教育统计与测量学原理

1. 人数 70 60 50 40 30 20 10 男 女 年份 1980年 1985年 1991年 教育统计与测量学原理 Z=（x-x）/s 教育科研所 张国威

2. 教育统计与测量学原理 学习教育统计与教育测量的重要意义 1、教育统计和测量是认识教育本质的有力武器； 2、是分析处理教育工作中各种数据资料、进行 教育督导与评价的有效工具； 3、对教育管理科学化具有重要意义 ； 4、是教育科学研究中，发现探索教育教学规律、指导教育教学实践、为教育行政部门决策提供依据的重要思想方法； 5、是党和政府制定教育方针、政策以及认清教育事业和整个国民经济发展关系的重要工具。

3. 第一部分：教育统计学 一、概述 1、什么是教育统计学 2、教育统计学的历史 3、教育统计学的内容 二、描述统计 1、常用的统计表、图与统计量 2、相关分析 3、正态分布 三、推断统计 1、相关概念 2、总体平均数估计 3、平均数差异的显著性检验 四、实验设计简介

4. 一、概述 教育统计学概念、发展历史、内容 1、概念：教育统计学就是运用数理统计的原理和方法研究教育问题的一门应用科学。它是研究如何收集、整理、分析和解释教育方面的数据，从而表明教育上某些现象的特征及规律的一门科学，它是处理教育实际工作和进行教育研究以及提高管理质量的科学水平、提高教育质量的重要工具。 教育统计学的主要任务：对教育现象进行调查和实验，在占有充分数据资料的基础上，经过对数据的整理计算、统计分析和统计检验等方法，对研究结果予以科学说明。即从数量方面的研究，来探索教育和心理现象的发展变化的特征和规律，或根据研究结果的数据处理、统计推断，做出正确决策。

5. 教育统计学概念、发展历史、内容 2、教育统计学发展史：教育统计学产生于上个世纪初，发展于五、六十年代，广泛应用于八十年代以后。 （1）国外：20世纪初统计学传入美国，桑代克（E.L.Thorndike）为了达到“极力以心理学与统计学为工具研究教育学，使教育科学化”的目的，1904年出版世界上第一本有关教育统计学的专著《心理与社会测量导论》。 （2）国内：我国的教育统计学是在辛亥革命以后，随着西方科学技术成就一起被引入。当时的大学教育系和中等师范学校，都把教育统计学作为必修课程，很多学者撰写专著，如薛鸿志《教育统计方法》（1925）、王书林《教育测验与统计》（1935）等。1979年随着全国教育科学规划会议的召开，教育统计学恢复了新生，各师范大学又都开设了教育统计学课程。教育部组织叶佩华、万梅亭、郝德元、陈一百等教授编写《教育统计学》作为全国通用教材。 经过100多年的发展，各种教育统计方法已相当丰富。但每一种方法的运用在我国还处于推广和适用阶段，因此不少人对它的作用缺乏足够的认识，特别是对复杂的教育问题，由于统计方法本身的限制，还有十分重要的实验设计和统计推断的问题不能在理论上得到有力解决，还有待于教育学家亲自动手来推进统计理论和改进统计工具。

6. 教育统计学概念、发展历史、内容 3、教育统计学的内容： 教育统计学按应用分为描述统计、推断统计、实验设计（多元统计）三部分内容。 （1）描述统计的主要作用就在于就所关心的教育现象进行全面调查和观测，然后将所得的大量数据加以整理、简缩、制成图表；或就这些数据的分布特征（如集中趋势、离散趋势、相关度等等）计算出具有概括性的数字作为标志。借助这些概括性的数字，我们就可以从杂乱无章的数据中取得有意义的信息。 （2）推断统计也叫抽样统计，它是在描述统计的基础上发展起来的。是用抽样的方法，根据部分数据来推断一般情况，即通过局部对全局的情况加以推断的一种方法。它可以帮我们透过现象看到本质，对客观现象作出本质性的判断 ，它是从样本的研究中得出统计量。来推断总体的有关特征，以便作出具体的措施和决策。常用的方法有：u检验、t检验、卡方检验和非参数检验，还有多元分析中的主成份分析和因素分析等。 （3）实验设计通常指实验程序的计划和安排。而实验程序的计划和安排离不开统计和检验。

