裂 “三维目标”的教学都不能促进学生的全面发展。 • 交融性——三个维度“我中有你、你中有我” ： • 知识与技能目标是其他目标落实的载体，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提； • 过程与方法的重视能够为学习注入原创力； • 情感态度的关注能够为学习注入催化剂。

32. 2、内涵：从“双基”走向“四基”——关注“过程的教育”2、内涵：从“双基”走向“四基”——关注“过程的教育”

33. 《标准》改造了传统的“双基”教学，并将数学思想和活动经验作为学生数学学习的重要内容和目标要求，从而形成了新的 “四基”教学目标，为发展学生的创新思维和能力提供了理论依据和有效的途径与方法。

34. 演绎 归纳 基本思想 形式化 基础知识 基本技能 基本活动 经验 经验化 形式化的结果 情境化的过程 数学活动 “四基”的相互关系 • 在数学学习过程中，“双基”与基本活动经验是相互依存、相互促进的，也是可以相互转化的，在二者的不断融合、多次的实际应用中，通过反思提炼而形成的一种具有奠基作用和普遍指导意义的知识经验便是数学基本思想．由此，我们可以给出数学“四基”的如下关系结构： • 数学基础知识、基本技能、基本活动经验与基本思想既是数学学习活动的核心内容与主要目标，也是学生数学素养最为重要的组成部分，它们共同构筑了学生的数学知识结构。

35. 基点1：“知识” 是创新的重要基础 • 关于知识，心理学认为有两种： • 显性的知识和隐形知识。 • 克林顿的科学教育顾问根据 • 这一观点建立了一个冰山模型。 • 浮在水面上的尖尖看作是明确的知识（显性知识），解决 “什么是什么”和“为什么是这样”，主要是一些事实的知识和原理的知识，可以写在书上，是可以言传的。 • 还有一类在海平面之下你没有看到的叫默会知识（隐性知识）。默会知识解决两个问题：你怎么想的，你怎么做的。默会知识不能用语言来传播，是只能意会、领悟。一个人的创新能力要靠领悟力，理解力。

36. 默会知识有两个特征：一是成于个人经验，具有个体性，所以现在要强调学生主动地、自主地学习；二是嵌入于实践活动，贯穿于做的过程、实践的过程和研究的过程。默会知识具有很强的情景性，离开了上述过程把它提取出来，它就不存在了。默会知识有两个特征：一是成于个人经验，具有个体性，所以现在要强调学生主动地、自主地学习；二是嵌入于实践活动，贯穿于做的过程、实践的过程和研究的过程。默会知识具有很强的情景性，离开了上述过程把它提取出来，它就不存在了。 • 中国的传统的“双基”教学主要解决明确知识的学习问题，要培养高素质的、能想能做的人才，需要关注海平面以下支撑知识冰山的那一块默会知识的学习。

37. 基点2：“经验”是 “过程性知识” • “双基”的学习需要有一个意义建构的过程，此过程是以原有经验为基础的，又是从操作性的经验开始的，并且所建构的意义最终是以经验的形态储存学生的大脑当中的。 • 正如著名教育家陶行知所作的关于人获得知识过程的嫁接树枝的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机体部分”。 • 从知识的角度来看，“双基”是一种理性的、形式化的结果性知识，而经验则是一种感性的、情景化的过程性知识，它们各强调了数学知识的一个侧面，前者形成的是一种知识系统，而后者形成的是一种经验系统，二者的有机结合才能形成完整的数学知识结构．

38. 基点3：数学思想方法是知识之“魂” • 教育心理学家布鲁纳认为： • “不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”、 • “强调结构和原理的学习，能够缩小“高级” 知识和“初级”知识之间的间隙”。 • “学习基本结构就是学习实物是怎样相互联系的”。 • 对数学教育而言，这里的基本结构在一定意义上就是指数学的思想方法。

39. 数学思想方法与具体的数学知识属于上下位关系：当学生了解一些数学思想方法后再学习相关的知识，就属于下位学习。而心理学家认为下为学习的知识具有足够的稳定性，有利于固着新知识。数学思想方法与具体的数学知识属于上下位关系：当学生了解一些数学思想方法后再学习相关的知识，就属于下位学习。而心理学家认为下为学习的知识具有足够的稳定性，有利于固着新知识。 • 数学知识都是循序渐进的，但思想方法是不变的。有了数学思想方法，数学知识便不再是孤立的、零散的东西。苏联数学教育心理学家弗利德曼认为：思想和方法组成数学教学的全部内容的核心。

40. 2001年义务教育课程标准指出：通过数学教育，使学生能够获得“适应未来社会和进一步发展所必须的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。2001年义务教育课程标准指出：通过数学教育，使学生能够获得“适应未来社会和进一步发展所必须的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。 • 2003年普通高中数学课程标准中也把体会数学基础知识和基本技能“所隐含的数学思想方法”作为课程目标的第一条内容。 • 如果把知识看作是一颗颗珍珠，那么数学思想方法就是将这些珍珠变成美丽项链的那根“红线”。

