ICA 2006 Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Thomas Møller, Mikkel

ICA 2006 Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality • Realizace úmrtnosti v kmeni • Fluktuace úmrtnosti • Trend Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Realizace úmrtnosti v kmeni - diversifikovatelná složka rizika - pro identické (a nezávislé) pojistky Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Realizace úmrtnosti v kmeni - problémy: nehomogenní portfolio (především různě vysoké částky) - kvantil 99% Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality • Reálné portfolio • Friends First, 3 683 pojistek Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality • Realizace úmrtnosti v kmeni • - problémy: • korelace mezi výší důchodu a úmrtností • (vyšší důchod ~ nižší pravděpodobnost úmrtí) •  analýza úmrtnosti dle pojistných částek Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Úmrtnost populace - mladší věky (očištěno o trend ?!)  pouze malá závislost výkyvů Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Úmrtnost populace - vyšší věky (očištěno o trend ?!)  vysoká závislost výkyvů („suffer at the same time“) Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality • Ovlivňuje špatný rok úmrtnost v dalších letech? • 3 hypotézy • „efekt stáda“ • úmrtí slabších jedinců „posiluje“ přeživší celek • „efekt životaschopnosti“ • kromě zvýšené úmrtnosti též podlomené zdraví přeživších • „nezávislost“ • - porovnávány roky před a po vrcholu úmrtnosti, žádný efekt nepřevážil Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality • Modelování úmrtnosti • Smith-Olivier Model • p(x,s,t) … pravděpodobnost přežití z času t -1 do t • očekávaná v čase s • p(x,s,t) = p(x,s-1,t)d(x,s,t) , • kde • d(x,s,t) = G(s) b(x,s,t) • G(s) … Gamma rozdělení • b(x,s,t) … zaručuje, že p(x,s,t) je martingal • náhodná procházka faktoru změny úmrtnosti Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality změna trendu i volatility Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality •  prosté prodloužení trendu nemusí být dostačující • „riziková přirážka“ • průzkum, zda nejsou důvody ke změně v dohledné době • Modelování trendu • Vyšší pravděpodobnost zlespšení v náhodné procházce faktoru úmrtnosti • ? omezení shora současnou úmrtností Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk • Model úmrtnosti a pojistného portfolia • Model úrokové míry • Kombinovaný model Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Intenzita úmrtnosti v čase t pro osobu s počátečním věkem x intenzita úmrtnosti v čase 0, kladný stochastický proces, časově nehomogenní Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model Wienerův proces při přirozené pravděpodobnosti P Itôovo lemma  také odpovídá CIR modelu Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Pojistné portfolio - n pojištěných s počátečním věkem x počet zemřelých v čase t a dříve intenzita procesu , zjednodušeně Nechť pak je martingal (vzhledem k přirozené prsti P) Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Časově homogenní model okamžité úrokové míry po přechodu k rizikově neutrální pravděpodobnostní míře Q Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk • Předpoklad nezávislosti a , • Přechod k rizikově neutrální pravděpodobnostní míře • uvažuje cenu rizika • úrokové míry • změny intenzity úmrtnosti • realizace úmrtnosti v portfoliu Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Navrženy ceny rizika tak, že za Q připomenutí - za P cena rizika realizace úmrtnosti a tedy Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Výplatní funkce … součet plateb na intervalu [ 0,t ] Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Výplatní funkce … součet plateb na intervalu [ 0,t ] Jednorázové pojistné Plnění v případě dožití času T Plnění v případě smrti Intenzita placení pojistného Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk „Tržní rezerva“ = Tržní hodnota závazku z pojištění v čase t platí Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

Thomas Møller, Mikkel Dahl: Valuation and Hedging of Life Insurance Liabilities with Systematic Mortality Risk Literatura - papers.ica2006.com Aktuárský seminář 27.10.2006 Pavel Finfrle

ICA 2006 Tony Jeffery: Necessary Conditions for Internal Models with regard to Annuitant Mortality Thomas Møller, Mikkel