7. 二、描述统计第一章 常用统计表、统计图及统计量 （一）常用统计表 1、统计表的结构：由标题、项目（标目）、数据、线条、表注（数据来源）组成 1983年我国普通中学教师学历统计表 学 历 人 数 百分比（%） 大学本科以上 300887 11.6 大专毕业 566863 21.8 中专毕业以下 1729750 66.6 合 计 2596900 100.0 注：引自《中国教育成就统计资料》，1984年人民教育出版社 数据 表注 标题 项目 线条

8. 二、描述统计第一章 常用统计表、图及统计量数 2、制表的一般要求 A、统计表的内容要简要，最好一个表说明一个中心内容。标题的措词要简明扼要，正确说明内容，使人一望便知。 B、分项要准确，以能说明问题为主，分项的好坏是决定统计表质量的关键，切忌分项太细。 C、数据是统计表的语言，说明内容，要求准确，书写整齐，一律用阿拉伯数字，单位要统一，位数对齐，有效数字要一致，表格内不能有空白。 D、线条不要太多，表的上下端有顶线与底线，左右两边不要用线封死，纵项目用细线格开，横项目一律不画线条，合计项目用粗线条或双线与其它项目分开。

9. 图尺（制图的尺度线。点、单位的总称） 人数 70 60 50 40 30 20 10 图例 男 女 图形 年份 图目 1980年 1985年 1991年 图题 某校近十年教师人数及性别变化图示 第一章 常用统计表、统计图及统计量 （二）常用统计图 1、统计图结构：图题、图目、图尺、图例、图形、图注

10. 米 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 助教 28.8% 人数 人数 20 15 10 5 20 15 10 5 16 16 15 15 讲师 42.9% 教授0.4% 14 14 副教授 21.9% 5 5 岁 公务与科教人员 公务与科教人员 职员 职员 农工商企业 农工商企业 其他 其他 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 某大学教师职称图 某市7至18岁男女生身高比较图 某校某班50名学生家庭背景情况比较 （二）常用统计图 2、统计图的类型及绘制要求 绘制统计图的要求 A、根据数据和目的选择合适的图形 B、图形所表示的面积或距离要比例适当 C、表示不同的事物要用不同的颜色与线条 类型：1 直条图 2 圆形图 3 曲线图 4直方图

11. （二）常用统计图 ＊ 3、次数分布表与直方图 对一批数据按一定次序排列并加以分组、编成反映这群数据在各组上出现次数的统计表和图，就是次数分布表和直方图。 例：一次考试之后，某班48名学生的成绩如下： 86，77，63，78，92，72，66，87，75，83，74，47，83，81，76，82，97，69，82，88，71，67，65，75，70，82，77，86，60，93，71，80，76，78，57，95，78，64，79，82，68，74，73，84，76，79，86，68 将该组数据整理成次数分布表与直方图

12. 1求全距：R=max{xi}-min{xi}用该组数据最大数减最小数1求全距：R=max{xi}-min{xi}用该组数据最大数减最小数 2定组数和组距 ：数据划分组数、每组上下限之间距离（全距除以组数） 3列组限：从最高分至最低分以组距为单位依次分组 4归组划记：计算数据出现次数，并计算累积次数及相对次数 2/5 K=1.87(n-1) 次 数 分 布 表 组限 组中值 划记 次数 f 累积次数∑f 相对次数Rf 累积相对次数∑Rf 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 99 94 89 84 79 74 69 64 59 54 49 97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47 2 2 5 9 12 7 6 3 1 0 1 2 4 9 18 30 37 43 46 47 47 48 0.04 0.04 0.10 0.19 0.25 0.15 0.13 0.06 0.02 0 0.02 0.04 0.08 0.18 0.37 0.62 0.77 0.90 0.96 0.98 0.98 1.00 正 正 正 正 正 正 合计 48 48 1.00 步骤： 例：一次考试之后，某班48名学生的成绩如下：86，77，63，78，92，72，66，87，75，83，74，47，83，81，76，82，97，69，82，88，71，67，65，75，70，82，77，86，60，93，71，80，76，78，57，95，78，64，79，82，68，74，73，84，76，79，86，68

13. 次数 直方图 14 12 10 8 6 4 2 分数 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

14. (1)平均数（算数平均数） X 1、X=（X1+X2+---+Xn)/n=(1/n)∑Xi (原始数据公式） 2、X=∑fxc/n （分组数据公式） xc:组中值 f:次数 3、X=(n1 x1+n2x2+---+nkxk)/(n1+n2+---nk) (加权平均数公式） 第一章 常用统计表、统计图及统计量 （三）常用统计量－集中量数 1、集中量数 ：代表一组数据的集中趋势和典型特征 常用的有：平均数 中数 众数