41. 措施1：改造明确知识 • 在继承传统双基合理成分的同时： • 摒弃繁杂的计算、人为技巧化的难题和机械记忆的负担； • 增加适应信息化时代发展需要的算法内容，把统计与概率、向量、导数、数据处理、数学建模、使用现代信息技术学习数学作为新的基础知识和基本技能。

42. 措施2：经历过程，获得基本活动经验 • 在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应该让学生积累丰富而有效的数学活动经验。这些经验包括： • 检索、抽取数学信息的经验； • 选择和运用已有知识的经验、建立数学模型的经验； • 应用数学符号进行表达的经验，抽象化、形式化的经验； • 选择不同数学模型的经验，预测结论的经验； • 对有关结论进行证明的经验，调整、加工、完善数学模型的经验； • 对所得结果进行解释和说明的经验，巩固、记忆、应用所得知识的经验； • ……等等． • 这些经验的最基本的成分是演绎活动经验与归纳活动经验，我们称之为数学基本活动经验．

43. 措施2：经历过程，获得基本活动经验 • 我很有幸能够在两个具有不同文化背景国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。 • ——杨振宁先生《我的生平》 • 由于在我国的数学教学中过分强调“演绎活动”而削弱甚至忽视了“归纳活动”，因此，基本活动经验更加强调关于归纳活动的经验．加强归纳活动经验，可以帮助学生思考经验积累，问题提出的经验的积累，创新性活动的积累。

44. 措施3：淡化“技巧”，强化“基本思想” • 中国传统的数学教育比较注重指向实践层面上的具体的数学思想和方法，如形数结合思想、函数思想、换元法、待定系数法、数学归纳法等，因此成为以“解题基础训练”见长的中国数学教学的常规行为，而且比较富有成效。但是如果学习数学仅拘泥于具体的思想方法和解题技巧，就不能更高层次上认识、理解数学，也就难以掌握数学研究、甚至科学研究的一般方法。数学思想方法应该是带有普遍意义的、对数学知识和方法本质概括的、更为上位的一般思想。 • 史宁中教授认为，“基本思想”要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。他认为归纳思想与演绎思想在众多的数学思想中起着奠基性、引领性作用，是最上位的思想，这应当是整个数学教学的主线。如“化归思想”，在探索化归的方向、发现问题的结论、寻找解决问题的途径时，主要运用的是归纳思想；在链接“中间问题”、整理和表述化归结果时，则需运用演绎思想，而且化归的主要策略——“一般化”与“特殊化”本身就是归纳思想与演绎思想的具体体现．从形成过程来看，演绎思想主要是在“双基”的形式化训练中练就的，而归纳思想则主要是在“基本活动经验”的不断积累中逐步孕育的．归纳思想与演绎思想是数学思想体系的两翼，二者的协同发展，才能使数学知识健康、和谐地成长为学生的智慧．

45. 知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。数学教育应该是“过程的教育”。知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。数学教育应该是“过程的教育”。 • ——史宁中教授 • “过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，从而引导学生自己去感悟、去体会，帮助学生积累经验，最终掌握数学的思想和方法。

46. 3、教学:从“主导”走向“主体”——关注“主体的教育”3、教学:从“主导”走向“主体”——关注“主体的教育”

47. 十九世纪欧洲一个教育家将教师分为四等 • 第一等“平庸的教师”——平庸的教师是叙述，书上一句话，我重复叙述一句话； • 第二等“好的教师”——是讲解，能够讲，看懂了书上的，用自己的话讲出来； • 第三等“优秀的教师”——是示范，处处做样子给学生看，学生可以自己做一点； • 第四等“伟大的教师”——是启发，启发学生，让学生自己来学习。

48. 心理学认定教学的三个水平 • 经过二十世纪的充分研究，六十年代之后，严格地从理论意义上进行了分析，教跟学是三个水平。第一个水平叫记忆，第二个水平叫解释性的理解，第三个水平学生通过探索来理解。如果通俗地说，就是记忆水平、解释水平和探索水平。 • 记忆水平——要学生记住一些事实，记住一些操作的程序。 • 解释水平——很多老师都用的，老师讲清楚，讲正确，讲得有启发性，学生学会了，这是它的基本特点； • 探究水平——要让学生投入进去，自己来探索，加强他的自主性。

49. “双基”发展为“四基”，必须改造传统的教学，让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，在继续促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能的基础上，启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。“双基”发展为“四基”，必须改造传统的教学，让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，在继续促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能的基础上，启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。 • 因此，教学活动中，学生是主体，基本思想是主线，活动是形式。

50. （1）“主体”与“主导”的关系 • 学生是学习的主体。学生获得知识，可以通过接受学习，也可以通过自主探索等方式，但必须建立在自己的思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教学活动，才能在过程与方法、情感态度价值观方面得到发展。 • 教师是教学活动的主导者。教师作为组织者，应在准确把握教学内容和学生实际情况的基础上，确定合理的教学目标，设计好教学方案；教师作为引导者，应选择恰当的教学方式，设计合理的问题情境，因势利导，引导学生积极思考；教师作为合作者，应以平等、尊重的态度与学生共同参与、共同探索、共同分享教学活动成果。