محمد حسین پورکاظمی

2. محمد حسین پورکاظمی تهیه کننده :دکتر خديجه احمدی آملي درس: رياضيات 1 (اقتصاد) 4 واحد

3. فصل اول: مجموعه ها (60 اسلايد) فصل سوم: توابع (89 اسلايد) فصل چهارم: مشتق(89 اسلايد) فصل پنجم: كاربردهاي مشتق( 31 اسلايد)

4. فصل اول مجموعه ها

5. اهداف كلي هدف كلي از ارائهي اين فصل آشنايي با مفاهيم اوليهي نظريهي مجموعهها است. سپس به بيان اصول دوگاني و استقراء رياضي ميپردازيم و مقدماتي از آناليز تركيبي را ارائه خواهيم داد.

6. اهداف رفتاري در انتهاي اين فصل از دانشجو انتظار مي­رود به اهداف زير نائل گردد: 1) تشخيص دهد چه دسته اي از اشياء تشكيل يك مجموعه مي دهند. 2) بتواند اشتراك، اجتماع و تفاضل دو مجموعه را بدست آورد. 3) مجموعه هاي اعداد طبيعي، صحيح، گويا، اصم و حقيقي را بشناسد. 4) بتواند حاصل ضرب دو مجموعه را محاسبه كند.

7. 5) اصل استقراء رياضي را بداند و بتواند آن را در حل مسائل به كار بندد. 6) دستور دو جمله اي را بداند. 7) بتواند اصول جمع و ضرب را به كار بندد. 8) بتواند در حل مسائل تركيبياتي اصول ترتيب، ترتيب با حروف مكرر، تبديل 9) جايگشت با حروف مكرر، تركيب، تركيب با تكرار حروف را به كار گيرد.

8. تعريف مجموعه عبارت است از يك دسته از اشياء يا اشخاص يا حروف يا اعداد ... كه كاملاً مشخص شده باشند. هر يك از عوامل متشكله مجموعه را يك عنصر يا عضو مجموعه خوانند. مثال : 1. مجموعه اعداد 1، 3، 7 و 9. 2. مجموعه افرادي كه در ايران زندگي مي كنند.

9. ⋘☟⋙ مجموعه ها را عموماً به دو طريق نشان مي دهند. ممكن است يك مجموعه را با معرفي و نوشتن تمام عناصر آن مشخص كرد.مانند مجموعه {9و 7و 5و 3و 1} A = ممكن است يك مجموعه را به وسيله تعريف خصوصيات اجزاي آن مشخص كرد. مانند {x عددي فرد و مثبت و كوچكتر از 11 است : x} A = {x عددي صحيح فرد است : x} B =

10. ⋘☟⋙ اگر عنصر a به مجموعه اي مانند A تعلق داشته باشد، يعني A شامل a باشد، در اين صورت مي نويسند و مي خوانند a متعلق است به A. عدم تعلق a را به مجموعه A به صورت نشان مي دهند.

11. مجموعه هاي محدود و نامحدود اگر تعداد عناصر يك مجموعه عدد محدود معيني باشد مجموعه را محدود خوانند، مانند مجموعه روزهاي هفته، ولي اگر تعداد عناصر يك مجموعه نامحدود باشد مجموعه را نامحدود گويند.

12. تساوي دو مجموعه دو مجموعه B , A را مساوي گويند اگر دقيقاً داراي عناصر همانندي باشند. تساوي دو مجموعه را به صورت A=B نشان مي دهند. عدم تساوي دو مجموعه را به B≠A نشان مي دهند.

13. مجموعه تهي مجموعه اي را كه داراي عنصري نباشد مجموعه تهي يا خالي خوانند و آن را با ɸ نشان مي دهند. مثلاً مجموعه افرادي كه قد آنها 4 متر است.