15. (2)中数（中位数):用 Md表示，是在一组按大小顺序排列的数据中位置居中的那个数。数据是奇数个时，正好是中间位置的数，即第（N+1)/2 个那个数；数据是偶数个时，求中间位置两个数的平均数。如：1 3 6 7 9Md＝6； 3 6 7 9 20 21 Md＝（7+9）/2=8 (3)众数：用 M0表示，是一组数据中次数出现最多的那个数。在众数不明显的情况下，一般可看众数段，即哪个分数段的次数多，就以该段中点值作众数。一般用观察法求得。 平均数、中数、众数在数据常态分布中的相对位置 平中众 众中平 众中平 正态分布 正偏态分布 负偏态分布

16. AD=(1/n)∑ Xi-X 或 AD=(1/n)∑ Xi-Md 常用统计量－差异量数 2、差异量数：全距 平均差 标准差 差异量数是描述次数分布中“离中趋势”这一特征的统计量，简称“差异量”。一组数据，若离中趋势小，则集中量的代表性就大；反之，若离中趋势大，则集中量的代表性就小。但是，仅考虑集中量数是不够的。要了解两组学生成绩分布的全貌，还必须研究两个组的差异量数。最常用的差异量有全距、平均差和标准差。 (1)全距(符号为“R”)，指一组数据中由最大量数到最小量数的距离。R小说明离散程度小，比较整齐。 (2)平均差，指一组数据内的每个数与均数差的绝对值的算术平均数，通常用AD表示。平均差的计算公式为：

17. X X1 X2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 … 2 - + - + - + + - x x x x x x x x = 2 3 n S 1 n 表示样本方差 表示总体方差 σ 2 2 S 差异量数－方差与标准差 (3)、标准差：指一组数据中每一个数值与它们的平均数之差的平方的算术平均数的平方根，其符号为S(样本标准差)、总体标准差用σ表示。 S的计算公式为： S 越大表明离散程度越大，数据不均匀，集中量的代表性小。 方差与标准差除具有平均差的优点之外，还具有受抽样影响小和适于代数运算等优点，是最优良的差异量数。

18. 标准差的应用－变异系数 标准差的应用：变异系数、标准分数 变异系数是一种相对差异量，常用cv表示 变异系数计算公式： 主要用于：①同一团体不同观测值离散程度的比较；②对于水平相差较大，但进行的是同一种观测的各种团体离散程度的比较。 例：已知某小学一年级学生的平均体重为25千克，标准差是3.7千克，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度那个大？ 解：CV体重＝3.7/25＝14.8％ CV身高＝6.2/110=5.64％ 答：通过比较差异系数可知，体重的分散程度比身高的分散程度大（14.8>5.64)。

19. 标准差的应用－标准分 标准分数(又称Z分数)。它是一种以平均数为参照点，以标准差为单位的，表示一个分数在团体分数中所处位置的量数，其计算方法为：由原始分数与平均分数的差除以标准差所得的量数，其符号为“Z”，计算公式是： 标准分是以标准差为单位的，故称为标准分。它是一种相对地位分。 标准分有正负之分，一般在[-3，3]中（几率为99.74%) ，平均值为零。 标准分可比性根据在于标准正态分布。 T分数：T=10Z+50 (一般20≤T≤80） E分数：E=20Z+90 (一般30≤E≤150）

20. 标准差的应用－标准分 例：有某生三次数学考试的成绩分别为70、57、45，三次考试的班平均分为70、55、42，标准差分别为8、4、5。如何看待该生的三次考试成绩? 答：如果仅从原始分数看，肯定认为第一次最好，其实不然，要计算出各次的标准分数，才能说明问题。 根据公式得出： Z1=(70－70)/8=0 Z2=（57－55）/4=0.5 Z3=（45－42）/5=0.6 　　 这说明，原始分数为70，其位置正在平均线上，而原始分数为57的，其位置在平均线上0.5处，而原始分数为45的，其位置在平均线上0.6处。很显然第三次成绩最好，第一次最差。

