第三部分龙格－库塔方法

如果在上连续，在 内可导，则在内至少存在一点，有其中称作区间上的平均斜率。问题：计算近似值的关键是如何选择算法确定平均斜率？第三部分龙格－库塔方法一、设计思想加权平均斜率。 1、微分中值定理 2、分析差商的定义：于是有

取点的斜率 作为区间上的平均斜率，精度低。取点和的斜率值和的算术平均值作为区间上的平均斜率. 3、欧拉格式 4、改进的欧拉格式于是：其中

在区间 上取几个点的斜率，然后计算它们的平均斜率，以此可以构造出更高精度的格式，这就是Runge-Kutta算法的基本思想。有令和处的斜率值分别为和。其中：如何确定，使得所构造的格式具有二阶精度? 5、Runge-Kutta算法的基本思想二、二阶Runge-Kutta 条件问题

令其中为待定参数。由改进的欧拉格式有处的预报值：又由原方程（1），通过计算可以得到处的另一个斜率值：

定理：当 时，Runge-Kuta格式（12）具有二阶精度。特别地，当时，有其中为待定参数。于是，有二阶Runge-Kutta格式改进欧拉格式

除和外，再增加一个点 ，于是有: 令其中为待定参数，为同（12）式。又由方程得到处的另一个斜率值：利用的平均斜率来预报处的值三、三阶Runge-Kutta

特别地，当 时，有定理：适当选取参数，可以保证Runge-Kuta格式（14）具有三阶精度。这类格式统称为三阶龙格－库塔格式，下列库塔格式就是其中之一。

注释1：可以用Taylor展示证明格式（14）具有三阶精度，并且还可以用类似的方法得到四阶及其以上的更高阶精度的Runge-Kutta格式。注释1：可以用Taylor展示证明格式（14）具有三阶精度，并且还可以用类似的方法得到四阶及其以上的更高阶精度的Runge-Kutta格式。

四、四阶Runge-Kutta 按照数学学习一般方法，继续上面的做法，经过较复杂的数学推理和计算，可以导出四阶龙格－库塔格式，这里有一个较有用的四阶格式。

注释3：四阶精度的计算框图。

例3 求解以下初值问题 解：分析 1、确定步长h＝0.2，由四阶龙格－库塔格式，有具体形式如下注意比较例1的步长增加了1倍。

0.1 1.1000 1.0954 0.6 1.5090 1.4832 0.2 1.1918 1.1832 0.7 1.5803 1.5492 0.3 1.2774 1.2649 0.8 1.6498 1.6125 0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6733 0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321 四阶龙格－库塔格式计算结果欧拉格式计算结果

注释2：通过例题3（p105-106）分析比较发现，虽然四阶精度格式比三阶精度格式的计算量要大，但是如果把计算步长增大，在得到相近近似值的情况下，其计算量几乎相同，这说明算法选择的重要性。注释2：通过例题3（p105-106）分析比较发现，虽然四阶精度格式比三阶精度格式的计算量要大，但是如果把计算步长增大，在得到相近近似值的情况下，其计算量几乎相同，这说明算法选择的重要性。注释3：通过例题3（p105-106）分析比较发现，虽然四阶精度格式比三阶精度格式的计算量要大，但是如果把计算步长增大，在得到相近近似值的情况下，其计算量几乎相同，这说明算法选择的重要性。

五、变步长的Runge-Kutta方法 分析：单从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。因此，同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。在选择步长时，需要考虑的问题：如何衡量和检验计算结果的精度；如何依据所判定的精度来处理步长。

注释4：Runge-Kutta方法的实质就是通过几个点上的预报斜率值估算需求点的斜率值。而没有用到已给点上的斜率值，从而造成了重复计算，为了充分利用前面已给点的斜率值，亚当姆斯（Adams）方法解决了这个问题。注释4：Runge-Kutta方法的实质就是通过几个点上的预报斜率值估算需求点的斜率值。而没有用到已给点上的斜率值，从而造成了重复计算，为了充分利用前面已给点的斜率值，亚当姆斯（Adams）方法解决了这个问题。

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