14. زيرمجموعه اگر هر عنصر متعلق به مجموعه A متعلق به مجموعه B نيز باشد، بنابه تعريف، A را زيرمجموعهB نامند و به صورتنشان مي دهند و مي خوانند A زيرمجموعه B است، در زبان رياضي علامت ∀ به معني «هر چه باشد» و علامت ⇒ «نتيجه مي دهد،» خوانده مي شود. با توجه به معناي اين علائم، مجموعه A را زيرمجموعه B مي خوانند اگر :

15. ⋘☟⋙ اگر A زيرمجموعه A ≠ B , B باشد، A را زيرمجموعه محضB خوانند. در نتيجه دو مجموعه B , A برابرند، اگر و فقط اگر، هر يك زيرمجموعه ديگري باشند، يعني :

16. مجموعه مجموعه ها مجموعه اي، كه عناصرش خود مجموعه باشند، را مجموعه مجموعه ها يا كلاس خوانند، مانند ، كه يك كلاس است. بنا به تعريف، مجموعه اي كه عناصرش تمامي زيرمجموعه هاي يك مجموعه باشند، مجموعه تواني آن مجموعه ناميده مي شود. مثلاً اگر{3و2و1} A = باشد مجموعه تواني آن، كه با P (A) نمايش داده مي شود، برابر است با :

17. مجموعه جهاني اگر عناصر يك مجموعه را در نظر بگيريم مي توان اين مجموعه را زيرمجموعه يك مجموعه كلي تر دانست. اين مجموعه كلي را مجموعه جهاني ناميده. با U نشان مي دهيم. مثلاً اگر{3و2و1} A = باشد، A را مي توان زيرمجموعه اعداد طبيعي دانست، لذا مي توان U را مجموعه اعداد طبيعي فرض كرد.

18. عمليات بر روي مجموعه ها بر روي مجموعه ها، عمليات اتحاد و اشتراك و تفاضل و حاصل ضرب را تعريف مي كنيم.

19. يا اتحاديا اجتماع دو مجموعه اجتماع دو مجموعه A ,B عبارت از مجموعه اي است كه تمام عناصرش به مجموعه A يا مجموعه B و يا به هر دو مجموعه تعلق داشته باشند. اتحاد دو مجموعه را مي توان به صورت زير نشان داد :

20. B A u اتحاديا اجتماع دو مجموعه

21. اشتراك اشتراك دو مجموعه B , A مجموعه اي است كه عناصرش به هر دو مجموعه تعلق داشته باشند.

22. B A U اشتراك

23. تفاضل تفاضل دو مجموعه B ,A مجموعه اي است كه عناصرش به A تعلق داشته، ولي به B تعلق نداشته باشند.

24. U تفاضل A B A-B

25. مجموعه مكمل بنا به تعريف، مكمل مجموعه A، مجموعه اي است از عناصر مجموعه جهاني U كه به A تعلق نداشته باشند. و يا به طور ساده . اگر توجه شود، داريم :

26. U A مجموعه مكمل

27. ⋘☟⋙ اجتماع و اشتراك سه مجموعه داراي خاصيت شركت پذيري است، يعني : خاصيت توزيعي اشتراك نسبت به اتحاد خاصيت توزيعي اشتراك نسبت به اتحاد همچنين قوانين دومورگان عبارتند از :

28. افراز مجموعه‌ها تعريف : فرض مي كنيم A مجموعه اي ناتهي باشد، مجموعه P را كه عناصر آن زيرمجموعه هايي از A مي باشد يك افراز مي خوانند، اگر و اگر تمامي عناصر P را در نظر گيريم داريم :‌

29. مثال فرض كنيد {7و6و5و4و3و2و1} A = باشد. {7و3} = 3R و {6و2} = 2R و {5و1} = 1R و .{4} = 0R مجموعه {3R و 2R و 1R و 0R } يك افراز A است.

30. اصل دوگاني اگر در يك گزاره درباره نظريه مجموعه ها، علامت ⋂ به ⋃ و ɸ به U تبديل گردد، گزاره جديد نيز برقرار مي باشد و به دوگان اولي موسوم است. مثلاً بنا به خاصيت شركت پذيري اتحاد داريم: طبق اصل دوگاني، دوگان اين رابطه عبارت است از : و بر همين اساس، اگر بخواهيم صحت يك گزاره در مورد نظريه مجموعه ها را ثابت كنيم مي‌توانيم صحت دوگان آنها را ثابت نماييم.

31. حاصل ضرب مجموعه ها جفت يا زوج مرتب: بنا به تعريف، يك زوج مرتب مشتمل بر دو عنصر b , a بوده كه به (a ,b) نشان داده مي شود. A را مولفه (يا مختص) اول و b را مولفه (يا مختص) دوم مي نامند. دو زوج مرتب هنگامي و فقط هنگامي با هم برابرند كه مختصات متناظر آنها نظير به نظير با يكديگر برابر باشند.