21. 两考生总成绩标准分数计算表 甲生 乙生 甲生 乙生 语文 数学 地理 历史 政治 合计 70.0 14.0 80 85 0.71 1.07 85.0 3.5 90 88 1.43 0.86 55.0 4.0 57 51 0.50 －1.00 42.0 5.0 45 40 0.60 －0.40 70.0 8.0 70 90 0 2.50 342 354 3.24 3.03 标准差的应用－标准分 例：甲乙两学生五科考试成绩如下，试分析哪名学生成绩好些？ 标准分数： 运用标准分比较不同教育测验成绩总分的优劣，更为合理。 科 目 X S X Z 如果按原始分数乙生总分是354分优于甲生的342分总分，但按标准分数则甲生的3.24分优于乙生的3.03分。

22. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 曲线相关 直线相关 二、描述统计 第二章 相关分析 相关分析：研究两自变量之间的关系紧密程度的过程，统计学上称为相关分析。事物的变化总是伴随着一定的量的变化，有些是单变量，有些是双变量或多变量，也有些是复变量。集中量数和差异量数反映的是单变量数据特征，相关分析主要研究双变量数据特征。 我们都知道事物现象间的相互关系，如果从数量关系的角度考察，可分为函数关系和相关关系两种类型。相关关系可分为正相关、负相关、直线相关、曲线相关、完全相关（函数关系）、高度相关、低相关和零相关。 如：教育经费的投入与教育事业发展规模和速度之间的关系是正相关； 复习次数与遗忘量之间的关系是负相关。 相关分析的方法有二：一是图示法，一为计算法。 图示法：将两组观测值标在坐标系中

23. 对相关系数的解释注意以下问题： A在小样本中要做显著性检验； B相关系数大小差异不是绝对的； C相关系数不是等距的不能进行大小比较； D相关关系不一定是因果关系 二、描述统计 第二章 相关分析 相关系数：是描述两组数据之间相关程度的量数 种类有：积差相关系数、等级相关、点二列相关和φ 相关 积差相关系数（皮尔逊系数）：是描述来自正态总体两个连续变量 之间线性相关程度的一种相关量数 r=[n∑xy-(∑x)(∑y)]/√ [n∑X 2-(∑X)2][n∑y2-(∑y)2] 相关系数的范围： -1≤ r≤1 当r是正值时为正相关； 当r是负值时为负相关；r=0为零相关。 通常1 r ≥ 0.70 为高度相关；0.70 r ≥ 0.40为较显著相关 0.40≥ r 0 为低相关。当然在下结论时还要进行显著性检验

24. 第二章 相关分析 例：数学与物理、物理与英语相关性比较

25. ①正态曲线位于x轴上方，以x=μ为对称轴，以x轴为渐近线②曲线的位置和形状取决于μ值和σ值， μ决定位置，σ决定形状。σ越大曲线越矮胖， σ越小曲线越陡峭③ x=μ 时曲线处于最高点，即当x=μ 时f(μ)＝1/√2 σ为最大值，曲线呈中间高两边低的形态。 p p 2 f(x)=【1/(√2● σ) 】e -(x- μ) /2 σ 2 正态曲线方程： p 其中： 是园周率；e是自然对数的底；x为随机变量的取值； μ为正态分布的均 值；σ 为正态分布的方差。 2 Y 0.8 0.6 0.4 0.2 0 正态分布 x～(μ, σ )的密度函数曲线 2 1 1.5 2.5 3 4.5 6 X σ =0.8, μ =1.5、2.5、4.5 二、描述统计 第三章 正态分布 1、 正态曲线及其特点 在社会、教育现象中大多数随机变量都呈现是或近似正态分布的情形。正态分布是统计理论与统计应用中最重要应用最广泛的一种分布。 一个正态分布是由总体的平均数和总体的方差所决定的。 正态曲线的特点

26. 第三章 正态分布 从概率的角度而言： 观测数据落在（μ+1σ）内的概率为68.26%；落在（μ+2σ ）内的概率为95.46%；落在（μ+3σ ）内的概率为99.73%。 68.26% 95.46% 99.73% 如: z=1时 P=0.3413 z=2时 P=0.4772 z=2.5时 P=0.4938 z=3时 P=0.4987 -3σ-2σ-σ 0 σ 2σ 3σ 标准正态分布 x～(0, 1 )z 、 P的意义 z=(x-μ)/σ 2、正态分布曲线的重要性质：

