بنام خدا تئوری توالی عملیات (21516 ( Lecture 2 Chapter 2 Deterministic Models: Preliminaries

1. بنام خدا تئوری توالی عملیات (21516 ( Lecture 2 Chapter 2 Deterministic Models: Preliminaries

2. تئوری توالی عملیات (21516 ( بخش اول: مدل های قطعی

3. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم فصل دوم مدل های قطعی: پیش نیازها • مطالعه و تحقیق به روی مدل های قطعی زمانبندی از 4 دهه قبل آغاز شده است. • مدلهای متنوع ومتفاوتی در این زمینه موجود است. • نیاز به ایجاد استانداردی برای طبقه بندی مدل های موجود

4. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • در بخش اول این فصل نحوه استاندارد نمایش این مسایل (نه تمامی آنها) ارایه می شود. • در بخش دوم تعدادی مثال از مسایل مربوطه ارایه شده و تعدادی از نقاط ضعف استاندارد ارایه شده مورد بحث قرار می گیرد. • در بخش سوم کلاس های مختلف زمانبندیبر اساس میزان آزادی برنامه ریز برای تصمیم گیری تعریف می شود. • بخش چهارم به بحث در مورد پیچیدگی مسایل معرفی شده در قسمت اول می پردازد.

5. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم 2.1چار چوب ها و نمادها • در تمامی مسایل مورد بررسی زمانبندی تعداد ماشین ها(منابع) و کارها (فعالیت ها) محدود می باشند. • تعداد کارها معمولا با n و تعداد ماشین ها با mنمایش داده می شود. • هنگام اشاره به یک کار از نماد j و هنگام اشاره به یک ماشین از نماد i استفاده می شود.

6. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم چار چوب ها و نمادها (ادامه) • اگر کاری نیاز به پردازش و یا عملیات متعددی به روی ماشین های متفاوتی داشته باشد، آنگاه زوج مرتب (i , j) برای تعریف عملیات مذکور به کار می رود (عملیات مورد نیاز برای کار jام به روی ماشین iام). تعاریف مربوطه عبارتند از: • زمان پردازش هر عملیات :(Pij)زمان انجام عملیات برای کار jام به روی ماشین ماشین iام. در حالتی که زمان پردازش عملیات مستقل از ماشین باشد و یا عملیات فقط به روی یک ماشین انجام شود نماد i حذف می شود.

7. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم چار چوب ها و نمادها (ادامه) • زمان دسترسی به کارRelease date (rj): زمانی است که یک کار وارد کارگاه شده و آماده انجام عملیات به روی ماشین ها است. این زمان زودترین زمانی است که می توان عملیات پردازش را به روی یک کار آغاز نمود. • موعد تحویل Due date (dj): زمانی است که تولید کننده متعهد به تحویل کار به مشتری نهایی است. تحویل کار به مشتری پس از موعد تحویل امکان پذیر است ولی تولید کننده بایستی جریمه ای را بابت دیرکرد بپردازد. در مواردی که محصول بایستی در موعد تحویل تکمیل شود، به آن deadline گویند و زمان آن را بصورت نمایش می دهند.

8. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • وزن(weight) wj:وزن هر کار در واقع بیانگر میزان اهمیت هر کار نسبت به کارهای موجود در سیستم می باشد.به عنوان مثال این وزن می تواند بیانگر هزینه نگهداری هر کار بصورت ناقص در سیستم و یا ارزش کنونی آن باشد.

9. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • یک مساله زمانبندی عمومی می تواند با استفاده از سه نماد بصورت زیر تعریف شود: α| β| γ • α بیانگر وضعیت و شرایط ماشین یا منبع است و معمولا دارای یک نماد است. • βخصوصیات و جزییات نحوه پردازش و محدودیت های موجود را بیان می کند و ممکن است شامل هیچ نمادی نباشد و یا چندین نماد باشد. • γبیانگر تابع هدف مساله است و معمولا شامل تنها یک نماد می باشد.

10. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α: • حالت تک ماشین(1): • ساده ترین حالت ممکن است که معمولا حالت خاص سایر مسایل در نظر گرفته می شود. • این حالت Single Machine نام دارد (مثال فروشگاهی با یک باجه فروش).

11. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α: • حالت تک ماشین(1): M J5 J4 J3 J2 J1

12. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α (ادامه): • ماشین های مشابه بصورت موازی(Pm): • چندین ماشین یکسان بصورت موازی می توانند کار کنند. • فرض می شود که کار j بایستی توسط یکی از این ماشین ها انجام شود. • این حالت با عنوان Identical Machines in Parallel نامیده می شود. (مثال بانک های خصوصی مانند سامان و پارسیان). • اگر یک کار تنها باید به روی یکی از ماشین ها پردازش شود، آنگاه نماد Mj در قسمت βنمایش داده می شود. • مثال هایی دیگر در این زمینه صفوف بازرسی بدنی و یا سیستم های بانک و یا سیستم کنترل گذرنامه در فرودگاه ها می باشند.

13. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α (ادامه): • ماشین های مشابه بصورت موازی(Pm): M1 M2 J1 J2 J3 J4 M3 M4 M5

14. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • ماشین هایی بصورت موازی با سرعت متفاوت (Qm) : • ماشین هایی بصورت موازی با سرعت پردازش متفاوت • سرعت پردازش ماشین iام بصورت vi نمایش داده می شود. • زمان پردازش کار jام به روی ماشین iام بصورت Pij = Pj /viمحاسبه می شود. • چنین مسایلی متعلق به ماشین های مشابه می باشند. • این مسایل با عنوان Machines in Parallel with different speeds تعریف می شوند. • مثالی در این زمینه: تعمیرکاران مختلف ماشین که سرعت آنها بستگی به مهارت آنها دارد (مشتریان ثابت و منابع متحرک). • در این حالت سرعت پردازش هر ماشین مستقل از نوع کار است.

15. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α (ادامه): • ماشین هایی بصورت موازی با سرعت متفاوت (Qm) : M1 M2 J1 J2 J3 J4 M3 M4 M5

16. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • ماشین های متفاوت بصورت موازی (Rm) : • در این حالت ماشین هایی متفاوت بصورت موازی وجود دارند. • ماشین i می تواند کار j را با سرعتی معادل vij پردازش نماید. • زمان پردازش بصورت Pij = Pj /vijمحاسبه می شود. • اگرسرعت پردازش کارهامستقل کارها باشد، مساله به حالت قبلی تبدیل می شود. • این حالت با نام Unrelated Machines in Parallel معروف هستند. • در این حالت هر کار ممکن است توسط یکی از ماشین ها با سرعت بالاتری پردازش شود.

17. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α (ادامه): • ماشین های متفاوت بصورت موازی (Rm) : M1 M2 J1 J2 J3 J4 M3 M4 M5

18. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • حالت Flow shop(Fm) : • m ماشین بصورت سری وجود دارند. • هر یک از کارها باید توسط تک تک این ماشین ها با ترتیب مشخص و یکسان برای تمام کارها پردازش گردند. • پس از اینکه یک کار توسط یک ماشین پردازش شد وارد صف ماشین بعدی می شود. • عموما سیاست خدمت دهی در هر صف بصورت FIFO است. • در حالتی که سیاست FIFO در پردازش کارها برقرار باشد مساله با نام permutation flow shop نامیده می شود و در قسمت βکلمه prmu اضافه می گردد.

19. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α (ادامه): • حالت Flow shop(Fm) (ادامه) : J1 J2 J3 J4 M1 M2 M3 M4

20. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • حالت Flow shop(Fm) (ادامه) : • مثال هایی در این زمینه عبارتند از: • صف غذا در رستوران (غذای اصلی، دسر و... به ترتیب ارایه می شود. سپس مشتریان برای پرداخت به قسمت آخر مراجعه می کند). • صف ورود به استادیوم (خرید بلیت، بازرسی بدنی و ورود به استادیوم) • بازکردن حساب بانکی (ارایه درخواست، بررسی فرم ها، استعلام های مورد نیاز، تایید، چاپ دسته چک و...)

21. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • حالت Flexible Flow shop(FFc) : • وضعیت تعمیم یافته flow shop است که در هر مرحله (حداقل یکی از مراحل) حداقل دو ماشین بصورت موازی موجود باشد. • مسایل فرض می شود که c مرحله سری برای انجام کارها موجود است. • در هر مرحله تعدادی ماشین مشابه برای انجام هر مرحله بصورت موازی وجود دارد. • هر یک از کارها بایستی به ترتیب در هر مرحله توسط یکی از ماشین های موجود پردازش شده و به مرحله بعدی برود. • در هر مرحله سیاست خدمت دهی می تواند بصورت FIFS باشد یا نباشد.

22. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • حالت Flexible Flow shop(FFm) (ادامه) : M1 M3 Jn J3 J2 J1 M2 M4 M3 M1 M3

23. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • حالت Job shop(Jm) : • در یک مدل job shop با m ماشین هر یک از کارها دارای مسیر و فرایند پردازش خاص خود است. • یک کار می تواند برای پردازش به یکی از ماشین ها یک و یا چند مرتبه مراجعه نماید. • در حالتی که یک کار بایستی بیش ازیک مرتبه به یک ماشین رجوع کند، در قسمت βکلمه recrc به معنی recirculationاضافه می گردد. • نحوه خدمت دهی یک شرکت بیمه به مشتریان متفاوت می تواند بصورت Job shop باشد.

24. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • حالت Job shop(Jm) (ادامه) : J1: M1- M2- M3- M4 J2: M3- M2- M1- M4 J3: M3- M4 J4: M4- M2- M1- M3 J1,J2,J3,…, Jn M1 M2 M3 M4

25. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • حالت FlexibleJob shop(FJc) : • وضعیت تعمیم یافته job shop که در هر مرحله (حداقل یکی از مراحل) حداقل دو ماشین موجود باشد. • فرض می شود که c مرکز کاری برای انجام کارها موجود است. • در هر مرکز تعدادی ماشین مشابه برای انجام هر مرحله بصورت موازی وجود دارد. • هر یک از کارها بایستی به ترتیب در هر مرحله توسط یکی از ماشین های موجود پردازش شده و به مرحله بعدی برود. • در حالتی که یک ماشین بایستی بیش ازیک مرتبه به مرحله رجوع کند، در قسمت βکلمه recrc به معنی recirculationاضافه می گردد.

26. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • حالت FlexibleJob shop(FJc) : J1: C1- C2- C3- C4 J2: C3- C2- C1- C4 J3: C3- C4 J4: C4- C2- C1- C3 J1,J2,J3,…, Jn M1 M3 M1 M2 M3 M4 M3

27. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای α(ادامه): • حالت Open shop(Om) : • در این حالت فرض می شود که m ماشین موجود است. • هر یک از کارها بایستی توسط تمامی ماشین ها پردازش شود. • ممکن است زمان پردازش یک کار به روی تعدادی از ماشین ها صفرباشد. • هیج محدودیتی در زمینه توالی پردازش هر یک از کارها به روی ماشین ها وجود ندارد. • مسول زمان بندی بنا به ماهیت تابع هدف می تواند در مورد توالی انجام هر کاری به روی ماشین ها و توالی انتخاب ماشین ها به روی هر کار تصمیم گیری کند.

28. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم • حالت Open shop(Om) : J1: M1, M2, M3, M4 J2: M3, M2, M1, M4 J3: M3, M4 J4: M4, M2, M1,M3 J1,J2,J3,…, Jn M3 M1 M4 M2

29. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β: محدودیت های پردازش و محدودیت های تعیین شده برای βممکن است شامل چندین نماد شود. حالت های ممکن برای این بخش عبارتند از:

30. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β(ادامه): • زمان دسترسی به کارRelease date (rj): • اگراین سمبل در قسمت β نمایش داده شود به معنی این است که پردازش کار jام نمی تواند قبل از زمان دسترسی آغاز نشود. • در واقع نمایش این نماد به معنی این است که تمامی کارها در ابتدای افق زمان بندی در دسترس نمی باشند. • اگر چنین نمادی مشاهده نشد به معنی این است که پردازش کارمی تواند در هر زمانی آغاز شود. • برخلاف release date، در مورد due date سمبلی وجود ندارد و تنها وجود due date با مشاهده تابع هدف مربوطه در قسمت سوم قابل درک است.

31. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Sequence dependent setup times (sjk): • نماد sjk_بیانگر زمان مورد نیاز برای آماده سازی یک ماشین برای پردازش کار k است در حالی که کار قبلی به روی ماشین کار j باشد. • S0kزمان پردازش کار k است اگر به عنوان اولین کار پردازش شود. • Sj0 زمان تمیزکاری نهایی پس از کار k است اگر به عنوان آخرین کار پردازش شود. • اگر زمان های آماده سازی به روی ماشین ها متفاوت باشد، آنگاه نیاز به استفاده از یک نماد سه بعدی بصورت sijkمی باشد. • اگر نماد sjkدر قسمتβمشاهده نشد، به مفهوم این است که زمان های آماده سازی برابر صفر است و یا اینکه زمان آماده سازی مستقل از توالی کارها می باشد. در این حالت ها زمان آماده سازی به زمان پردازش اضافه می گردد (توصیه می شود که همواره زمان آماده سازی جدا منظور شود).

32. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Preemptions (prmp): • Preemption به این معنی است که لازم نیست کاری را که پردازش آن به روی یک ماشین آغاز شده تا پایان پردازش به روی ماشین نگهداری نمود. • می تواند در سیستم های تک ماشینی و یا چند ماشینی روی دهد. • یکی در چنین سیستمی برنامه ریز می تواند پردازش یک کار را به روی یک ماشین قطع و پردازش کار دیگری را به روی آنآغاز نماید. • در این حالت زمان پردازش شده یک کار تکمیل شده از بین نمی رود. • هنگامی که یک کار ناتمام مجددا به روی همان ماشین و یا ماشین دیگری بر می گردد، تنها نیاز به پردازش در طول زمان باقیمانده دارد. • برای چنین مسایلی در قسمت βعبارت prmp ظاهر می شود.

33. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Precedence constraints (prec): • این حالت برای مسایل تک ماشینی و یا با ماشین های موازی اتفاق می افتد. • آغازپردازش یک یا چند کار بسته به این است که کار دیگری انجام شده باشد. • حالت های مختلف آن عبارتند از: • هر کار حداکثر دارای یک کار پیشنیاز و حداکثر یک کار بعدی باشد. چنین محدودیت هایی یک زنجیره (chain) نامیده می شوند. • اگر هر کاری دارای حداکثر یک کار بعدی باشد، intree نامیده می شود. • اگر هر کاری دارای حداکثر یک کار پیشنیاز باشد، outree نامیده می شود. • اگر کلمه prec در اینقسمت مشاهده نشد بهمعنی این است که هیچ کاری پیشنیازی ندارد.

34. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Breakdowns (brkdwn): • این حالت هنگامی اتفاق می افتد که ماشین ها بطور مستمر در دسترس نباشند. • در مطالب این بخش زمان در دسترس بودن ماشین ها بصورت قطعی مشخص می باشد. • در هر لحظه تعداد ماشین های در دسترس درهر مرحله برای مرحلههایدارای چندین ماشین مشخص است.

35. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Machine eligibility restrictions (Mj): • این حالت هنگامی اتفاق می افتد که m ماشین بطور موازی در دسترس بوده ولی تنها تعدادی از ماشین ها قادر به پردازش کار jام باشند. • مجموعه Mj شامل ماشین هایی است که قابلیت پردازش کار jام را دارند. • اگر این سمبل در قسمت βمشاهده نشد، به معنی این است که می توان کار j را به روی هر ماشینی در هر مرحله انجام داد.

36. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Permutation (prmu): • حالتی که کارهای ورودی به هر ماشین مطابق سیاست FIFO صورت گیرد. • در واقع حالتی است که ترتیب پردازش کارها در تمامی ماشین ها یکسان باشد. • معمولا در حالت flow shop مهم است.

37. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • No-wait (nwt): • حالتی است که در آن یک کار نبایستی در حین پردازش میان دو ماشین متوقف شود. • معمولا در سیستم flow shopمشاهده می شود. • در این حالت زمان آغاز کار به روی ماشین اول بایستی تا جایی که کار بدون توقف از همه ماشین ها عبور کند به تاخیر انداخته شود. • سیستم نورد مثال خوبی در این زمینه است. • این سیستم نیز تحت سیاست FIFO کار می کند. • مثالی دیگر کارخانه های لبنیاتی تولید بستنی، ماست و... می باشند.

38. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برای β (ادامه): • Recirculation (recrc): • حالتی است که در یک سیستم job shop و یا flexible job shop یکی از کارها از یکی از ماشین ها یا یکی از مراکز کار بیش از یک مرتبه عبور کند. • به جز موارد ذکر شده، موارد دیگری نیز می توانند در این قسمت (برای β ) اضافه شوند: • pj=p به معنی این است که زمان پردازش همه کارها مساوی است. • dj=d به معنی این است که موعد تحویل همه کارهامساوی است.

39. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف: γ • در تمامی حالت های مختلف موجود برای تابع هدف تلاش بر این است که به نحوی زمان تکمیل کارها به حداقل برسد. • زمان تکمیل کار jام به روی ماشین iام با Cij نمایش داده می شود. • زمان تکمیل نهایی کار jام در سیستم (و خروج آن) با Cjنمایش داده می شود. • همواره تابع هدف بصورت تابعی از زمان تکمیل کار ها بیان می شود.

40. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • در مواردی هدف حداقل سازی میزان دیرکرد از موعد تحویل کارهاست. میزان تاخیرهر کار بصورت زیر تعریف می شود: Lj= Cj - dj Tj = max (Cj - dj ,0)= max (Lj ,0)

41. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • توجه داشته باشید که مقدار Tardiness یک کارنمیتواند منفی باشد. • در چنین مسایلی شاخص Unit Penalty برای هر کار بصورت زیر تعریف می شود: • زمان تاخیر در کار(lateness)، میزان Tardiness و unitPenalty سه پارامتراصلی برای ارزیابی مسایل دارای موعد تحویل می باشند.

42. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم

43. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت Makespan (Cmax): • این حالت بیانگراین است که هدف مساله یافتن بهترین ترتیب انجام کارها به منظورانجام تمامی کارهادرسریعترین زمان ممکن است (حداقل سازی زمان انجام آخرین کار). • این ضابطه بهره وری ماشین آلات رابطورقابل ملاحظه ای افزایش میدهد. • کاربرد این تابع هدف در مواقعی است که سفارش ها بصورت گروهی تحویل مشتری می گردند. در چنین حالتی زمان تکمیل آخرین کار زمان قابل تحویل محموله سفارش است.

44. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت Maximum Lateness (Lmax): • دراین حالت سعیبراین است که حداکثرتاخیر (Lateness) کارها حداقل شود. Lmax= Min{max{L1,L2,…,Ln}

45. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت Total completion time (∑Cj): • معمولاهرچه مدت نگهداری محصولات افزایش یابد هزینه های نگهداری افزایش خواهد یافت. لذا حداقل سازی مجموع زمانهای تکمیل کار ها به کاهش هزینه تولید منجر می شود. • این ضابطه به حداقل سازی هزینه های تولید منجرمی شود. • حداقل سازی مجموع زمان های تکمیل کارها درادبیات scheduling با عنوان flow time شناخته می شود. لذابه این مسالهTotal flow time گفته می شود. • در مواردی که هر سفارش به محض تکمیل تحویل مشتری می شود این تابع هدف کاربرد دارد.

46. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت Total weighted completion time (∑WjCj): • معمولاهرچه مدت نگهداری محصولات افزایش یابد هزینه های نگهداری افزایش خواهد یافت. لذا حداقل سازی مجموع زمانهای تکمیل کار ها به کاهش هزینه تولید منجر می شود. • این ضابطه به حداقل سازی هزینه های تولید منجرمی شود. • کارهای باهزینه نگهداری بالاتر ضریب بالاتری دارند. • حداقل سازی مجموع زمان های تکمیل کارها درادبیاتscheduling با عنوان flow time شناخته می شود. لذابه این مسالهweighted flow time گفته می شود. • در مواردی که هر سفارش به محض تکمیل تحویل مشتری می شود این تابع هدف کاربرد دارد.

47. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت Total weighted Tardiness (∑WjTj): • معمولا یکی از هدف های واقعی درحل مسایل توالی عملیات می باشد. • حالت Weighted number of tardy jobs (∑WjUj) • این ضابطه نه تنها در فعالیت های آکادمیکی کاربرد دارد بلکه به عنوان یک معیارمناسب دردنیای واقعی نیز به کارمی رود. • نحوه محاسبه آن بسیارآسان می باشد.

48. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • موارد بیان شده همگی تابع هدف های معمولی در حل مسایل توالی عملیات می باشند. • درکلیه این مسایل مقدارتابع هدف با اتمام کارها بصورت غیرنزولی افزایش می یابد (مقدار تابع هدف با تکمیل کارهای بیشتر افزایش می یابد). • مسایلی وجود دارند که تابع هدف آنها بصورت معمولی نیست.

49. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • به عنوان مثال در مواردی درصورت حاضرشدن یک کارقبل از موعد نیز جریمه ای به آن تعلق می گیرد(غذا، مواد فاسد شد نی و ...). دراین حالت اگر Ejبرابرمیزان زود حاضرشدن کار jام باشد: Ej= max (dj - Cj, 0) • بنابراین در حالت کلی تابع هدف برای حداقل سازی tardiness and earlinessبصورت زیرمی باشد:

50. تئوری توالی عملیات (21516 (- فصل دوم حالت های مختلف برایتابع هدف γ(ادامه) : • حالت عمومی تراین مساله زمانی است که برای earliness و tardiness هرکار ضریب متفاوتی بصورت زیر درنظرگرفته شود: