АНАЛИЗ БОЛЬШИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1. АНАЛИЗ БОЛЬШИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ Ю.М. НЕЧЕПУРЕНКО МФТИ ФИВТ, кафедра ФТИ 2012

2. СОДЕРЖАНИЕ 1. Компьютерные вычисления 2. Линейные системы управления 3. Анализ соединений в СБИС 4. Крыловские методы редукции 5. Сбалансированное усечение 6. Методы решения уравнений Ляпунова 7. Решение задач оптимального управления 8. Граничное уравнение уравнением теплопроводности 9. Управление течениями жидкости и газа 10. Задача управления течением в канале 11. Анализ нестационарных моделей ядерных реакторов, учитывающих запаздывающие нейтроны 12. Расширенный список литературы

3. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПК(10Gflops) Рабочие станции(100Gflops) Кластеры(10Tflops) процессор регистры • точность • скорость • память кэш MATLAB FORTRAN C++ ОП диск

4. РАБОТА С ПАМЯТЬЮ При m>100 замедления не будет

5. ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ • параллельные вычисления • конвейерные вычисления

6. ТОЧНОСТЬ Довольно часто используют 128 разрядную арифметику

7. ТОЧНОСТЬ или режим накопления:

8. ТОЧНОСТЬ Более аккуратные вычисления:

9. МАТРИЦЫ

10. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Матричные операции: Квадратные матрицы:

11. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Решение линейных систем: Вычисление собственных значений и векторов: Использование разложений:

12. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Трехдиагональная матрица: Ленточные Блочно-ленточные матрицы (сжатие ленты, LU-разложение, быстрые прямые методы). Разреженные общего вида (методы Арнольди, Ланцоша, Дэвидсона, CG, GMRES и т.п. с предобусловливателями на основе неполного LU разложения, мултигрида, ортогональных многочленов, SOR и т.п.).

13. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ LINPACK, EISPACK 1960-1970-е LAPACK с конца 1980-х детальная проработка алгоритмов, максимальный учет специфики матриц, BLAS SPARSE_PACK с 1990-х MKL c конца 1990-х MATLAB с конца 1990-х попытка освободить пользователя от необходимости думать как решается задача

14. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ • решение систем с прямоугольными и плохо обусловленными матрицами • сжатие информации • построение ортонормированных базисов Алгоритм Голуба-Кахана

15. ПРОЕКТОР

16. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ – управление (вход) –наблюдение(выход) – состояние

17. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ • Выделение линейных фрагментов • Линеаризация относительно стационарного состояния в предположении малости управления Нелинейная часть

18. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Некоторые приложения • Анализ соединений в интегральных схемах • Управление гидродинамическими течениями и ламинарно-турбулентным переходом • Стабилизация летательных аппаратов Задачи • задано u(t),найти y(t) • задано y(t),найти u(t) • u(t)=0 и задано y(t) (t>0), найти x(0) • задано x(0), найти оптимальное u(t) (t<0)

19. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Теорема 1. Если пучок sB-A – регулярный, т.е. то найдутся невырожденные матрицы такие, что – конечный спектр – нильпотентная матрица: –индекс (бесконечного собственного значения)

20. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

21. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

22. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

23. КОРРЕКТНОСТЬ Задано Найти Ограниченное решение этой задачи существует и единственно при любой ограниченной интегрируемой функции u(t) , если не имеет общих точек с мнимой осью. В этом случае где - МАТРИЦА ГРИНА

24. КОРРЕКТНОСТЬ Задано Найти Ограниченное решение этой задачи существует и единственно при любой ограниченной интегрируемой функции u(t) , если не имеет общих точек с мнимой осью. В этом случае где - ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА

25. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ Преобразование Фурье: Выражаем через ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ: - qxp матрица рациональных функций. Множество конечных собственных значений пучка sB-Aсодержит множество всех конечных полюсов передаточной функции H(s).

26. СВЯЗЬ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНЫМ И ВРЕМЕННЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ В спектральном пространстве Во временном пространстве

27. УСТОЙЧИВОСТЬ И ПАССИВНОСТЬ Система устойчива по Ляпунову, если Система асимптотически устойчива по Ляпунову, если Система пассивна, если она не генерирует энергию. Пример: пустьлинейная система – электрическая схема, – векторнапряжений в портах, –вектор токов втекающих в эти порты. Тогда –потребляемая мощность, а условие пассивности- это для любых u и y.

28. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НЕИДЕАЛЬНОСТИ СОЕДИНЕНИЙ В СБИС НА ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ • Неидеальность проводников, используемых для соединений, приводит к паразитным • сопротивлениям • емкостям • индуктивностям • Что приводит к • задержкам • шумам • потреблению дополнительной энергии ДИЗАЙН СВЕРХ БОЛЬШИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ (СБИС) 1. Синтез 2. Раскладка 3. Анализ … анализ соединений …

29. СВЕДЕНИЕ К RLC СХЕМАМ Электромагнитный анализ: 1. Выделить порты 2. Сгенерировать эквивалентную схему, моделирующую отклик проводников в этих портах близкие проводники тонкие проводники участки поверхности, на которых скапливается заряд

30. - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ RLC СХЕМЫ Законы Ома: + Закон Кирхгофа + + -

31. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ RLC СХЕМЫ В общем случае (с учетом взаимных индуктивностей – RLСM схема и внутренних сопротивлений катушек индуктивности) получим систему

32. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ RLC СХЕМЫ Учет взаимных индуктивностей:

33. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ RLC СХЕМЫ - регулярные разрешимы относительно

34. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

35. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Во временном пространстве В спектральном пространстве

36. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ Один дизайн приводит к тысячам, дифференциально-алгебраических систем с матрицами порядков от сотен до десятков миллионов. Без существенного уменьшения размерности этих систем проанализировать их за реальное время невозможно. Размерности этих систем не раздуты искусственно. Электромагнитный анализ выполняют тщательно отработанным панельным методом. К полученным схемам обязательно применяют предварительное преобразование, позволяющее существенно уменьшить число элементов (технология TICER и др.). Без дополнительной информации об использовании этих схем уменьшить их сложность невозможнои соответственно невозможно уменьшить размерности отвечающих им дифференциально- -алгебраических систем.

37. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ Задана линейная система управления + задан диапазон актуальных частот и/или определено некоторым образом множество входных сигналов во временном пространстве.

38. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ Задачи малого размера: технология плотных матриц (LAPACK) ноутбук, ПК Задачи среднего размера: редукция на основе технологии разреженных матриц ноутбук, ПК Задачи большого размера: редукция на основе технологии разреженных матриц параллельный компьютер

39. РЕДУКЦИЯ ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕДУКЦИИ • Близость наблюдений исходной и редуцированной систем при одинаковых управлениях из заданного класса (оценка погрешности!) • Сохранение наиболее важных свойств исходной системы (устойчивость, пассивность) • Вычислительная эффективность алгоритма • Интерпретируемость редуцированной системы ВИДЫ РЕДУКЦИИ • Спектральная • Временная • Алгебраическая

40. СПЕКТРАЛЬНАЯ РЕДУКЦИЯ

41. ВРЕМЕННАЯ РЕДУКЦИЯ

42. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ Выбираем

43. НАИБОЛЕЕ УСПЕШНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕДУКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРОМЫШЛЕННОМ ДИЗАЙНЕ PACT(спектрально-алгебраическая для RC схем) PRIMA (алгебраическая Крыловская для RCLM схем) Эти редукции сохраняют пассивность, достаточно эффективны в реализации, включают контроль погрешности, результаты редукции допускают схемотехническую интерпретацию. Число элементов схемы уменьшается в 10-10000 раз. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИДЕИ: Сбалансированное усечение Спектрально-алгебраическая редукция для RCLM схем Временная редукция

44. КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ

45. МОМЕНТЫ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ - моменты в окрестности бесконечности (марковские коэффициенты) - моменты в окрестности нуля (тейлоровские коэффициенты)

46. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ - ортопроектор на подпространство при СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ:

47. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ - ортопроектор на подпространство при СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ:

48. КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (PRIMA) Выбираем

49. КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (PRIMA) - моменты в окрестности нуля (тейлоровские коэффициенты) - моменты в окрестности нуля редуцированной системы

50. КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (PRIMA)