27. -3σ-2σ-σ 0 σ2σ3σ 3、正态曲线理论的应用 （1）推求学生成绩中某些分数的人数 例：假定500个学生某科成绩近似正态分布，其X=70，σ=10，试问（1）75分以下有多少人（2）85分以上有多少人（3）75-85分之间有多少人。 解：（1）z=(75-70)/10=0.5,查正态分布表中值为0.6915，因此75分以下的学生占69.15%，75分以下的人数是500X69.15%=346（人） (2) z=(85-70)/10=1.5,查正态分布表中值为0.93319, 85分以下的学生占93.319%，因此85分以上的学生占100%-93.319%=6.681%，所以85分以上的人数是500X 6.681%=33（人） （3）75分至85分之间，实际上是75分以上至85分以下的范围，因此85分的百分率减去75分以下的百分率即为所求 93.319%-69.15%=24.169% 500 x24.169%=121（人）

28. 用标准分计算更容易理解： x - x = Z σ Z＝1.96＝（x-75）/10 X= 1.96X10＋75=94.6（分） 97.5% 2.5% X 1.96σ 75 94.6 正态曲线理论的应用 （2）推求某一特定百分率的成绩界限 例：某县对初一年级学生1000名学生进行能力测验，其结果为X=75，σ=10，现拟根据此次结果选取25名学生作为“尖子班”培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被选到“尖子班”学习。 分析：“尖子班”的人数占全年级的百分比为： 25/1000=2.5% 在正态分布表中查表中值0.975所对应的标准分数，z=1.96,既是说1000名学生中有97.5％的人数在标准分数1.96以下，因此有2.5％的人数在标准分1.96以上，再将标准分数1.96化为原始分数得： 1.96X10＋75=94.6（分） 答：分数在94.6分以上才能进“尖子班”。

29. 0 x 0.65 0.75 0.85 0.39 0.67 1.04 解： 试题难度值比较表 题号 答对率 答错率 难度值 难度差异 1 15% 85% 1.04 2 25% 75% 0.67 0.37 3 35% 65% 0.39 0.28 正态曲线理论的应用 （3）分析测验试题的难度 例：某校学生在一次测验中，第一题的答对率为15%，第二题的答对率为25%，第三题的答对率为35%，假设这三题所测量的能力近似正态分布，问1、2、3题的难度值各为多少？各题之间的难度差异怎样？ 在正态分布中，通常是根据答错率找出所对应的标准分数界限值，此值即为该题的难度比值。 由左表可知虽然三题的答对率都相差10％，但第二题与第三题的难度差异却比第一题与第二题的难度差异要小。

30. 三、推断统计 教育现象和一切客观物质世界中的现象一样，不仅存在质的方面，同时也存在量的方面，而且这两方面是辩证统一的。教育统计学就是在教育现象的质与量中，专门研究其数量方面特征的重要工具。在建立了以概率论和抽样方法为主要依据后，教育统计学便具有了以局部推知全体，以样本资料推知总体性质的科学推断功能。 根据样本信息对总体参数状况的推断有两种不同形式，既总体参数估计和假设检验，二者既有区别也有联系。

31. 总体参数是指一切由观察测定总体的全部个体而得到的统计量数(μ，σ)； 样本统计量是指为估计总体参数从样本所得的统计（ ，s ）。 三、推断统计 第一章 相关概念 1、总体和样本 所要研究对象的全体叫做总体。其中每一个研究对象叫做个体。从总体中抽取的一部分叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 2、参数与统计量 例1：对家用电器质量抽查，确定次品率。不能采用全部检测的方法。 例2：全市要检查初中学生体育锻炼达标情况，对每名学生一一测试工作量很大，不仅耗费人力、物力和时间，而且没有必要。有没有一种科学的方法只抽测一少部分学生，然后根据这部分学生的测试成绩去推知全市中学生的体育达标情况？

32. 推断统计 3、随机误差 4、抽样方法 样本统计量与总体参数之间的差距。 从某市参加高考的1200名学生中抽取200名试卷组成一个样本，计算这200份试卷的平均分和标准差，这200份试卷的平均分和标准差与1200名考生的平均分和标准差是有差距的，不同的抽取带来不同的差距，这种差距称之为随机误差。 A、随机抽样（抽签法、随机数字法） B、机械抽样 C、分层抽样 D、整群抽样 抽取样本应遵循的原则。第一总体中每一个个体被抽中的机会均等，即抽中与抽不中纯属偶然；第二任一个体与其它个体在抽取时无联带关系，即抽中的个体与抽不中的个体无关；第三在条件允许的情况下，尽量使样本容量大一些。 5. 小概率事 在随机事件中，概率很小的事件被称为小概率事件，习惯上约定在0.05以下，即当P（A）< 5%时，则称A为小概率事件。在统计推断中认为，小概率事件在一次试验或观察中是不可能发生的。

