Jacques Hadamard (1865 – 1963)

1. 8. Integrales • “La trayectoria más corta entre dos verdades reales pasa a través del dominio complejo." • Jacques Hadamard (1865 – 1963)

2. Integrales definidas (Tipo I): Sea R(sin , cos ) una función racional que no posee polos sobre la círcunferencia unidad C: sin2  + cos2  =1 |z|=1 donde {zk} son los polos de f(z) dentro del círculo unidad.

3. Ejemplo:

4. Tiene 3 polos, uno doble en z = 0 y dos simples en z = -1/2 y z = -2, pero este último está fuera del contorno C (circunferencia de centro el origen y radio 1)

5. Aquí tienes el cálculo explícito de los residuos:

6. Otro ejemplo: Hallar La integral no está entre 0 y 2π, pero podemos arreglarlo. Como el integrando es par:

7. Pero sólo el segundo está dentro del círculo unidad. Los polos son y La integral queda:

8. Otro ejemplo. Calcular: Solo este polo está en el círculo unidad.

10. Observa que también funciona el mismo cambio de variable si tenemos términos del tipo cos(n) y sen(n):

12. Integrales impropias: En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se hacen infinitos. Pueden definirse en términos de integrales propias (sumas de Riemann), siempre y cuando existan estos límites. Cuando el límite existe decimos que la integral converge. Y en caso contrario, que diverge. En este caso la integral existe. Pero en los dos siguientes no:

14. Por ejemplo: Sin embargo:

15. Nota sobre la simetría de los integrandos: Si f(x) es par, entonces: f(x) = f(-x) y: Si f(x) es impar, entonces: f(x) = -f(x) y I = 0. Aunque no lo digamos, a partir de ahora calcularemos siempre el Valor Principal, V.P.

16. Lemas de Jordan Camille Jordan (Lyon 1838 – París 1922)

17. 1er Lema de Jordan Sea f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) delimitado por θ1 ≤θ ≤θ2y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 r x

18. 2º lema de Jordan Sea f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) delimitado por θ1 ≤θ ≤θ2y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 r

19. 3er lema de Jordan Sea a R+y f(z) una función analítica (con la posible excepción de un número finito de singularidades) definida en el sector de circunferencia (r) del semiplano superior y  0, delimitado por 0 ≤θ1 ≤θ ≤θ2 ≤ y radio r tal que δ(r) θ2 θ1 Nota: Si a R-, el resultado sigue cumpliéndose para un sector de circunferencia (r) del semiplano inferior y ≤ 0, delimitado por - ≤θ1 ≤θ ≤θ2 ≤0. r

20. 4º lema de Jordan Sea f(z) una función analítica definida en el sector de circunferencia () del semiplano superior y  0: Si z = z0 polo simple  γ(ε) Demostración: Si z = z0 es un polo simple de f(z), la función se puede escribir de la forma: -ε +ε z0 Donde h(z) es una función analítica en un entorno de z0 y por lo tanto:

21. 0 Aplicando límites: Observemos que con el recorrido en sentido contrario da lo mismo con un signo menos De manera análoga, podemos hacerlo en el semiplano inferior; teniendo en cuenta el sentido en que lo recorremos.

22. LEMAS DE JORDAN • 1º • 2º • 3º • 4º Si z = z0 polo simple

23. Integral tipo 2 Con R(x) una función racional que no posee polos en el eje real, aunque puede tener polos no reales. Vamos a exigir: Por ejemplo, supón que R(x) = P(x)/Q(x) donde el grado de P(x) es n y el grado de Q(x) es m n + 2. En compleja: Por el primer lema de Jordan.

24. Por el primer lema de Jordan. 0

25. Ejemplo: El grado del denominador es 4 y del numerador 2. Tomamos C como un semicírculo cerrado de radio r que contiene a los polos: Dos polos en el semiplano superior Dos polos en el semiplano inferior Los del semiplano inferior quedan fuera del contorno C

26. Por el teorema del residuo:

27. Calcular Como el integrando es par, nos es más fácil calcular Pasando a complejos: y se cumple por tanto aplicamos el lema 1:

28. Evaluar: Los polos son: en el semiplano superior están z1 = ei/4 y z2 = e3i/4.

32. De otra manera... Calcular: integrando a lo largo del contorno de la figura (con R C R γ2 γ3 γ1 ; polos simples: sólo z0 es polo interior.

33. Sobre γ3, z = ix, por tanto dz = idx

36. Si existen polos en el eje real, sencillamente hay que tener en cuenta que su contribución es de i en vez de 2i. Por ejemplo:

37. Integral tipo 3 Siendo f(z) una función analítica en todo punto del semiplano cerrado , salvo quizá en un número finito de puntos. Si los puntos singulares no están sobre el eje real: Estando el sumatorio extendido a los puntos singulares de f(z) contenidos en el plano y > 0

38. En el caso de que la función f(z) posea puntos singulares sobre el eje real se utiliza el lema 4: Si z = z0 polo simple: γ(ε) z0 +ε -ε

39. Aclaraciones

40. (r) +r -r Pasemos el integrando a forma exponencial

45. C ib -R R -ib P3. Junio 2007 • Calcular la integral real: Respuesta. Calcularemos la integral

46. C ib -R R -ib Observemos que |eiaz| = |eia(x + iy)| = |e-y + iax| = |e-y|, que tiende a cero cuando y→0, lo que implica que z→0 y R→0; por ello, se toma el semiplano superior. Sea C el circuito del dibujo:

47. Observa que la función es par y estamos calculando el doble del valor I:

48. P1. Septiembre 2006 • (2.5 puntos) Calcular el valor de la integral Respuesta.

49. CR z1 -R R • Puntos singulares de

50. Tomando límites en (1): Por ser f analítica en γ y en su interior salvo en z1 (Tª de Cauchy-Goursat) Caso k > 0