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第二章 连续系统的时域分析. 线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分. 2.1 线性连续系统的描述及其响应. 2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 1. 元件约束 VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1) 电阻 R ， uR(t)=R · iR(t) ；. (2) 电感 L ， (3) 电容 C ， (4) 互感 ( 同、异名端连接 ) 、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。.
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第二章 连续系统的时域分析 • 线性连续系统的描述及其响应 • 冲激响应和阶跃响应 • 卷积积分
2.1 线性连续系统的描述及其响应 • 2.1.1 系统的描述 • 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 • 1. 元件约束VAR • 在电流、电压取关联参考方向条件下： • (1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；
(2)电感L， • (3)电容C， • (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。
2. 结构约束KCL与KVL • 下面举例说明。 • 例2―1 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。
解 由KVL，列出电压方程 对上式求导，考虑到
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 • u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)) 整理上式后，可得
从上面例子可得到两点结论： • (1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。 • (2)输出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。 • 这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。
2.1.2 微分方程的经典解 • 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可写为 • y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 • f (m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1，…，a1，a0和bm， • bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有 • y(t)=yh(t)+yp(t)
1.齐次解 • 齐次解满足齐次微分方程 • y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 • 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为 • λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解 • (2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解
(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解 • yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt • (4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解
2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。
3.完全解 • 根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为 当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根时，方程的全解为
如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为上式，将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数，可得方程组如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为上式，将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数，可得方程组 • y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0) • y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0) • … • y(n-1)(0)=λn-11c1+ λn-12c2+…+λn-1ncn+y(n-1)p(0)
2.1.3 零输入响应和零状态响应 • 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应，用yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 • y(t)=yx(t)+yf(t)
在零输入条件下，式(2―7)等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应 • 式中cxi为待定常数。 • 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应
式中cfi为待定常数。 • 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为： 式中
在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在t=t0时刻，有在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在t=t0时刻，有
2.2 冲激响应和阶跃响应 • 2.2.1 冲激响应 • 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。
1.冲激平衡法 • 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。 • 例： • 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t)。
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 • 由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为
特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有 即 解得A=2，因此，系统的冲激响应为 求导后，对含有δ(t)的项利用冲激信号δ(t)的取 样特性进行化简，即
2.等效初始条件法 • 系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。 • 例： • 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 • y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0 • 试求系统的冲激响应h(t)。 • 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 • h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设 • h′(t)=Aδ(t)+Bu(t) • 因而有 h(t)=Au(t) • 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有 • Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t) • Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) • 解得 • A=2，B=-6
3.其它方法 • 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程。
2.2.2 阶跃响应 • 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。 阶跃响应示意图
如果描述系统的微分方程是式 • y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 • f (m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t) ， • 将f(t)=u(t)代入，可求得其特解 • 上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(n≥m)为
2.3 卷积积分 • 2.3.1 信号分解为冲激信号序列 • 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。
从上图可见，将任意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当Δτ很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当Δτ→0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即从上图可见，将任意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当Δτ很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当Δτ→0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即
上式只是近似表示信号f(t),且Δτ越小，其误差越小。当Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当Δτ→0时，kΔτ→τ，Δτ→dτ，且上式只是近似表示信号f(t),且Δτ越小，其误差越小。当Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当Δτ→0时，kΔτ→τ，Δτ→dτ，且 故式在Δτ→0时，有
2.3.2 卷积积分法求解零状态响应 • 在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。 • 由上式可得
系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，为系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，为
2.3.3卷积积分的性质 • 1.卷积积分的代数性质 • 卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。 • 1)交换律 由上式说明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其零状态响应不变。
2) 分配律 • (f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) • 上式的实际意义如下图所示，表明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。
3)结合律 • 设有u(t)，v(t)，w(t)三函数，则有 • u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) • 由于 此时积分变量为τ
此时积分变量为λ，而从上式来看，对变量τ而言，λ无异于一常数。可引入新积分变量x=λ+τ，则有τ=x-λ,dτ=dx。将这些关系代入上式右边括号内，则有此时积分变量为λ，而从上式来看，对变量τ而言，λ无异于一常数。可引入新积分变量x=λ+τ，则有τ=x-λ,dτ=dx。将这些关系代入上式右边括号内，则有 交换积分次序，并根据卷积定义，即可得
4)卷积的微分特性 • 设 • y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) • 则 • y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) 证明
5) 卷积的积分特性 • 设 • y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) • 则 • y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) • 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分。
6) 卷积的等效特性 • 设 • y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) • 则 • y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t) • 证明卷积微分特性，有 • y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) • 将上式对时间t积分，即可证明式 • y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)
上式说明，通过激励信号f(t)的导数与冲激响应h(t)的积分的卷积，或激励信号f(t)的积分与冲激响应h(t)的导数的卷积，同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。 • 上述性质4)、5)、6)可以进一步推广，其一般形式如下： • 设 • y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) • 则 • y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t)
7) 卷积的延时特性 • 若 • f(t)*h(t)=y(t) • 则有 • f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2)
2. 奇异信号的卷积特性 • 含奇异信号的卷积积分具有以下特性。 • 1)延时特性 • f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0) 理想延时器及其冲激响应