33. x σ x 多个样本平均数呈正态分布 ～N(μ, ) σ σ √ √ n n 第二章总体平均数的区间估计 （总体平均数的置信区间） 推断统计的基本理论之一就是抽样理论，而推断统计的任务则是根据样本资料来推断总体的特征，从而揭示总体的本质和规律。 抽样分布的几个重要定理（统计推断的理论依据） 1.从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数的平均数等于总体的平均数。E(x)= μ 2.容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等于总体标准差除以n的方根。 = 3、从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能的样本平均数的分布也呈正态分布。 4、虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。

34. α/2 α/2 α/2 α/2 α/2 α/2 1－α 1－α 1－α 0 0 0 x-1.96σ/ √ n x-1.96σ/ √ n x-1.96σ/ √ n 区间估计示意图 区间估计示意图 区间估计示意图 第二章总体平均数的区间估计 （总体平均数的置信区间） x+ 1.96σ/√n x+ 1.96σ/√n x+ 1.96σ/√n x+ 1.96σ/√n 根据样本平均数估计总体平均数的所在区间，称为总体平均数的区间估计。 基本原理：按一定概率要求，根据样本平均数估计总体平均数的所在区间。 （一）、原总体的方差已知 样本平均数的总体分布，在样本容量很大时其分布近似于正态分布，样本平均数分布的标准差为σ/√ n，根据正态分布的性质U=（X-μ ）/ σX服从正态分布。对于给定的α 值（0＜α＜1），则称（1-α）为置信度，可求出满足P（U＞Uα）=1-α。一般取α=0.01或α=0.05，对应的U0.05=1.96 U0.01=2.58。 置信区间：α=0.05 (x-1.96σ/ √ n, x+ 1.96σ/√n )为总体平均 数95%的置信区间 α=0.01 (x-2.58σ/ √ n, x+ 2.58σ/√n )为总体平均数99%的置信区间

35. （二）、原总体的方差未知 对于总体方差未知且容量n﹥30，则用S代σ 相应的有 置信区间为：α=0.05 (x-1.96S/ √n, x+ 1.96S/√n )为总体平均数95%的置信区间 α=0.01 (x-2.58S/ √n, x+ 2.58S/√n )为总体平均数99%的置信区间 例：从某地区高考初试的数学试卷中，随机抽取40份，分析后得到如下数据，平均成绩为51.2，标准差为3.8，问这一地区初试数学平均成绩在怎样的范围内？ 答：已知 X=51.2 S=3.8 n=40, 本题属于总体方差未知且大样本n＞30, 因此： 置信区间的下限=51.2-1.96x3.8/√40=50 置信区间的上限=51.2+1.96x3.8/√40=52 这一地区初试数学平均成绩有95%的可能性在（50，52）范围内。 同理也可以计算出有99％的可能性在（49.6，52.7）范围内。

36. 拒绝假设区域 拒绝假设区域 接受假设区域 0.95 0.025 0.025 0 三、推断统计 第三章 显著性检验 平均数差异的显著性检验(Z检验与t检验） 一、显著性检验的基本思想 显著性检验是统计推断的一种方法，它是确定一个具有已知统计量的样本是不是从已知对应参数的总体中抽出来的或是两样本的统计量是来自同一总体还是来自不同的总体。或从另外的角度说，样本统计量与总体参数的差异或两个样本统计量的差异究竟是由于抽样所引起的随机误差，还是本质上的误差，这需要检验才能加以确定。判断这种差异是否显著，要用概率来回答。如果差异是由于抽样误差而引起的可能性大，那末两者的差异就不显著，反之两者的差异就显著。 抽样误差的概率大小是由显著性水平来衡量的。通常采用的显著性水平为0.05或0.01，如果 P＞0.05为差异不显著；如果 0.05≥P＞0.01差异显著；如果P<0.01则特别显著。 需要注意的是，显著性检验是以随机样本为前提的，以概率论原理为基础的，所以进行检验时应注意样本的随机性，以及样本的可比性，观测指标的所有条件应尽可能相同或基本相同。

