Maatriksid

1. Maatriksid

2. Tabeli ääristusena kasutatakse ka ümar- või nurksulge. Kui kontekstist on selge maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n, siis kasutatakse ka tähistust Maatriksi mõiste Definitsioon (mn)-maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. (1) (iga i ja j korral ).

3. Arve nimetatakse maatriksi elementideks. Definitsioon Diagonaalmaatriksiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille elemendid väljapool peadiagonaali võrduvad nulliga. Maatriksi mõiste Kõigi reaalsete (mn)-maatriksitehulka tähistatakse Definitsioon Maatriksit nimetatakse n-ndat järku ruutmaatriksiks, kui tema ridade arv m võrdub tema veergude arvuga n. Seejuures öeldakse, et arvud asuvad maatriksi Apeadiagonaalil ja arvud asuvad maatriksi Akõrvaldiagonaalil.

4. Diagonaalmaatriksi üldkuju: ja sellist diagonaalmaatriksit tähistatakse Definitsioon Maatriksi (1) reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid ................................... Maatriksi reavektorid

5. Definitsioon Maatriksi (1) veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid ................................... Maatriksit reavektoritega ja veeruvektoritega on võimalik esitada ka kujul või Maatriksi veeruvektorid

6. Definitsioon (mn)-maatriksite ja summaks nimetatakse (mn)-maatriksit , kus kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Definitsioon Maatriksi korrutiseks skalaariga nimetatakse maatriksit , kus kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksite liitmine ja skalaariga korrutamine Osutub, et nii defineeritud liitmine ja skalaariga korrutamine rahuldavad vektorruumi aksioome.

7. Maatriksite korrutamine (I) Definitsioon Maatriksi mille reavektoriteks on korrutiseks maatriksiga mille veeruvektoriteks on nimetatakse maatriksit kus tähistab vektorite skalaarkorrutist.

8. . . . Maatriksite korrutamine (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. 1) Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. üldiselt 2) Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. 3) Liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. 4) Kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis iga korral. Maatriksite korrutise omadused Maatriksite korrutamisel peab esimeseks teguriks oleva maatriksi veergude arv võrduma teiseks teguriks oleva maatriksi ridade arvuga. Maatrikskorrutise omadused

10. Definitsioon m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit Teoreem Kui , siis Ühikmaatriks

11. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid (maatriksi A read on paigutatud maatriksi AT veergudeks), s.t. iga i ja j võimaliku väärtuse korral Maatriksi transponeeritud maatriks on Maatriksite transponeerimine Definitsioon Maatriksi A transponeeritud maatriksit tähistatakse ka A´. Näide

12. 1) iga maatriksi A korral; 2) iga maatriksi A, B korral; 3) iga ja maatriksi A korral; 4) iga ja korral; Maatriksite transponeerimise reeglid Teoreem Maatriksite transponeerimisel kehtivad järgmised reeglid: Tõestus (reegel 4) Seega mida oligi vaja näidata.

13. Maatriks Sümmeetriline ja kaldsümmeetriline maatriks Definitsioon Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A ja kaldsümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = -A Näide on sümmeetriline; on kaldsümmeetriline maatriks. maatriks

14. B C Sümmeetriline ja kaldsümmeetriline maatriks Lause Iga ruutmaatriks on esitatav sümmeetrilise maatriksi ja kaldsümmeetrilise maatriksi summana. Tõestus Suvaline ruutmaatriks A on esitatav kujul Maatriks B on seega sümmeetriline. Maatriks C on seega kaldsümmeetriline. Lause on tõestatud.

15. A B +(-3)·III ·(1/3) Ridade elementaarteisendused Definitsioon Maatriksi Aridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: • maatriksi A mingile reavektorile liidetakse maatriksi A mingi teise rea nullist erineva arvu kordne; 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi nullist erineva arvuga. Tähistus: Näide

16. +2·I ·(1/2) Veergude elementaarteisendused Maatriksi veergude elementaarteisenduste definitsioon on analoogne ridade elementaarteisenduste definitsiooniga. Näide

17. Teoreem Kui maatriks on saadud maatriksist mingite reavektorite elementaarteisenduste teel ja maatriks on saadud m-ndat järku ühikmaatriksist samade ridade samade elementaarteisenduste teel, siis Kui maatriks on saadud maatriksist veeruvektorite elementaarteisenduste teel ja maatriks on saadud n-ndat järku ühikmaatriksist samade veergude samade elementaarteisenduste teel, siis Elementaarteisendused

18. Iga nullmaatriksist erinev maatriks on ridade elementaarteisendustega viidav kujule 1. rida 2. rida k. rida, kus maatriksi viimases m – k reas on kõik arvud nullid, esimeses k reas aga esinevad k-ndat järku ühikmaatriksi kõik veerud mistahes järjekorras. Elementaarteisendused Teoreem Nullid

19. Iga nullmaatriksist erinev maatriks on veergude elementaarteisendustega viidav kujule kus maatriksi viimases n – k veerus on kõik arvud nullid, esimeses k veerus aga esinevad k-ndat järku ühikmaatriksi kõik read mistahes järjekorras. Elementaarteisendused Teoreem

20. Iga nullmaatriksist erinev maatriks on ridade ja veergude elementaarteisendustega viidav kujule kus maatriksi ülal vasakus nurgas on k-ndat järku ühikmaatriks, mujal on aga kõik arvud nullid. Elementaarteisendused Teoreem