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第七章 状态变量分析法. 7.1 连续时间系统状态方程的建立 7.2 连续时间系统状态方程的求解 7.3 离散时间系统状态方程的建立 7.4 离散时间系统状态方程的求解 7.5 系统的可控制性与可观测性 7.6 状态矢量的线性变换. 7.1 连续时间系统状态方程的建立. 7.1.1 由系统的直接形式信号流图建立状态方程 描述单输入单输出 n 阶连续系统输入 f ( t ) 与输出 y ( t ) 关系的微分方程为. (7.1-1). 算子方程为. (7.1-2). 对应的 n 阶连续系统的转移算子函数为. (7.1-3).
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第七章 状态变量分析法 7.1 连续时间系统状态方程的建立 7.2 连续时间系统状态方程的求解 7.3 离散时间系统状态方程的建立 7.4 离散时间系统状态方程的求解 7.5 系统的可控制性与可观测性 7.6状态矢量的线性变换
7.1 连续时间系统状态方程的建立 7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程 描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为 (7.1-1)
算子方程为 (7.1-2) 对应的n阶连续系统的转移算子函数为 (7.1-3) 对应的系统函数为 (7.1-4)
1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程的一般方法 （1）从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi， p-1的输入端为 由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量也称其为相位状态变量。 （2）列出积分器输入节点 与状态变量xi和输入f(t)的关系， 并用矩阵表示。 （3） 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵方程表示。
用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)）， 然后再列积分器输入节点的方程: (7.1-5)
输出为 (7.1-6)
将式(7.1-5) 、 (7.1-6)分别写成矩阵形式 (7.1-7)
或 (7.1-8)
式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7.1-1 系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1、x2、, xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为 (7.1-9)
式中 (7.1-10)
式(7.1-9)是图8.1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与B矩阵相同，而C与D矩阵会有变化，尤其是b0=0，可使C的元素计算大大简化。例如 (7.1-11) 式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1)为零的特例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为 C=［1 0 … 0 0］， D=0 (7.1-12)
若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n，则 (7.1-13) 其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为 C=［bnbn-1 …bn-m 0 … 0］， D=0 (7.1-14)
由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式(7.1-7) , (7.1-8)或式(7.1-13) 、 (7.1-14) 可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令
于是得到状态方程与输出方程为 (7.1-15)
特别的转移算子为 的二阶系统， 其基本信号流图及状态变量如图7.1-2所示， 其状态方程与输出方程为
在图7.1-1中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如图7.1-3所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为 (7.1-16a)
将式(8.1-16a) 、 (8.1-16b)分别写成矩阵形式 (7.1-17a)
由式(8.1-17a)、(8.1-17b)可见，相同的系统函数与信号流图， 状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态方程与输出方程不同。式(8.1-17a)与式(8.1-17b)式也可简化为
式中 (8.1-18)
式(8.1-9)是用矩阵矢量表示状态方程与输出方程的一般形式，即 式中的系数矩阵的一般形式为 (8.1-19)
式(8.1-9)、(8.1-19)是单输入单输出系统的状态表示与参数矩阵，其中的A是n×n的方阵，B是n维列矩阵，C是n维行矩阵，d是单个常数。 更一般地，若n阶连续系统有m个输入信号f1 ,f2 , … ,fm，L个输出信号y1 ,y2 , … ,yL，则状态方程与输出方程分别用矩阵矢量表示为 式中
2. 参数矩阵的物理意义 本书主要分析单输入单输出的情况，由图8.1-4可以讨论A、 B、C、D的物理意义，图中x、x是状态变量。 A矩阵是由状态矢量x到状态矢量x所有反馈支路增益组成的矩阵，其中aij表示由第j个状态变量节点xj到第i个状态变量xi的支路增益。 B矩阵是由输入f(t)到状态矢量x所有支路增益组成的矩阵， 其中bi表示由输入节点到第i个状态变量的xi支路增益。 . . . . .
C矩阵是由状态矢量x到输出节点所有支路增益组成的矩阵， 其中ci表示由状态变量xi(t)到输出节点所有的支路增益。 D矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时， D=d, 表示输入节点直通输出节点的支路增益。 若网络中两节点之间没有支路，则其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为1。 状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部的结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。 对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态方程与输出方程，或四个参数方程。
例8.1-1已知某系统的系统函数H(s)为 建立其系统的状态方程与输出方程。 解 上式的H(s)可以改写为 系统的信号流图及状态变量（从左至右排）如图8.1-5所示。
根据信号流图及式(8.1-13)、 (8.1-14)可直接写出状态方程与输出方程 输出为
上例的系统函数 ，与状态方程互换的MATLAB程序与结果如下： b=［8 -4 11 -2］; a=［1 -1.25 0.75 -0.125］; ［A B C D］=tf2ss(b,a)
答案 • A = • 1.2500 -0.7500 0.1250 • 1.0000 0 0 • 0 1.0000 0 • B = • 1 • 0 • 0 • C = • 6 5 -1 • D = • 8 • 结果与例7.1-1相同。
7.1.2 由系统的级联或并联形式信号流图建立状态方程 例8.1-2 已知某系统的传输函数 求其级联与并联形式的状态方程。 解（1） 级联
输出为 将上式分别写成矩阵形式
由式(8.1-21)可见，级联形式（均为单极点）的A矩阵是三角阵，其对角元素为系统的特征根。 由直接形式系统函数求系统级联形式的状态方程与输出方程， 要将直接形式系统函数转变为级联形式的系统函数，画出系统级联形式的信号流图，对状态变量排序，再列出状态方程，…，这种方法工作量不小。利用MATLAB程序我们可以方便地将直接型系统函数H(s)转变为级联形式的系统函数，再转变为级联形式的状态方程。
例8.1-2 的系统级联形式的状态方程的MATLAB程序与结果如下 b=［0 1 2 0］; a=［1 8 19 12］; ［z p k］=tf2zp(b,a) %直接形式转换为零、 极点增益形式 ［A B C D］=zp2ss(z p k) %零、 极点增益形式转换为状态变量形式
答案 • z = • 0 • -2 • p = • -4.0000 • -3.0000 • -1.0000 • k = • 1
A = -1.0000 0 0 1.0000 -7.0000 -3.4641 0 3.4641 0 B = 1 0 0 C = 1.0000 -5.0000 -3.4641 D = 0
（2） 并联 图 8.1-8 例8.1-2并联形式的系统流图
从图中可以看出 输出为
将上式分别写成矩阵形式 (8.1-22)
7.1.3 由电路建立状态方程 由电路建立状态方程，首先应选定状态变量，一般选电路中独立的电容两端电压与独立的电感电流为状态变量。状态变量的个数与系统的阶数相同，等于独立动态元件的个数。状态变量确定后，利用KVL或KCL列出电路方程，经化简整理写出电路的状态方程。 例8.1-3电路如图8.1-9所示，列写电路的状态方程，若输出为电感电压vL(t)与回路电流i(t)，求其输出方程。