37. 三、推断统计 第三章 显著性检验 二、显著性检验的一般方法 一般来说，统计检验先对总体的分布规律作出某种假说，然后，根据样本提供的信息，对假说作出肯定或否定的决策。具体步骤为： ①提出假设。如“假设两个群体平均数没有差别”，其数学符号为：“H0：μ1=μ2”，这种对群体所作的“无差别”的假设，称为“零假设”或称虚无假设，用符号“H0”表示。与此同时实际上存在第二种假设，“两个总体平均数有差别”，其符号为：“H1：μ1≠μ2”，称为备择假设。显然，“零假设”与“备择假设”是两个对立的假设，肯定是此否定彼。 ②根据不同条件和样本提供的信息即数据，从零假设出发，代入相应的公式，计算出零假设的概率。 ③作出统计决断，根据“小概率事件实际上不可能性”原理，研究H0成立的概率。如果H0的概率P ＞0.05，表示零假设不是一个小概率事件，则H0成立，便否定被择假设H1从而确定“μ1=μ2”。如果H0的概率p≤0.05，表明是个小概率事件H0不成立，就肯定备择假设H1的成立，从而确定“μ1≠μ2”。 ④结论：当P＞0.05时差异不显著；当0.01 ≤ p≤0.05时差异显著；当P≤0.01时差异特别显著。

38. 推断统计（显著性检验） 三、显著性检验的一般步骤： 1、建立检验假设（H0： = μ或μ1=μ2） 2、选择和计算统计量（z值或t值） 3、确定P值 4、判断结果：当 P＞0.05为差异不显著 接受检验假设 当 0.05≥P＞0.01差异显著 拒绝检验假设 当P≤0.01差异特别显著 拒绝检验假设

39. z p 检验 Z＜1.96 P＞0.05 差异不显著 1.96≤Z＜2.58 0.05＞p＞0.01 差异显著 Z≥2.58 p≤0.01 差异异常显著 平均数差异的显著性检验（Z检验） 1、两个独立大样本平均数差异的显著性检验 Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 Z检验公式： 例 1987年上海市初中三年级语文教学调查中，对男女生语文测试成绩作如下统计，试检验男女生语文成绩是否存在显著差异， 抽取的两个样本均大于30，属两个独立大样本平均数差异的显著性检验，用Z检验。

40. 拒绝假设区域 拒绝假设区域 接受假设区域 0.95 0.025 0.025 0 z p 检验 Z＜1.96 P＞0.05 差异不显著 1.96≤Z＜2.58 0.05＞p＞0.01 差异显著 Z≥2.58 p≤0.01 差异异常显著 平均数差异的显著性检验（Z检验） 检验步骤： ①提出零假设z：H0： μ1=μ2即假定男女写作、阅读及读写总分均无显著差异，现在的差异是抽样误差所致。 ②计算统计量，代人Z值公式

41. 拒绝假设区域 拒绝假设区域 接受假设区域 0.95 0.025 0.025 0 －1.96 1.96 平均数差异的显著性检验（Z检验） ③计算出的Z值与下表进行对照，作出判断： 因为|Z写|=2.27，显然， |Z写|＞1.96，表明概率P≤0.05，男女生写作成绩差异显著。 因为|Z读|=2.00，显然，|Z读|＞1.96，表明概率P≤0.05，男女生阅读成绩差异显著。 因为|Z总|=2.15，显然， |Z总|＞1.96，表明概率P≤0.05，男女生语文成绩差异显著。 ④结论：当P≤0.05时，拒斥H0，肯定H1，1987年调查说明上海市初三语文成绩男女生存在显著差异，女生高于男生。

42. 平均数差异的显著性检验（t检验） 2、小样本与总体均数的差异检验 t检验是用于小样本(样本容量小于30)时的平均值差异程度检验方法。它是用t分布理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 例 某校初一年级抽出一组20人，对数学自学辅导教材进行试验，期末全年级测试平均成绩为70分，而这20人的平均分为=77.7，标准差为15，试检验实验效果。 本例随机抽样样本容量为20人，属小样本，因此适用t检验。所谓检验实验效果，就是以样本(20人)的平均数与某已知总体平均数μ之间的差异程度的显著性检验，既检验样本所取自(所代表)的总体的平均数μ与μ0，是否有差异。 t检验公式：

43. 平均数差异的显著性检验（t检验） 检验步骤： ①提出零假设： H0：μ=μ0，即假定样本所代表的总体平均数与已知平均数无显著差异，如有差异仅是抽样误差所致。本题μ0=70分 ②计算检验统计量t值。用如下公式 式中， =样本平均数77.7；μ0=已知总体平均数70；s=样本标准差15；n=样本容量20，代人公式得