32. ⋘☟⋙ بنا به تعريف nگانه مرتب مشتمل بر n عنصر 1a و 2a و ... anاست و آن را به صورت (anو ... 2a و 1a) نشان مي دهند. (a1,a2,…,an) = (b1,b2,…,bn) ⇔ ai=biوi= 1,2,…,n

33. حاصل ضرب مجموعه ها دو مجموعه B , A مفروضند. بنا به تعريف، حاصل ضرب اين دو مجموعه كه آن را به B × A نشان داده و A در B مي خوانيم برابر است با :

34. اصل استقراي رياضي اصل استقراء : اگر n عدد صحيح و P (n) خاصيتي مربوط به اعداد صحيح باشد : (الف) فرض مي كنيم (1)P صحيح است. (ب) فرض مي كنيم P (k) صحيح بوده و k > 1است، ثابت مي كنيم كه (1+k) P صحيح است، در اين صورت خاصيت P (n) براي تمامي اعداد وجود دارد.

35. مثال به روش استقراء ثابت كنيد كه داريم :

36. تعريف نماد جمع بندي با استفاده از اصل استقراء‌ نماد ∑زيگما كه حرفي يوناني است، براي جمع به كار مي رود. كه i را عامل گردان زيگما مي نامند 1 را كرانه پايين و n را كرانه بالاي زيگما گويند. به جاي عامل گردان i مي توان هر نماد ديگري را به كار برد.

37. تعريف نماد ضرب با استفاده از اصل استقراء‌ نماد ضرب نيز به صورت زير تعريف مي شود : كرانه پايين (1=i) مي تواند هر مقدار كمتر از n يا مساوي آن باشد.

38. ⋘☟⋙ اين دو نماد خواص زير را دارا مي باشند : اگر k عددي ثابت باشد : اگر k عددي ثابت باشد :

39. ⋘☟⋙ اگرباشد : اگر كرانه هاي دو زيگما يا دو نماد ضرب مساوي باشند، داريم :‌

40. فاكتوريل تعريف : به كمك استقراء، براي عدد صحيح غيرمنفي n، عدد n!(فاكتوريل n) به صورت زير تعريف مي شود. با توجه به تعريف فوق به كمك استقراء‌ مي توان نشان داد :

41. تعريف به ازاي هر عدد صحيح n , m كه باشد، عدد طبيعي”به ضريب دوجمله اي نيوتن موسوم است و به و يا ” نمايش داده مي شود.

42. دستور دوجمله اي قضيه : به ازاي هر عدد طبيعي n داريم :

43. بسط دو جمله اي (a+b)n

44. تعميم دستور دو جمله اي در برخي از كتاب ها ضريب بسط فوق را به صورت زير نشان مي دهند:

45. آناليز تركيبي اصل جمع: اگر A و B دو مجموعه محدو و مجزا باشند، يعني A ⋂ B = ɸبه طوري كه تعداد عناصر مجموعه A، n(A)= m1 و تعداد عناصر مجموعه B، n(B)=m2 فرض شود، در اين صورت داريم:

46. ⋘☟⋙ اصل ضرب: فرض مي كنيم مجموعه هاي محدود A داراي n(A) عضو و B، داراي n(B) عضو باشند، در اين صورت B×A مجموعه محدودي است كه داراي n(A).n(B) عضو مي‌باشد.

47. تعريف آناليز تركيبي آناليز تركيبي مجموعه عملياتي است كه روي حرف يا اعداد، اشياء يا اشخاص، ... انجام مي شود و مقصود از آن تعيين تعداد گروه هايي است كه از تركيبات مختلف اين حروف با اعداد يا اشياء يا اشخاص ... به دست مي آيد. اين عمليات به سه دسته تقسيم مي شود؛ تبديل، ترتيب و تركيب.

48. ترتيب تعريف: مجموعه‌اي‌مشتمل برnعنصر متمايز را درنظرمي‌گيريم،ازاين عناصر، (r ≤ n) r عنصر را انتخاب نموده و به صورت هاي مختلف مي نويسيم. حالات ممكن را ترتيب n حرف r به r مي نامند و آن را به P (n,r) نمايش مي دهند.

49. مثال با شش حرف e,d,c,b,a و f به چند طريق مي توان سه حرف انتخاب نموده و آنها را به صورت هاي مختلف نوشت؟ بنابر اصل ضرب، حالات ممكن برابر است با 120=4×5×6 يعني داريم، 120=(6,3)P.

50. قضيه اگر n حرف متمايز داشته باشيم تعداد ترتيبات n حرف r به r برابر است با: