230 likes | 322 Views
TODENNÄKÖISYYSLASKENTA. Mika Rantanen 2011. Peruskäsitteitä. Tapahtumaa, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi . Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E
E N D
TODENNÄKÖISYYSLASKENTA Mika Rantanen 2011
Mika Rantanen 2011 Peruskäsitteitä • Tapahtumaa, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. • Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi. • Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E • Jos kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä, niitä kutsutan symmetrisiksi.
Mika Rantanen 2011 Klassinen todennäköisyys • Jos joukko A on k:n suotuisan alkeistapauksen joukko otosavaruudessa E, jossa on n(A) kpl symmetrisiä alkeistapauksia, niin tapahtuman A klassinen todennäköisyys on E A
Mika Rantanen 2011 Todennäköisyyden ilmoittaminen • Todennäköisyys ilmoitetaan desimaalilukuna 0-1 tai prosenttilukuna 0%-100% • Varman tapauksen todennäköisyys on 1 (100%) • Mahdottoman tapauksen todennäköisyys on 0 (0%)
Mika Rantanen 2011 esimerkki • 3-lapsisen perheen tyttöjen lukumäärä: E = {ppp, ppt, ptp, tpp, ptt, tpt, ttp, ttt}
Mika Rantanen 2011 Komplementtitapaus • Tapauksen komplementtitapaus ”ei ” on
Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä • Korttipakasta otettu kortti ei ole pata? • Nopanheitossa neljällä heitolla saadaan ainakin yksi kuutonen? • 5-lapsisessa perheessä on ainakin yksi tyttö?
Mika Rantanen 2011 Kertolaskusääntö riippumattomille tapahtumille • Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat, jos tapahtuman B todennäköisyys ei riipu siitä onko A sattunut vai ei. • Riippumattomien tapahtumien A ja B todennäköisyys voidaan laskea kertomalla tapausten todennäköisyydet.
Mika Rantanen 2011 esimerkkejä • Millä todennäköisyydellä saadaan korttipakasta peräkkäin otetuista korteista • Kaksi ässää, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin • Kaksi ässää, kun korttia ei laiteta noston jälkeen takaisin
Mika Rantanen 2011 esimerkkejä • Millä todennäköisyydellä saadaan • korttipakasta ensimmäiseksi kortiksi pata ja toiseksi ässä, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin? • Nopanheitossa neljä ykköstä peräkkäin?
Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö • Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiä, ne ovat toisensa poissulkevia eli niillä ei ole samoja alkeistapauksia • Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu, kun tapaukset A ja B ovat erillisiä: E B A
Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä a. Nopanheitossa saadaan 1 tai 2? P(1 tai 2)= P(1) + P(2) =1/6+1/6 =0,17+0,17 =0,33 b. Korttipakasta vedetty kortti on kuvakortti tai nelonen
Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö • Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu: E B A
Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä satunnaisesti nostettu kortti on • Ässä tai hertta • Parillinen tai musta
Mika Rantanen 2011 KOMBINATORIIKKA • Monellako tapaa n alkion joukosta voidaan valita k alkiota (k n): • Kertaotoksena, jolloin sama alkio voidaan valita vain kerran • Toisto-otoksena, jolloin sama alkio voidaan valita useamman kerran • Otos voi olla järjestetty (jono), jolloin alkioiden järjestyksellä on väliä • Otos voi olla järjestämätön (joukko), jolloin alkioiden järjestyksellä ei ole väliä
Mika Rantanen 2011 Kertoma ! • Monellako tavalla n alkion joukko voidaan järjestää (permutoida)? • Esim. Kuusi oppilasta voidaan järjestää jonoon 6! tavalla: • Huomaa! 1!=1 0!=1
Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta • Kertaotoksena Esim. Kuinka monta erilaista kolmen henkilön jonoa voi muodostaa viidestä oppilaasta?
Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta • Toisto-otoksena Esim. Kuinka monta erilaista veikkausriviä ( 1, X tai 2 ) voidaan tehdä, kun veikattavia otteluja on 13?
Mika Rantanen 2011 tehtävä Kuinka monta erilaista kolmen kirjaimen ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? • toisto-otoksena? • kertaotoksena
Mika Rantanen 2011 tehtäviä Kuinka monta erilaista 2- tai 3- kirjaimista ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? • toisto-otoksena? • Kertaotoksena?
Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista joukkoa voidaan muodostaa n-alkioisesta joukosta? Esim.
Mika Rantanen 2011 tehtäviä
Mika Rantanen 2011 tehtäviä • Kuinka monella tavalla • voidaan valita 7 alkiota 10 alkion joukosta? • voidaan valita järjestäjäpari 20 oppilaan luokasta? • neljä pelaaja tenniksen nelinpeliin 12 pelaajan joukosta? • voidaan valita luokalle 20 oppilasta 85 oppilaan joukosta