44. 平均数差异的显著性检验（t检验） ③作出判断。与正态分布曲线不同，t 分布的曲线形式随自由度大小而不同。“自由度”记作“df”。作总体平均数的假设检验时，统计量t的自由度df=n－1。据此，本题的df=20－1=19。查t值表，得出理论t值为： t(19)0.05=2.093 再与计算所得t值比较可得：t＝2.24＞t(19)0.05=2.093 依据《t值与差异显著性关系》表，推断H0发生的概率，作出结论。 t值与差异显著性关系 因为t=2.31>t(df)0.05，从上表可知，概率P≤0.05时，μ和μ0之间的差异显著。因此可下结论为：拒斥H0：μ=μ0,而肯定H1：μ≠μ0，又因μ ＞μ0，故结论表明新教材实验有成效。

45. 平均数差异的显著性检验（t检验）3、其它检验公式平均数差异的显著性检验（t检验）3、其它检验公式 对于两个独立的正态总体，如果已知两总体方差相等但未知总体方差具体数值，从中各抽取一随机样本，两样本平均数之差将服从自由度为                                的t分布。 其检验统计量的计算公式　                                  如果是按同一组样本不同情况的测试所得的平均值 1和 2 来检验平均值的差异程度，其计算公式为： 式中，D为两次测试中每对分数之差即D=X2－X1。

46. 实验设计简述 实验设计：实验者为了揭示实验中的自变量与因变量的关系，在实验之前所作的实验计划，通常指实验程序的计划和安排。而实验程序的计划和安排离不开统计、检验。 实验设计的内容：包括怎样选择被试（实验对象），控制那些因素，指出什么假设，观察那些内容，如何安排实验步骤，采取何种统计方法来处理和分析实验结果等等。

47. 例：控制变量 指示语 （一）目的：通过把指示语作为自变量，观察被试对反应变量的不同影响，从而了解到不是以指示语为自变量的实验中控制指示语的重要性。 （二）材料：数学试卷一份，马表。 （三）程序：1按全班被试的数学程度，分为数学能力相同的甲、乙两组。 2主试仅向甲组被试着重指出：你们在运算时必须注意试题 中数字之间的关系，余内容两者相同。 3主试说明实验要求，发给各被试试题一张，覆置桌上。主试发“预备”口令 时，被试把题纸翻转正面，写好姓名等项，主试发“开始”口令时，同时开 动马表，被试答题。 4被试做完题目，立即停笔并问得答题时间，记录在试题纸上。 5全组做完，主试宣布答案，被试加以核对，并记录成绩，以便整理全组结果。 （四）结果：1统计甲乙两组的平均成绩（做对题数和做题的时间） 2检验两组时间（或成绩）差异的显著性 （五）讨论：1在本实验中，你是怎样发现题目的规律的 2指导语在解题中所起作用如何

48. 实验设计简述 附：数学试题如下 姓名——组别——时间—— 在下列各数列后的横线上，填写你认为应该填写的数字 （1）2 6 10 14 18 ———— （2）3 12 48 192 768 ———— （3）8 4 2 1 ———— （4）31/4 8 33/4 ———— （5）4 5 5 6 6 7 ———— （6）3 8 13 18 23 ———— （7）1 3 4 6 7 9 ———— （8）7 2 5 0 3 -2 ———— （9）1 3 4 6 10 12 22———— （10）1 2 2 2 4 2 8 ————

49. 第一章 教育测量概述 一 教育测量的含义与特点 二 教育测量发展的历史 三 教育测量的要素和种类 四 教育测量的功能及对教育测量应持的态度 第二章 测验的信度、效度、难度与区分度 一、测验的信度 二、测验的效度 三、测验的难度 四、测验的区分度 第三章 测验的编制与实施 一、确定测验目的 二、教育目标分类 三、编制测验双向细目表 四、试题的编制 五、试题评分 六、试卷的编辑与测验实施 七、试卷分析 第四章 题型编制的一般原理与方法 第二部分 教育测量学原理简介

50. 第一章 教育测量概述 一、教育测量的含义与特点 1、教育测量的含义 测量(Measurement) ：通常指人们对客观事物进行某种数量化的测定。 测量是以数量来表述结果的，没有数量来表述的结果不能称为测量。 教育测量(Educational Mcasufement) ：就是对学生的学习能力、学业成绩、兴趣爱好、思想品德以及教育措施上许多问题的数量化测定。 教育测量主要对学生精神特性的测定。 凡物之存在必有其数量，凡有数量的东西都可以测量，测不准原理。