Аппроксимация

1. Аппроксимация

2. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) • Система mлинейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ): • m-количество уравнений • n- количество неизвестных • x1, x2, …, xn-неизвестные, которые надо определить • a11, a12, …, amn-коэффициенты системы • b1, b2, … bm-свободные члены (известны)

3. СЛАУ в матричной форме • A- матрица системы • X- столбец неизвестных • B - столбец свободных членов • Система СЛАУ называется: • квадратной, если число m уравнений равно числу nнеизвестных • однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1=b2= … =bm=0)неоднородной если не все свободные члены равны нулю • совместной, если она имеет хотя бы одно решениенесовместной, если у неё нет ни одного решения • определённой, если она имеет единственное решениенеопределённой, если у неё есть хотя бы два различных решения • переопределённой, если уравнений больше, чем неизвестных

4. Методы решений СЛАУ • Если матрица системы квадратная, и ее определитель ≠0: • Метод Крамера– вычисление определителей матрицы • Метод Гаусса – последовательное исключение переменных • Матричный метод –метод решения через обратную матрицу • Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений больше количества неизвестных, т.е. m > n) • система не имеет единственного точного решения, но можно найти «оптимальный» вектор X • Метод наименьших квадратов (МНК)

5. Аппроксимация данных • Имеется набор экспериментальных данных yi, xi • Задача: аппроксимировать экспериментальные данные некоторой функцией f(xi) • например • Составим систему линейных уравнений:

6. Метод наименьших квадратов (МНК) • Коэффициенты аппроксимирующей функции вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от найденной аппроксимирующей функции было наименьшим • В матричной форме: • Метод наименьших квадратов:

7. Аппроксимация зависимости n(λ) • Дисперсионная формула - это аппроксимация, позволяющая описывать зависимость показателя преломления от длины волны n(λ) • Для каждой оптической среды определяется набор коэффициентов, значения которых позволяют восстанавливать показатель преломления Пример графика дисперсии для стекла К8

8. Дисперсионные формулы • Формула Герцбергера • Формула Зелмейера • Формула Шотта • Формула Резника

9. Аппроксимация по формуле Герцбергера • Система уравнений в матричном виде • – известные показатели преломления для длин волн • для вычислений достаточно шести известных значений n, но для повышения точности вычисления можно взять больше • m– количество известных показателей преломления (m ≥ 6) • – параметры уравнения Герцбергера

10. Матрица весов • Для учета погрешности умножаем обе части уравнения на диагональную матрицу весов: • элементы матрицы пропорциональны корню квадратному из погрешностей соответствующих показателей

11. Метод наименьших квадратов • Решение системы уравнений при помощи метода наименьших квадратов:

12. Лабораторная работа №4 • По формуле Герцбергера рассчитать показатель преломления стекла nλ для трех длин волн • Реализовать возможность расчета произвольного показателя преломления для длин волн от 0.3 до 2 мкм • результат расчета для стандартных длин волн можно проверить в каталоге стекла GlassBank (http://glassbank.ifmo.ru/rus/) • вследствие округления точные значения рассчитанных показателей преломления могут варьироваться в пределах 4-5 знака после запятой • Для работы с матрицами воспользоваться библиотекой Boost::uBLAS • Задание оценивается в баллах: • 8 баллов - выполнение работы • + 1 балл - выполнение работы в срок • + 2 балла - первому кто сдаст отчет